Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Меняя а , можно получить бесконечное множествофункций, удовлетворяющих на отрезке [—1,1] уравнению (10).§10. Предел ф ункции73Будем теперь рассматривать уравнение (10) в прямоугольникеKi = {(x,y):0 ф у ф 1 }.В этом случае существует единственная функция у = у\ = л/1 —х 2,—1 ^ х ф 1, удовлетворяющая уравнению (10) и такая, что у £ [0,1].Эту функцию называют неявной функцией, определяемой уравнени­ем (10) в прямоугольнике К\.Аналогично в прямоугольнике К\ = {(ж, у): —1 ^ х ф 1, —1 ^ у ф 0}неявная функция, определяемая уравнением (10), задается формулойУ = У2 = - V I - х 2, - 1 ф х ф 1.Вернемся к уравнению (9).

Пусть прямоугольник К = {(х , у ):\х — х 0\ ф а, \у —у0\ ф Ъ} содержится в области определения функцииF(x,y), и пусть F(xo,yo) = 0. Если на отрезке А = [ж0 —a, Xq + а]существует единственная функция у = f ( x ) такая, что f ( x ) £€ [Уо - b , y 0 + b\ иF(x, f(x)) = 0 , х £ А,то говорят, что уравнение (9) определяет в прямоугольнике К пере­менную у как неявную функцию переменной х.Достаточные условия существования неявной функции и другиевопросы, связанные с неявными функциями, рассматриваются в § 28.Функция одной переменной может быть задана не только в явномвиде у = f ( x ) или неявно уравнением F( x, y) = 0, но также парамет­рически. Этот способ задания состоит в следующем.Пусть функции х = ip(t) и ' ф ( 1 ) определены на некотором мно­жестве Е, и пусть Ei — множество значений функции р.

Предполо­жим, что функция р обратима на множестве Е, и пусть t = р -1 (х) —обратная к ней функция. Тогда на множестве Е\ определена сложнаяфункция у = ijj(p^ 1 (x)) = f (x), которую называют параметрическизаданной формулами (уравнениями) х = p(t), у = ф{1 ).Например, уравнения х = cos t, у = sin t, где t £ |о,, определяютпараметрически заданную функцию у = f(x). В данном случае t == arccosa:, у = sin(arccosa:) = V i —х 2.§ 10.

Предел функции1.Понятие предела. Важную роль в курсе математическогоанализа играет понятие предела, связанное с поведением функции вокрестности данной точки. Напомним, что ^-окрестностью точки аназывается интервал длины 26 с центром в точке а, т. е. множествоUs (а) = {х: \х —а\ < 5} = {х: а ^ 5 < ж < а + 5}.Если из этого интервала удалить точку а, то получим множество,которое называют проколотой 6-окрестностью точки а и обознача­74Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункцииют Us (а), т. е.Usip) — {х: \х — а\ < S, х ф а} = {х : 0 < \х —а\ < £}.Предваряя определение предела функции, рассмотрим два при­мера.9П р и м е р 1.

Исследуем функцию /(ж) = ----- —в окрестности точ­ки х = 1.Д Функция / определена при всех х Е /?, кроме х = 1, причем /(ж) == ж + 1 при ж / 1. График этой функции изображен на рис. 10.1.Из этого рисунка видно, что значе­ния функции близки к 2, если значе­ния ж близки к 1 (ж ф 1). Придадимэтому утверждению точный смысл.Пусть задано любое число г > 0и требуется найти число S > 0 та­кое, что для всех ж из проколотойй-окрестности точки ж = 1 значенияфункции /(ж) отличаются от чис­ла 2 по абсолютной величине мень­ше, чем на г.Иначе говоря, нужно найти чис­ло S > 0 такое, чтобы для всех ж ЕЕ Us (а) соответствующие точки графика функции у = /(ж) лежали вгоризонтальной полосе, ограниченной прямыми у = 2 — г и у = 2 + г(см.

рис. 10.1), т. е. чтобы выполнялось условие /(ж) Е U£(2). В данномпримере можно взять S = е.В этом случае говорят, что функция /(ж) стремится к двум при ж,стремящемся к единице, а число 2 называют пределом функции /(ж)при ж е 1 и пишут lim /(ж) = 2 илиIх—У1\у‘/(ж) -Е 2 при ж — 1. АП р и м е р 2. Исследуем функцию1 —ж,если ж < 0,i 10,если ж = 0,i 1 -eKiiixiO!\x 2\i^X{1 —ж2, если ж > 0,вокрестноститочки ж = 0.-1Д Изграфикаэтойфункции(рис. 10.2) видно, что для любого г > 0\-2можно найти S > 0 такое, что дляI y = 1—x 2всех ж Е Us(0) выполняется условие-3/(ж) Е U£( 1). В самом деле, прямыеу = 1 + £ и у = 1 — £ пересекают граРис.

