Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 30
Текст из файла (страница 30)
+ у п + \)\ + ° ( x2n+2hх^0,(24)ИЛИ-ILshx =~2k+1— —+о(ж2”+2),ж ^ 0.4= 0Аналогично по формуле (21) находим2сЬж = 1 +2п42!4!+ ... +(2п)!+ о(х2п+1),илиJ L„24сЬж = У ^ 7— т + о(ж2”+1),ь а (2fc) !к=ОЖ—У0.х —У0,(25)Гл. IV . П роизводная и ее прилож ения164З а м е ч а н и е 6. Т а к к а к s h * =ех — е ~ х, ch* =ех+е~х, то ф о р м у лы (24) и (25) м ож но п о л у ч и ть, и сп о л ьзу я р а в ен ств о (23) и р авен ств ое -х = У'к= Ок\+„(*«), ,г _* (,.в) Тригонометрические функции. Функция /(ж) = sin* являетсяН 6Ч6ТН 0Й ,/ ( 2”+ 1 )(ж) = sin (ж + ^ ( 2n +1 )),откуда/ ( 2»+!)(0) = sin ( | + т т ) =Поэтому по формуле (22) находим352п+1sin ж = ж + ( - 1 )” (2^ +2к+1Sm x = Y ( ^ l ) k T4' (2 к + 1 )!к= 0С08 7ГП= (-1 )".+ о(х2п+2),+ 0(ж2п+2),ж^О,(26)ж^О.Аналогично, /(ж) = cos ж — четная функция, ф(2 пЦ0) = cos (^ 2 п ) == ( —1 )п, и по формуле (2 1 ) получаем2совж = 1 ^ИЛИ42п+ ...
+ (^1 )” -^уу + о(ж2”+1),п2кcoSx = Y Y l ) k L Y + °(Ж2”+1),ж^О,(27)ж —У0 .к=Ог) Степенная функция. Пусть /(ж) = (1 + ж)а , где a £ R. Тогда/№ (ж) = а (а —1 )...(а —(к —1))(1 + х)а~к, откуда получаем/ W (0 ) == а( а —1)...(а —(к —1)). ОбозначимС° =1 , С к = a ( a ^ 1)- (“ ^ (fc^ 1)), к £Тогда по формуле (20) получимП(1 + х ) а = Y CaXk + о(хп),Ж^ О .N.(28)(29)к=ООтметим важные частные случаи формулы (29).1)—'— = 1 + ж + ж2 + ... + ж” + о(ж” ),1—жж^О,(30)§1 8 . Формула Тейлораили165п_L_1 —х• X= у'хк + фк=ОФормула (30) была получена другим способом в п. 2 (пример 2).2)= 1 ^ х + х 2 + ... + (~1)пх п + о(хп),ИЛИх^О,(31)пх —У0 .—1— = У ( - 1 )кх к + о(хп),1+* ^д) Логарифмическая функция. Если f ( x) = 1п(1 + х), то /(0 ) = 0,f (k){x) = ( - ^ ( f c - 1)!(1 + х)К/W(Q) =_ 1},и по формуле (20 ) находим23/ 1 чгг—11п(1 + ж) = ж - у + у + ...+ ^ - ^х п + о(хп),х^О,(32)илиЫ (1 + х) = у(- Чк+ о ( х п), х ^ О .к= 1Заменяя в формуле (32) х на —х, получаемгг.2гг. 31п(1 - х) = -X - у - у -гг.П"+ о(хп),х0, (33)илипк1п (1 - х) = - Y , \ + о(хп),х -►0 .к= 1П р и м е р 3.
