Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 31
Текст из файла (страница 31)
IV . П роизводная и ее прилож ения172§ 19. Правило ЛопиталяттПри вычислении предела отношения /(*)j при г 4 о в случае, когдафункции / и g одновременно являются либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими, иногда удобно применить так называемоеправило Лопиталя, позволяющее заменять предел отношения функций пределом отношения их производных.1.Неопределенность видаЕсли функции /(ж) и д(х) дифференцируемы в точке a, f ( a ) = д(а) = 0 , но д'(а) ф 0 , то, применяяк функциям / и д локальную формулу Тейлора при п = 1 (§ 18, формула (13)), получаем/(ж) = f'(a)( ж —а) + о(( ж —а)),д( ж) = д'(а)( ж —а) + о(( ж —а)),откуда следует, чтоИт тд(х)(1)тд'(а)1 ]Аналогично, если существуют / ^ ( а ) и д^п\ а ) и выполняются условияf{a) = f { a ) = ... = f {n- 1 \ a ) = Q,д{а)=д' {а) = ...
= д(п- 1 \ а ) = О,но д(п\ а ) Ф 0 , тоХ^а д(х)Х^а у^)(а)У (ж —а) + о((х —а)п)П р и м е р 1. НайтиlimЗж10 - 2.т-' -х-rigV)(a)1ж3 — 4 ж 2 + 3АОбозначим/(ж) = Зж10 —2ж5 —1, д(ж) = ж3 —4ж2 + 3. Тогда/'(ж ) = ЗОж9 - 10 ж4, д'{ж) = Зж2 - 8ж, / ( 1 ) = д{ 1 ) = 0 ,/ ' ( 1 )= 20 , д'{ 1 ) == —5, и по формуле (1) находим, что искомый предел равен —4. АТ е о р е м а 1.
Пусть функции /(ж) и д(ж) дифференцируемы на интервале (а,Ь),lim /(ж) = 0 ,lim р(ж) = 0 ,ж—>а+0ж—>а+0д'(ж) ф 0 для еееж ж € (а, Ь),(2 )(3)существует (конечный или бесконечный)Пт1 Шх->а +о д (х)=А.(4)§ 1 9 . П равило Л опит аляТогда173lim XXL также существует и равен А, т. е.^ ° +0 9{Х)fix)lim Ц Ц =х->а+о g ( x )f'(x)lim Ц Ц .(5)х->а+о g ' { x )О Пусть х € (а, Ь). Доопределим функции f ( x ) и д(х) в точке а,полагая/(а ) = д(а) = 0 .(6 )Тогда из условий (2) и (6 ) следует, что функции f u g непрерывнына отрезке [а,х]. По теореме Коши (§ 17, теорема 4) существует точка £ € (а , х ) такая, чтоf(x) = Дж) - f{a) = /'(£)(7)д(х)д( х) - д( а)д'( 0 '[JЕсли ха + 0, то £ ^ а + 0, и в силу условия (4) существует/'(ЛlimX = А.
Поэтому из равенства (7) следует, что справедли-s -ю + о д (С)во утверждение (5). •З а м е ч а н и е 1. Д о к азан н ая те о р е м а (с со о тв е тс тв у ю щ и м и и зм ен ен и я ми ее условий) о ст а е т с я сп равед ли вой при х —¥ а — 0 и х —¥ а, где а —к о н еч н ая то чк а.Э та те о р е м а о с т ает ся в силе и для сл у ч ая , к о гд а а = + о о (или а == —оо), если lim f ( x ) = lim д ( х ) = 0, д ' ( х ) ф 0 при х > хо и су щ е ств у етх—*+ооlimf'(x)х—*+оо.; = л ; и в это м сл у чаеж->+оо д (х)..limfix).; : = А.