10.2фик функции у — f (ж) в точках, абс­циссы которых равны х\ = —г, Ж2 = \fe. Пусть S — наименьшее изчисел \xi\ и Ж2 , т. е. S = m in ^ v ^ ) . Тогда если |ж| < S и ж ф 0, то§10. Предел ф ункции75|/(ж) —1| < е, т. е. для всех х G £4(0) выполняется условие f ( x ) GG £4(1). В этом случае говорят, что функция f ( x) стремится к еди­нице при х, стремящемся к нулю, и пишутlim f ( x ) = 1. ▲я—>0В первом примере функция не определена в точке х = 1, а во вто­ром функция определена в точке х = 0, но значение функции в точкех = 0 не совпадает с ее пределом при х0.2.Два определения предела функции и их эквивалент­ность.а) Определение предела по Коши. Число А называется пределомфункции f ( x ) в точке а, если эта функция определена в некоторойокрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, идля каждого е > 0 найдется число 6 > 0 такое, что для всех х, удов­летворяющих условию \х —а\ < 6 , х ф а, выполняется неравенство|/(ж) —А\ < е.

В этом случае пишут lim f ( x) = А или f ( x )А прих —>ах —Уа.С помощью логических символов это определение можно запи­сать так:{ lim f ( x) = .4} Ve > 0 35 > 0: Var: 0 < \х - а\ < 6 ->■ \f(x) - А\ < е,х—vaили, используя понятие окрестности, в виде{lim f ( x) = А}Ve > 0 35 > 0: Va: G Us (a) -+ / ( x) G Ue(A).x—>aТаким образом, число А есть предел функции / ( х) в точке а,если для любой е-окрестности числа А можно найти такую проко­лотую 5-окрестность точки а, что для всех х, принадлежащих этой5-окрестности, соответствующие значения функции содержатся ве-окрестности числа А.З а м е ч а н и е 1. В определен ии предела ф у н к ц и и в т о ч к е а п р едп олага­етс я , что а' ф а .

Э то тр еб о в а н и е связан о с те м , что т о ч к а а м о ж ет не п рин ад­л е ж ат ь области о п ределен ия ф у н к ц и и . О тс у т ст в и е этого тр е б о в а н и я сдела­ло бы н ево зм о ж н ы м использование п редела для оп ределен ия п роизводной,т а к к а к п р о и зв о д н ая ф у н к ц и и f ( x ) в т о ч к е а — это предел ф у н к ц и иF(x) = №- №х —ак о то р ая не определена в т о ч к е а.О тм е ти м еще, что число 5, ф и гу р и р у ю щ е е в определении п редела, за­виси т, вообщ е говоря, от е, т. е.

S = 5(e).б) Определение предела по Гейне. Число А называется пределомфункции f ( x ) в точке а, если эта функция определена в некоторойпроколотой окрестности точки а, т. е. 35о > 0: Us0(a) С D( f ), и длялюбой последовательности {хп}, сходящейся к а и такой, что х п GG Us0 (а) Для всех п G А/, соответствующая последовательность значе­ний функции { f ( x n)} сходится к числу А.Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункции76П р и м е р 3. Пользуясь определением предела по Гейне, доказать,что функцияf {x) = sin iне имеет предела в точке ж = 0.Д Достаточно показать, что существуютпоследовательности{хп}и {хп} с отличными от нуля членами, сходящиеся к нулю и такие,что lim f ( x n) ф lim f ( x n).

Возьмем х п = ( ^ + 2тгп) , х п = (7гп)- 1 ,п—Уооп—УооV2/тогда lim х п = lim х п = 0, /(ж п) = 1 и /(ж п) = 0 для всех п £ Л/,п—>•ооп—>•оои поэтому lim f ( x n) = 1, a lim f ( x n) = 0. Следовательно, функцияsin - не имеет предела в точке ж = 0. АхЗ а м е ч а н и е 2. Если ф у н к ц и я / определена в проколотой ^о-окрест­ности т о ч к и а и с у щ ест в у ю т число А и п оследовательн ость {жп } так и е,что хп G Us0 (a) при всех п Е Л/, lim= а и lim f ( x n) = А, то число А71— )- ОО77— )-0 0н а зы в а ю т ча с ти ч н ым пределом функции / в точке а.Т ак , н апри м ер, для ф у н к ц и и /(ж ) = sin — к аж д о е число А £ [—1,1] явл я-хется ее ч ас ти ч н ы м пределом.

