Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Найти точки экстремума функции /(ж), если:а) /(ж) = (х - 2)2(ж + I)3; б) /(ж) = \х2 —4|e- lxLА а) Функция дифференцируема на R, поэтому все ее точки экстремума содержатся среди стационарных точек функции, являющихсякорнями уравнения /'(ж ) = 0 , т.
е. уравнения/'(ж ) =2 (ж - 2 )(ж + I )3 + 3(ж + I)2(ж - 2)2 == (ж - 2)(ж +1) 2 (5 ж — 4)= 0.4Это уравнение имеет корни х \ = —1, Х2 =х% = 2, причем приапереходе через точку х\ функция /'(ж ) не меняет знака, при переходечерез точку Ж2онаменяет знак с плюса на минус, а при переходечерез точку Жз — с минуса на плюс.Следовательно, Жз и Жз являются соответственно точками строгогомаксимума и строгого минимума функции /(ж), а х± не являетсяточкой экстремума этой функции.б) Функция непрерывна на R, дифференцируема на R, кроме точек —2, 0, 2, и является четной. Если ж 0, тоJ- / ~ 9 (х)^ д(ж)приприжG [0 , 2],ж> 2 ,где д(ж) = (ж2 —4)е-ж.
Уравнение д'(ж) = (^ж 2 + 2ж + 4)еГх = 0 имеетна промежутке (0 , +оо) единственный корень Х\ = 1 + ХЕ, причемд'(ж) = /'(ж ) при ж > 2 и д'(х) меняет знак с плюса на минус припереходе через точку х±. Поэтому х± — точка строгого максимумафункции /(ж).При переходе через точку Жз = 2 функция /'(ж ) меняет знак сминуса на плюс, так как /'(ж ) = —д'(ж) при ж G (0 , 2 ) и /'(ж ) = д'(ж)при ж > 2. Поэтому Жз — точка строгого минимума функции /(ж).Учитывая, что функция /(ж) строго убывает на интервале (0, 2) ичетная, заключаем отсюда, что ж = 0 — точка строгого максимумафункции /(ж).Используя полученные результаты и четность функции /(ж), получаем: ж = - 2 и ж = 2 — точки строгого минимума функции /(ж);ж = —(1 + л/5), ж = 0 и ж = 1 + л/5 — точки строгого максимума этойфункции.
▲3.Наибольшее и наименьшее значения функции. Понятие наибольшего (наименьшего) значения функции было введено в§ 9, п. 6 .Для функции, непрерывной на отрезке, существует согласнотеореме Вейерштрасса точка, в которой эта функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.В случае когда непрерывная на отрезке [а, Ь] функция /(ж) имеет локальные максимумы в точках х \,...,х р и локальные минимумыГл. IV . П роизводная и ее прилож ения184в точках x i ,...,x m и не имеет других точек локального экстремума,наибольшее значение функции /(ж) на отрезке [а, Ь] равно наибольшему из чисел /(a ), f ( x 1 ),/(ж*), f(b), a наименьшее значение этойфункции на отрезке [а, Ь] равно наименьшему из чисел /(a ), /(S i), ...f(Xm), т.В прикладных задачах при нахождении наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке [а, Ь] или на интервале (а, Ь) частовстречается случай, когда функция / дифференцируема на интервале (а,Ь) и непрерывна на отрезке [а,Ь], а уравнение /'(ж ) = 0 имеетединственный корень Xq G (а, Ь) такой, что /'(ж ) > 0 при ж G (а, Жо) и/'(ж ) < 0 при ж € (жо, Ь) или /'(ж ) < 0 при ж € (а, жо) и /'(ж ) > 0 приж G (ж0, Ь).В этом случае число / ( Жо) является не только локальным экстремумом функции /(ж), но и наибольшим (наименьшим) значениемэтой функции на отрезке [а, Ь] или на интервале (а,Ь).П р и м е р 4.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции /(ж) на множестве Е, если:а) /(ж) = (ж —2)2(ж + I)3, Я = [0,3];б) /(ж) = |ж2 - 4|е””1ж1, Е = R.А Пусть А/ и то — соответственно наибольшее и наименьшее значения функции /(ж) на множестве Е.5а) Для данной функции ж = - — точка максимума, ж = 2 — точка/5 \З8минимума (пример 3,а)), причем / ( - J =/ ( 2 ) = 0 , а значенияфункции в концах отрезка [0,3] равны /(0 ) = 4, /(3 ) = 43. Так какМ — наибольшее, а то — наименьшее из чисел /(0 ),/(2 ), /(3),то М = /(3 ) = 64, то = /(2 ) = 0.б) Для данной функции ж = ^ 2 и ж = 2 — точки минимума; ж == —(1 + 75), ж = 0 и ж = 1 + 7 5 — точки максимума (пример 3,6)).Функция убывает при ж > 1 + \/5 и является четной, /(0 ) = 4, /(2 ) = 2,/ ( 1 + 75) = 2(1 + T 5 )e-(1+V3) < 2, так как е*t > t при £ > 0.