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки Хо = 0 до о(хп) функцию f(x), если:а) !{х) =0) !{х) = S T Tв) /(а:) = In J-E-f; Г) JOt) = ( i + 3 )e -!' .А а) Применяя формулу (29) при а = —1, получаемП- j —У Г+Тc k -I ,9х к += Yк=О- 1/2о(хп),Кх^О,’ГД 6Ск_1/ 2== ( —1)^ 1 • 3...(2fc — 1)к\2к к\'Гл. IV . П роизводная и ее прилож ения166Обозначим (2к —1)!! = 1 • 3...(2к —1), тогда-л =1 + Ё М ) ‘Д г 1)П х “ + ° (1*1- 'т ^ ° --(34)к=1Из формулы (34) при п = 3 находим1= 1^-ж+-ж28б) Так как — -— = — —1VI + *Зж + 22 — —ж^ + о(х3),2( 1 + | \х —У0.16(35), то, применяя формулу (31), полу-П£— — = V ^ l ) * 5^ — ж* + о ( х п),3* + 2; 2 *+!V ;ж^О.к=Ов) Используя равенство I nж-551~~= In - + I n§- и формулу (33),1~ 4находимпкl n х^^l 4| = l n ^4 + ^V ^ к- f 44*4 r ^ 45кr )/ + о ( х п),Jх^О.к= 1г) Так как /(ж) = же-2®+ Зе-2ж, то, применяя формулу (23), получаем/ п——1 / I\kcykч JL ( - л \ кокс Ч о (ж ”- 1)]j-*ж*+о(жп1)) + 33 ^^ - 1 fc,ж*+о(ж"),f(x) = x ( J 2h/с=0/с=0илиДж)= 3+т.
е.^(Jg fc +к= 1"^ £ L -Jк= 1Д+о(ж” ),ж^ О,ж^О,( л \fc -lo fc-l/(ж)=3 + ^ - — —(к - 6 ) хк + о(ж” ), ж —У0 . ▲fc=iП р и м е р 4. Разложить по формуле Маклорена до о(ж2”+1) функцию/(ж) = cos4 ж.. тт91 + cos 2ж, получаемА Используя равенство cos^ ж = ----1 + cos 4ж \1о , 1cos4 ж = -l /1 l ,+o2 cos о2ж Н,------- = - + 3- ,cos2ж + - cos4ж,4V2 / 8 28откуда по формуле (27) находимС084 ж =п/i \кп2к —11 + ^ ^ ^ — (1 +к= 1122 к~ 2 )х2к + о(ж2”+1),ж —>■0.▲§1 8 . Формула Тейлора167З а м е ч а н и е 7. Если существует f l-n+1)(о) и известно разложение функции„/ '( * ) = J 2 bkXk + о ( х п ),k=Qf(k+l)(Q\где Ьк = ---------, ток!/ Ы = / ( 0) + £7 1 ® I* + о(1 -« ) =“= Д » ) + Ёук= 0т. е.31 ‘ 1‘ + ‘’ ( 1 * " ) ’пf ( x ) = f ( 0 ) + ^ 2 ]^i x k+1+ o ( x n+1).,х -* 0.&=0П р и м е р 5. Разложить по формуле Маклорена до о(ж2”+1) функции:_____а) arctg ж; б) arcsin ж; в) 1п(ж + л/1 + ж2).А а) Так как(arctg ж)' =y^T-’то, используя формулу (31) и замечание 7, получаемП— Ц = У ( ^ 1 )кх 2к + о(х2п+1), ж ® 0 ,1 + ж2 к=0'откудаAL„ 2fc+iarctgж = У Д —1) ' ' — - + о(ж2”+2), ж -¥ 0.к=0Из формулы (36) при п = 2 находимarctg ж = ж — Д + Д + о(ж6),Ож -А 0.(36)(37)с)б) Используя замечание 7, равенство (34) и формулу (arcsin ж)' =1л/1 —получаемХ :J= 1+ Ёк=1(2 р^?)!!ж2"+ о(ж2д+1)>2fefc!откудаarcsin жж-^ Ё Ё )ж2*!+1 + °(ж2"+2)’ х ^ 0 .(38)к = 1Из формулы (38) при п = 2 находим13arcsinж = ж + - ж 3 + — ж5 + о(ж6),ж -А 0.(39)Гл.