В сам ом деле, п о следовательн ость {жп }, гдехп= (arcsin А + 27гп)- 1 , обра­зо ван н ая из корней у р ав н ен и яА (рис. 10.3), так о ва,хп ф 0 для всех п £ /V,хп = 0 и lim f ( x n) = А.sin — =хчтоlim77— ) -0 077— ) -0 0в)Эквивалентность двухопределений предела.Т е о р е м а 1. Определенияпредела функции по Коши ипо Гейне эквивалентны.О В определениях пределафункции /(ж) по Коши ипо Гейне предполагается, чтофункция / определена в некоторой проколотой окрестности точки а,т. е. существует число Jq > 0 такое, что и $0 £ D(f ).а)Пусть число А есть предел функции / в точке а по Коши; тогда3<50 > 0: USo С D( f ) иVe > 0 35 G (0,50] : Va; G Us(a) -7 f (x) G Ue(A).(1)Рассмотрим произвольную последовательность {жп}, сходящуюся кчислу а и такую, что х п £ Us0(а) для всех п £ N.

Согласно опреде­лению предела последовательности для найденного в (1) числа S =§10. Предел ф ункции77= 6 (e) > 0 можно указать номер п$ такой, что Vn ^ п$ -A х п G Ug(a),откуда в силу условия (1) следует, что f ( x n) G Ue(A). Таким образом,Ve > 03Ne : Vn > N e -> f ( x n) G Ue(A),(2)где N e = ris(e), причем условие (2) выполняется для любой последо­вательности {хп} такой, что lim х п = а и х п G Us0(a) С D(f ). Слех —>оодовательно, lim f ( x n) = А, т. е.

число А — предел функции f ( x) вп —>ооточке а по Гейне.б) Докажем, что если число А есть предел функции f ( x) в точке апо Гейне, то это же число является пределом функции / по Коши, т. е.выполняется условие (1). Допустим, что это неверно. ТогдаЗе0 > 0 : V5g (0,До] 3®(Я) € Щ а ) : \f(x( 6 j) - А\ > е„.(3)Согласно (3) в качестве 6 можно взять любое число из полуинтер­вала (0,ф)]-Возьмем 6 = Sq / п , где п G А/, и обозначим х п = х(5о/п).Тогда в силу (3) для любого п G N выполняются неравенства0 < \хп - а\ < ё0/п ,(4)|/(ж п) - А\ > е0.(5)Из (4) следует, что lim х п = а и х п G Us0 (а) при всех п G А/, а из (5)п —to oзаключаем, что число А не может быть пределом последовательнос­ти { f ( x n}}. Следовательно, число А не является пределом функции /в точке а по Гейне.

Полученное противоречие доказывает, что должновыполняться утверждение (1). •У п р а ж н е н и е 1. Д о к азать, ч то если ф у н к ц и я f ( x ) и м еет предел вт о ч к е а, то э т о т предел еди н ствен н ы й .З а м е ч а н и е 3. П у сть а — предельная точка числового множества Е,т. е. т а к а я т о ч к а , в лю бой о к р ес т н о ст и которой с о д ер ж и тся по кр ай н ейм ере одна т о ч к а м н о ж еств а Е, о тл и ч н а я от а. Т о гд а число А н азы в аю тпределом по Ко ши функции f(x) в точке а по множеству Е и о б о зн ач аю тlimf ( x ) = А , еслих-Аа, х£ЕVe > 0 35 > 0: V* е Us (а) ПЕ ->• |/(х) - А\ < е.П редп олагается, ч то U$0 (а) П Е С D ( f ) для некоторого So > 0. Анало­ги ч н о ф о р м у л и р у ется оп ределение предела по Гейне по м н о ж ес тв у Е. На­п рим ер, ф у н к ц и я Д ирихле / , р ав н а я еди н иц е для лю бого х <Е Q и рав н аянулю для лю бого х <ЕJ, и м е е т предел по м н о ж еств у С? и по м н о ж е ст в у J,п ри ч емlimf ( x ) = 1,limf ( x ) = 0 для лю бой т о ч к и a G R.х-Аа,x £Qх—Аа, x£j3.

Различные типы пределов.а)Односторонние конечные пределы. Число А называют пределомслева функции f ( x ) в точке а и обозначают lim f ( x ) или f ( a —0),х -А а —0еслиVe > 0 ЗД > 0: Ух G (а —6, a) -A \f(x) — А\ | < е.Гл. III. Предел и непреры вност ь ф ункции78Аналогично число А 2 называют пределом справа функции /(ж) вточке а и обозначают lim /(ж) или f(a + 0), еслих—>-а+0Vs > 036 > 0 : \/х Е (а,а + 8 ) -+ |/(ж) — А 2\ < s.Числа А\ и А 2 характеризуют поведение функции / соответственнов левой и правой полуокрестности точки а, поэтому пределы слева исправа называют односторонними пределами. Если а = 0, то пределслева функции /(ж) обозначают lim /(ж) или / ( —0), а предел справах —У—Ообозначают lim /(ж) или /(+ 0 ).ж—>-+0Например, для функции /(ж) = sign ж, где—1,0,еслиеслиж < 0,ж = 0,1,еслиж > 0,{график которой изображен на рис.

Характеристики

Список файлов книги