Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Пусть кривая Г задана уравнением (3), где r(t) — дифференцируемая на отрезке [ск, /3] функция, тогдаговорят, что Г — дифференцируемая кривая.Если г '(to) ф 0, то точку Мо € Г, где оШо = r(to), называют неособой точкой кривой Е; если же г '(to) = 0, то говорят, что M q —особая точка кривой Е.Пусть г (t) = (x(t),y(t),z(tj), тогда r'(t0) = (х'(t0), у '(t0), z'(t 0j), ипоэтому точка Мо является неособой точкой кривой Е тогда и толькотогда, когда (х'фо ))2 + (y'(tо))2 + (z'(to ))2 > 0.
Из определения неособой точки и утверждения 1 следует, что во всякой неособой точкекривой Е существует касательная.Если функция r'(t) непрерывна на отрезке [ск, /3], то будем говорить, что кривая Е, заданная уравнением (3), непрерывно дифференцируема.Условимся называть кривую гладкой, если она является непрерывно дифференцируемой и не имеет особых точек. Следовательно, кривая Е, заданная уравнением (3), является гладкой, если функция г'(t)непрерывна и r'(t) ф 0 при всех t € [ск, /3].
Если кривая составлена изконечного числа гладких кривых, то такую кривую будем называтькусочно гладкой.З а м е ч а н и е 4. Д ля н епреры вн о ди ф ф ер ен ц и р у ем о й к р и в о й Г в кач е с тв е до п у сти м ы х п рео бр азо ван и й п ар а м ет р а (см . за м еч а н и я 2 и 3) рассм а т р и в а ю т с я ф у н к ц и и s(t), непреры вн о ди ф ф ер ен ц и р у ем ы е и т а к и е , чтоs'(t) > 0.В это м сл у чае на о т р е зк е [ск, /3] определена непреры вн о ди ф ф ер ен ц и р у е м ая ф у н к ц и я t = t(s), о б р атн ая к ф у н к ц и и s = s(t), п р и ч ем t'(s) > 0 ив ы п ол н яется р ав ен ств о (6).§22.
Кривые2055. Длина дуги кривой.а)Понятие длины кривой. Пусть кривая Г задана уравнением (3),и пусть на отрезке [а , /3] выбраны точки t k (к = 0 , п) такие, чтоOL —tot\ <С—\ <С tn —(3.Набор точек t k будем называть разбиением отрезка [а,(3\ и обозначать Т = {tk, к = 0 ,гг}, а соответствующий набор точек М к = M ( t k),где О Й к = г(£*;), будем наГзывать разбиением кривой Г(рис. 22.3).Соединив последовательно точки М0, M i, ..., М потрезками MqMi, М 1 М 2 , ......, Mn_iM n, получим ломаную^ п, которую будем называть вписанной вкривую Г; отрезки М к- \ М к(к = 1 , п) назовем звеньямиОломаной ^ п, а точки М к (к =Рис. 22.3= 0 , п) — вершинами ломаной 2?п.Так как длина к-го звена ломаной ^ п, т. е.
длина отрезка М к- \ М к^равна \r(tk) —r(tk~i)\, то длина ап ломаной 2?п равнап<?п = ^ 2 ir ( ^ ) - r (*fc-i)i-(п )к= 1Если существует точная верхняя грань множества длин ломаных,вписанных в кривую Г, то эта грань называется длиной кривой Г.Кривая, имеющая длину, называется спрямляемой.У т в е р ж д е н и е 2. Если спрямляемая кривая Г точкой М ' разбита на кривые Ti и Г 2 , т. е. Г = r i T 2 , то кривые Ti и Г 2 спрямляемы,причемS = S i + S 2,( 12 )где S, Si, S 2 — длины кривых Г, Гi 1/ Г 2 соответственно.О Пусть Р' и Р" — произвольные ломаные, вписанные соответственно в Ti и Г 2 , тогда Р = Р 'Р " — ломаная, вписанная в Г, причемсг — сг' + сг",(13)где сг, сг',сг" — длины ломаных Р , Р' и Р " соответственно.