IV . П роизводная и ее прилож ения168в) Так как(1п(ж + л/ l + x 2 ) ) 1 =1то, используя замечание 7 и разложение (34), получаемтгЬ-1 + к=1£И>'т " ° -откудаЫ(ж + / Т У Т 3) =Ж+V"'+ 0 (ж2 „ + 2 ) ,2 Кк \ ( 2 к + 1)(40)Из формулы (40) при п = 2 находим1п(ж + л / \ + ж2) = ж - у +ж5 + о(ж6),ж^О.▲(41)П р и м е р 6 . Разложить по формуле Маклорена до о(ж6) функции:а) tgж; б) Фж.А а) Функция tgж является нечетной, и поэтому tgж = агх ++ азж3 + «5ж5 + о(ж6), ж —У0 , где а\ = 1 , так как tgж ~ ж при ж —¥ 0 .Используя равенство sin ж = cos ж tgж и разложения (26), (27), получаемж- 1г+S +о(ж6)= +азх3 +аъХ5+о(ж6))О- i.
+ii+о(ж5))•Приравнивая коэффициенты при ж3 и ж5, находим —- = ^ - + аз,11 а3 .1 2625! = 4! “ 215’ откуда аз = з ’ ° 5 = 15’ и П0ЭТ0МУ^»з2tg ж = ж + — + — ж3 + о(ж3), ж —У0.(42)о1aб)Так как th ж — нечетная функция, то th ж = а±х + а^х 3 + ж5 ++ о(ж6), где ai = 1 (Шж ~ ж при ж —1 0). Применяя формулу вЬж == с ЬжЙж и используя разложения (24), (25), получаемж + |у ++ о(ж6) = (ж + а 3 ж3 + а 5ж5 + о(ж6)) (^ + | [ + ^[ + о(ж5) ^ ,откуда,сравнивая коэффициенты при ж3 и ж5, находим аз = —= — . Следовательно,15г32 соЙ ж = ж — —+ — ж + о ( ж ) .о1a▲3=(43)З а м е ч а н и е 8. П рием , использованн ы й для н ахо ж д ен и я разлож ений (42) и (43), н азы в аю т ме тодом н еопределенных к оэффициентов (см.
[11,с. 389, 390]).З а м е ч а н и е 9. Р азл о ж ен и е ф у н к ц и и /(ж ) по ф орм уле Т ей л ор а (16)зам ен ой х — хо = t обы чно с в о д и тся к разл о ж ен и ю ф у н к ц и и g(t ) = f ( x o + 1)по ф орм уле М аклорена (20).§1 8 . Формула Тейлора169П р и м е р 7. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точкиж0 = - 2 до о((ж + 2 )”) функцию /(ж) = —— —.х 1 + ЪхА Так как /(ж) = - I -------------), то, полагая ж = t — 2, получаем5 \хх5/Л х) = 9(0 = К г Ь - г Ь ) = ^“ < Г А Т у “ 1(ГТТ Г 1 • Пр‘"меняя формулы (30) и (31), находим_ \к+1V5 • ?к= 0к=0откуда\& + 1f ( x ) = E { i^^^)(x + 2)k + 0((x + 2'r hх—2- Ак=04.Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора./(ж)Рассмотрим предел при ж —^ 0 отношения ) : , где /(0 ) = <?(0) = 0,У\х )0т. е.
предел типа - .Будем предполагать, что/ ( 0 ) = / ' ( 0 ) =. . . = f in- v (0 ) = о,/(" )( 0 ) #0.Тогда разложение функции / по формуле Маклорена (20) имеет вид/(ж) = аж” + о( ж” ),ж —1 0,гдеа ф 0.(44)Аналогично, предполагая, чтод{0 ) = р'(0) = - =5 (го- 1 }(0 ) = 0 , д{т){0) # 0 ,по формуле (20 ) находимр(ж) = Ьхт + о(хт),х —1 0 ,гдеЬф 0.Из равенств (44) и (45) следует, что/(ж ) _д(х)а х п + о(хп )Ьхт + о ( х т ) 'ж —1 0 .f (х')(Xf (х')Если то = те, то lim iAA =Если п > то, то lim iAA = Q- если жеж-Ю р(ж)Ьж-Ю р(ж)г /(*) = оо.те < то, то limж-»о р(ж)Гл. IV . П роизводная и ее прилож ения170Пример8 .