Д о к азател ьство этогож->+оо д(х)1у т в е р ж д е н и я , основанное на и спользовании зам ен ы перем ен ного х = — итео р ем ы 1, со д ер ж и тся, н апри м ер, в [2, т. 1, § 12, те о р е м а 3].2. Неопределенность вида — .Т е о р е м а 2. Пусть функции /(ж) и д(х) дифференцируемы прих > а, причем д'(х) ф 0 при х > а,lim /(ж) = оо,X —> + СЮlim д(х) = ооX —> + СЮ(8 )и существует конечныйИ т 1 Ш = А.х—^-f”Oo д (х)Тогда существуетlim, равный А, т. е.Г/(*) =lim -ффд(х)х^+оо(9)1limf ' ( X)х^ +о о д'(х)(1( 10ПА)О Из условий (8 ) следует, чтоНп| > а: Уж > а\ -А |/(ж)| > 1, \д(х)\ > 1,(1 1 )Гл.
IV . Производная и ее прилож ения174и поэтому /(ж) ф 0, д(х) ф 0 при х > ад. По определению предела (9)для заданного числа г > 0 можно найти Si = £i(e) ^ ад такое, что длявсех t > 8\ выполняется неравенствоАл-£ <2tng'{t)< А +(12)-2'Фиксируя Xq > Si (рис. 19.1), выберем, пользуясь условиями (8 ), число 82 > хо такое, чтобы при всех х > 82 выполнялись неравенстваf i x 0) < 1 ,gix 0) < 1(13)2 ’ 5(ж)2fix)Для доказательства утверждения (10) нужно показать, что существует 8 такое, что при всех х > 8 выполняется неравенствоА -£ < Щ< А + £.(14)Число S будет выбрано ниже. Считая, что х > S, применим к функциям / и д на отрезке [жо,ж] теорему Коши о среднем.
В силу этойтеоремы существует точка £ 6 [жо,ж] такая, чтоf(x) - /(ж0) _ /'(£)д(х) - д(хо)д’ ( 0 '(15)Преобразуем левую часть равенства (15), используя условия (11)и (13):fix) - /(ж0) _ f(x)(ф ))-\(16)д(х) - д(хо)д(х)где( )-9(хо)/д(х) _0(iP[X)- l - f f(xo)/f(x)( x 0) / f ( x ) - L~ + P(X)^_1,Заметим, что (5{х)—>00 при Xх -+—> +00+оо в силу Лусловий (8 ). Поэтому/3(х) -+Vs >0 38 ^82 : Vx > 8 -+ \(3(х)\ <Щ ТФ {щТак как £ > хо > £i, то из равенств (16), (17) и условия (12) следует,что для всех х > 82 выполняется неравенствол - 1 < Ш М г ) г 1 < Л + 1-(19)§ 1 9 . П равило Л опит аля175Если х > S, то (р(х) > 0 в силу условий (17) и (18), и поэтому неравенство (19) равносильно следующему:(а -1 ) (1 + т ) << (л+1 ) (i + т ) .(20 )Используя неравенство (18), получаем(-* - § ) ( ! + /В Д ) = Л - § + (.4 - 0 .
3 ( 1 ) 3> Л- | - ( И+ | ) \ т \ > А - \ ~ \ = А-е.Аналогично находим(л + | )(1 + (3(х)) «С Л + | + (|Л | + | ) Щх)\ < А + е.Таким образом, для всех х > S выполняется неравенство (14). Этоозначает, что справедливо утверждение ( 10 ). •З а м е ч а н и е 2. Т ео р ем а 2 о с т а е т с я в силе и в случае, к огда А = + о о илиА = —о о . Т ео р ем а сп р авед ли в а и для с л у ч ая х —¥ а (х —¥ а — 0, х —¥ а + 0),где а — ко н еч н ая то ч к а.З а м е ч а н и е 3. Согласно те о р е м а м 1 и 2 правило Л оп и тал я с л у ж и тдля р а с к р ы т и я неопределенн остей вида - или — .