Следовательно, выбирая из чисел / ( 0 ), / ( 2 ), / ( 1 + 75) наибольшее и наименьшее, получаем М = /(0 ) = 4, то = /(2 ) = 0. ▲П р и м е р 5. Определить отношение радиуса основания к высотецилиндра, если при данном объеме цилиндра площадь его полной поверхности является наименьшей.А Пусть ж, h, v, S — соответственно радиус основания, высота,объем и площадь полной поверхности цилиндра. Тогда S = 2пхh ++ 2 ттх2, v = n x 2 h, откуда h = —7 при ж > 0 , и поэтому•кх 2S = S (ж) = 2 ^—+ 7гж2^ , 5"(ж) = 2^27гж — 7Уравнение S' = 0 имеет единственный корень Жо = |/ т 7 , причемV 2-7Г§20. И сследование ф ункций с помощ ью производных185S'(x) < 0 при х Е (О,жо) и S' (ж) > О при х > жо- Следовательно, жо —точка минимума функции 5(ж), и наименьшее значение этой функции равно S (x о), т. е. площадь полной поверхности цилиндра являетсянаименьшей, если его радиус равен ж0- Но тогда h = — ~ = 2 жо, т.
е.цилиндр при заданном объеме имеет наименьшую площадь полнойповерхности, если его высота в 2 раза больше радиуса, т. е. в случае,когда осевое сечение цилиндра — квадрат. А6 . Доказать, что при хПримерЕО,О < sin х cos ж <7Г "2Jсправедливо неравенствоЗл/ЗД Обозначим (р(х) = sin3 ж cos ж; тогда(23)16ж) = i sin 2ж(1 —cos 2ж) == j sin 2ж —i втДж, откуда ^р'(х) = ^(cos 2ж —со8 4ж) = sin ж sin Зж.482Уравнение (р'(х) = 0 имеет единственный корень ж = жо = — на интервале (О, | ) , причем (уУ(ж) > 0 при жжЕЕ^0, ^и у/(ж) < 0 приСледовательно, жо — точка максимума функцииmaxже[0,7г/2]ж) и3/3<р(ж) = ср(жо) = —— .
Правое неравенство (23) доказано. Левое16неравенство, очевидно, выполняется, так как ч п ж ^ О и cos ж ^жЕ 10 , А0 при[»•§]•4. Выпуклость функции.а)Понятие выпуклости. Непрерывная функция у = /(ж) называется выпуклой вверх на отрезке [а, Ь], если для любых точек х\ и Ж2отрезка [а, Ь] выполняется неравенствоf ( x 1 ) + f(x 2)(23)Дадим геометрическую интерпретацию понятия выпуклости(рис. 20.4). Пусть M i, М2, М 0 —точки графика функции у = /(ж),абсциссы которых соответственноравны Ж1 , ж2, жо = — -— .
Тогда/(ж 1 ) + / ( Х 2 )—— 2 — есть °РДината точкиiC — середины отрезка M iM 2, а/ ( Ж1 ^ Ж2) = /(ж 0) — ордината точки M q графика с абсциссой, равнойРис 204абсциссе точки К.Условие (23) означает, что для любых точек Mi и М 2 графика186Гл. IV . П роизводная и ее прилож енияфункции у = f( x ) середина К хорды M iM 2 или лежит ниже соответствующей точки M q графика, или совпадает с точкой M q.Если неравенство (23) является строгим при любых х±, Х2 € [а, Ь]таких, что Xi ф Х2 , то непрерывную функцию у = f( x ) называютстрого выпуклой вверх на отрезке [а, Ь].Аналогично, непрерывная функция у = f ( x ) называется выпуклойвниз на отрезке [а,Ь], если для любых точек х± и Х2 отрезка [а, Ь]выполняется неравенствоj ^ X l + X 2 ^ ^ f ( x i ) + f ( X ‘>)Если неравенство (24) является строгим при любых х±, Х2 € [а, Ь]таких, что Xi ф Х2 , то непрерывную функцию у = f( x ) называютстрого выпуклой вниз на отрезке [а,Ь].П р и м е р 7.