Найти lim ----------ж-»о sin* — sh*А Используя формулы (24), (26), (31) и(42), получаем**3,,9,/ Ч,4 Q, Q.tg х — 1 +1--* 22 = Х + ~о---- ж(1 —х") + о(х ) = - х + о(х )я: +, о/( хЗЛ'sm х — sh1 х = х —*-— / ж +, *— \ +, о/( ж3 ^) = ——о чоI3Следовательно, искомый предел равен —4. ▲е (1 + х У 1/х - 1П р и м е р 9. Найти limx-t-ОхА Воспользуемся равенством (1 + ж )-1/® =1п(1+*). По форполуча( ——1п(1 + ж) = —1 + ^ + о(х). Используя формумуле (32) получаемлу (23), находиме (1+х ) - 1/х - 1 = е • е - 1+х' 2+о(-х) - 1 = ех/2+о{х) - 1 = | + о(ж).Поэтому искомый предел равен i .
▲П р и м е р 10. Найтиln (* +VI +* 2) +; 1- ch (V 3 *)V—I+!-----------------2*.rlim ---------------V't h x — X COS Xх^ОА Пусть f ( x ) и д ( х ) — соответственно числитель и знаменатель дроби. Тогда, используя формулы (43) и (27), получаемд(х) = * -— + о(ж4) -3х( 1\-— + о ( ж 3 )') = — + о ( ж 4 ).2/ 6Поэтому числитель f ( x ) следует разложить до о ( х 3). Применяя формулы (41), (35) и (25), находимf ( x ) = * - ^ + о ( ж 3 ) + ( l - ж + | ж2 - | ж3 + о ( ж 3 ) ) -( l + | ж2 + о ( ж3 ) ) = ~ж3 + о(ж3).Следовательно, искомый предел равен —16.
▲Локальная формула Тейлора часто используется при вычислениипредела при х -А Жо функции (1 + f ( x ) ) 9^x\ где f ( x) —1 0 и д ( х ) —1-А оо при х -А Хо- Если Хо = 0 и разложение функции / по формулеМаклорена имеет вид (44), а функция д ( х ) представляется при х - А Ов видеq(ж) = ;— г, где ЪФ 0, п € N,§ 1 9 . П равило Л опит аля171то, используя формулу (16) § 13, получаем/%1/(Ьж" + о(ж")),,lim (1 + f ( x ) ) 9(x) = lim (1 + ахп + о(хп) )= еа/ь.ж-Юж-Ю V/(46)П р и м е р 11. Найти lim (etgx + ln(l - ж)) 1 /(а«»т shx-,)х —^0А Используя формулы (39) и (24), получаемarcsin sha: —х = arcsin ( ж + ^" + о(ж4)^ —х =333* +, —* +, о(хt 3\х= х +, —)- х = —+, о /( х3\).ООоАналогично, разложив функции ех , tg x , 1п(1 —х) по формуле Маклорена до о(х3), находимetgx + ln(l - х ) = ex+xS/3+о{хА) - х - %- - 4 - + о(х3) =2 33939зз, ж, +х ' — ,+х — ,+х ' ,—/ +3\ о(х ) - хX - —х-' ,—/ +3\= 11 +о(х ) = 1 ,+х' , I—3\+ о(х ).оZОZоОПо формуле (46) находим, что искомый предел равен е1/ 2.
▲При вычислении предела с помощью формулы Тейлора в конечнойточке Хо ф0 можем положить t = х —Xq и свести задачу к вычислению предела при t = 0 .ООНеопределенности видов — , 0 • оо, оо —оо обычно приводят к00Определу типа - .П р и м е р 12. Найтиlim х{ л/ х 2 + 2х ^ 2л/ х 2 + х + х).X —> + (Х>А Обозначим f ( x ) = х ( \/х 2 + 2х —2\Jx? + х + х), тогда f ( x ) == ж2 ( i / l + — — 2 i / l + — + l \ . Полагая —= t, получаем f ( x) = g(t) =\ уXуX/X= ^ ( y / l + 2t — 2у/1 + i + 1). Используя формулу (29) при а =получаемл/1 + t = 1 + — t — — t"2оп = 2,t —у 0.Следовательно,=++ I * - I * 2) +o( t 2) + l )— — ( - - t 2 + o(£2)),откуда находим, что искомый предел равен —▲t -A 0 ,Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