Н еопределен н ости видовОооО • о о , о о — о о , 0°, о о ° , 1°° часто у д а е тс я св е с ти и к н еоп ред ел ен н остямОоотипа - или — с помощью различных преобразовании.ОооП р и м е р 2. Доказать, чтоlimх —^-f-oo Х а= 0,еслиа > 0.А Применяя правило Лопиталя (теорема 2), получаемUm * £ £ =1г->+ос х аПт1г->+ос а ха 1lim —1г->+ос а ха=0. ▲П р и м е р 3. Найти lim х а In х, где а > 0.х—^Н~0ООА Преобразуя неопределенность вида 0 • оо к виду — и применяя00правило Лопиталя, получаемlim х а In х = lim= lim1^Х „ = — lim х а = 0 .ж-н-ож-»+о х ~а ж-»+о —a* _sa+1iа ж-»+оП р и м е р 4.
Доказать, чтоХ^~lim — = 0 ,х^+оо ахеслиа > 0, а > 1 .▲Гл. IV . П роизводная и ее прилож ения176А Пусть то = [а] + 1, тогда а —то < 0. Применяя правило Лопиталя то раз, получаем,.птха,.— = птг-4+оо а 1а * 0 -1,.— -— = ...= п тх-»-+оо а х In ах^> +ооа ( а - 1). . . (а ^ т + 1 ) х а ^ т—------ -— , тa * InапА= 0, ▲З а м е ч а н и е 4. П рим еры 2 и 4 п о казы в аю т, что при х —1 + о о логариф м и ч е с к а я ф у н к ц и я р а с т е т м едленнее степ енн ой ф у н к ц и и х а , а степ ен н аяф у н к ц и я р а ст ет м едленн ее п о к азательн о й а х , а > 1.П р и м е р 5. Доказать, чтоIn^ Тlim — = 0 ,X - S - + QOеслиа > 0 , /3 > 0 .Х РА Полагая In х = ^ и используя пример 4, получаемР]„ аИтX—S-+ 0 0Пример=хРПт±а*= о.Аt —S-+ 0 0 Р а е с6 .
Доказать, чтоlimXх =х —^Н~01.(21)А Используя равенство Хх = ехЫх и пример 3, получаем утверждение (2 1 ). ▲П р и м е р 7. Доказать, чтое - 1/®2lim, ,, = 0 ,если к > 0 .ж-Ю |ж|*А Полагая 1/ х 2 = t и используя пример 4, получаемlimр- 1/®2х—s- 0fk/2, = lim—г= 0. ▲|ж|кt —S- + 0 0el§ 20. Исследование функций с помощью производных1. Возрастание и убывание функции.а)Критерий возрастания (убывания) дифференцируемой функциина интервале.Т е о р е м а 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале(а,Ь) функция /(ж) была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие/'(ж ) ^0 при всех х € (a,b).(1 )0 при всех х € (а,Ь)(2 )Аналогично, условие/'(ж ) ^является необходимым и достаточным для убывания дифференцируемой функции /(ж) на интервале (а,Ъ).§ 2 0 .
И сследование ф ункций с помощ ью производных177О Ограничимся доказательством теоремы для случая возрастающейфункции.Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть Xq — произвольная точка интервала(а,Ь). Из определения возрастающей функции (§ 9, п. 7) следует, чтоУж € (а, Ь) : ж > Жо —1 /(ж) ^ / ( жо),Уж € (а, Ь) : ж < Жо —1 /(ж) ^ / ( жо).Следовательно, если ж € (а, Ь) и ж ф жо, то выполняется неравенство/(Ж ) -/ ( Ж 0) >Ж — Жо0.д ."Так как левая часть (3) имеет при ж -А Жо предел, равный / ' ( жо), то изнеравенства (3) по свойству сохранения знака нестрогого неравенствапри предельном переходе получаем/ ' ( жо) ^ 0 для любого жо € (а,Ь).Д о с т а т о ч н о с т ь .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