Функция f(x ) = х 2 строго выпукла вниз на любомотрезке.— -—- \ < — -—- равноХ\(- f - Хо \XT- f - Хосильно очевидному неравенству (x± —ж2)2 > 0 . ▲Понятие выпуклости и строгой выпуклости вверх (вниз) можноввести и на интервале. Например, если неравенство (23) выполняетсядля любых точек интервала (а, Ь), то непрерывная функция у = f(x )называется выпуклой вверх на этом интервале.б) Достаточные условия выпуклости.Т е о р е м а 8 . Пусть f'( x ) существует на отрезке [a,b], a f" (x ) —на интервале (а,Ь).Тогда:а) если/ " ( х ) ф 0 при всех х G (а,Ь),(25)то функция у = f(x ) выпукла вниз на отрезке [а,Ь];б) еслиf" (x ) > 0 при всех х G (а,Ь),(26)то функция у = f(x ) строго выпукла вниз на отрезке [а,Ь].Аналогично, при выполнении на интервале (а,Ь) условия f" (x ) ф 0(f"(x) < 0 ) функция у = f (x ) выпукла вверх (строго выпукла вверх)на отрезке [а, Ь].О Ограничимся доказательством для случая, когда выполняется условие (25).
Нужно доказать, что для любых точек х±, Х2 отрезка [а, Ь]выполняется условие (24). Пусть, например, х± < Х2 (при х± = Х2условие (24) выполняется).Обозначим Xq = Xl ^ Хг, Х2—Х\ — 2h, тогда ж2 —Xq = Xq —Х\ = h,откуда Xi = Хо— h, ж2 = Xq + h. Применяя к функцииf (x ) наотреках [ж1 ,Жо] и [Xq,X2 ] формулу Тейлора с остаточным членом в форме§ 2 0 . И сследование ф ункций с помощ ью производных187Лагранжа при п = 2 (§ 18, формула (8)), получаемf ( x l) = f ( x 0 - h ) = f ( x о) - f ( x 0)h + f ^h2,Xo — h < (,! <f i x 2 ) = f ( x 0 + h) = f ( x 0) + f ( x Q) h + ^ ^h2,x 0 < & < X0 + h.Xq,Складывая эти равенства, находимh2f i x 1 ) + f { x 2) = 2 fixo) + у (/"(Cl) + /"(& ))•(27)Так как £1 G (a, b), £2 € (a, Ь), то в силу условия (25) /" (£ 1 ) > 0, /"(£ 2) >^ 0, и из равенства (27) следует неравенство /(жг) + /(ж 2) ^ 2/(жц),равносильное неравенству (24).
•З а м е ч а н и е 5. Условие f"(x) > 0 не я в л я е т с я необходи м ы м условиемстр о го й вы п у кл о сти в н и з ф у н к ц и и у = f { x ) . Н апри м ер, для ф у н к ц и и f ( x ) == ж4 условие f"{x) > 0 н ар у ш ается при х = 0, т а к к а к / ” (0) = 0, однако э т аф у н к ц и я стр о го в ы п у кл а вниз.5. Т оч к и п ер еги ба.а) Понятие точки перегиба. Пусть функция /(ж) непрерывна вточке Хо и имеет в этой точке либо конечную, либо бесконечнуюпроизводную i f f x 0) = +00 или f i x 0) = —00). Тогда если эта функция при переходе через точку Xq меняет направление выпуклости,т. е. существует 6 > 0 такое, что на одном из интервалов (жо —6, х о),(жо,Жо + 6 ) она выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то Xq называют точкой перегиба функции f i x ) , а точку (жо,/(жо)) — точкойперегиба графика функции у = fix ) .Например, для функций у = х 3 (рис.
9.8) и у = ж1 /3 (рис. 14.5)ж = 0 — точка перегиба.б) Необходимое условие наличия точки перегиба.Т е о р е м а 9. Если Xq — точка перегиба функции f i x ) и если функция f i x ) имеет в некоторой окрестности точки Xq вторую производную, непрерывную в точке Xq, то/"(ж0) = 0.О Пусть /"(жц)точке Хоф(28)0. Тогда в силу непрерывности функции f i x ) в35 > 0 : Уж G Usixo)sign/"(ж) = s ig n /" ^ o )т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