Так какГ — спрямляемая кривая, то сг ^ S, и поэтому<т; ^ S,<т" ^ S.По теореме о точной верхней грани существуют super', super", т. е.206Гл. IV . Производная и ее приложенияи Гз — спрямляемые кривые. Из равенства (13) следует, чтоo' + а" ^ S, и поэтому sup(<r' + а") = super' + super" ^ S, т. е.Si + S 2 «С S.(14)Докажем, что в (14) вместо знака неравенства можно поставить знакравенства. Предположим противное, т. е. допустим, что Si + S 2 < S.Обозначим Sq = S —(Si + S 2), тогда £о > 0.По определению точной верхней грани для заданного числа £о >> 0 можно указать такую ломаную Р п, вписанную в кривую Г, чтоS < ап + Sq. Пусть кривая Г задана уравнением (3).
Будем считать,что вершины М к (к = 0, те) ломаной Рп соответствуют разбиению Тотрезка [а,(3\, указанному выше, а общая точка М ' кривых IS и Г 2соответствует значению параметра t 1 € [tk- i , t k], где к — одно изчисел 1 , 2 , . . . , те.Рассмотрим ломаную Р , полученную из ломаной Рп заменой звенаM k-iM k двумя звеньями М к- \ М ' и М 'М к (остальные звенья этихломаных совпадают). Так как длина отрезка М к- \ М к не превосходитсуммы длин отрезков М к- \ М ' и М 'М к, то ап V сг, где а — длиналоманой Р , ап — длина ломаной Рп.Заметим, что ломаная Р составлена из ломаных Р ' и Р " , вписанных соответственно в кривые Pi и Г 2 . Поэтому~~ lI~ па =а +а ,где а', а" — длины ломаных Р' и Р " .Так как а' ^ Si, а" ^ S2 , то а ^ Si + S2 . Следовательно,сглот Si —I- S2 ,и поэтомуS < <7п + £0 Si + S2 + £0)откуда £0 = S —(Si + S 2 ) < £ 0 , т.
е. £0 < £ о , ч т о невозможно.Равенство (12) доказано. •Уп р а жн е н и е 1. Доказать, что кривая Г, составленная из спрямляемых кривых Г1 и Гг, спрямляемая, причем выполняется равенство (12 ).Уп р а жн е н и е 2. Доказать, что длина кривой Г не зависит от ее параметризации.Т е о р е м а 1. Если кривая Г, заданная уравнением (3), непрерывнодифференцируема, то она спрямляемая, а для ее длины S справедливонеравенствоS «С (13- a ) max |г'(*)|.(15)О Пусть Т = {tk, к = 0 ,те} — разбиение отрезка [а,(3\.
По теоремеЛагранжа для вектор-функции получаем\r(tk) ~ r(£fc_i)| ^ \r'(n)\(tk - t k- i ) , тк G (tk- i , t k).(16)Из непрерывности вектор-функции r'(t) на отрезке [ск, /3] следует не-§22. Кривые207прерывность и ограниченность функции |r'(t)|, и поэтомуБС > 0 : V t e [а,/3] -► |r'(t)| <С С.В качестве С можно в силу теоремы Вейерштрасса взять число(17)Так как |г'(т^)| ^ С , то из (11) и (16) следует, чтопC (tk ~ * * -0 = С (@ ~к= 1где число С определяется формулой (17). Итак, множество длин ломаных, вписанных в Г, ограничено сверху, откуда по теореме о точной верхней граниследует, что Г — спрямляемая кривая, ивыполняется неравенство (15). •б) Производная переменной длины дуги.Т е о р е м а 2.
Пусть кривая Г = {г == г (t), а ^ t ^ (3} непрерывно дифференцируема, и пусть s(t) — длина той частикривой Г, которая соответствует изменению параметра от а до t.Тогда для любого to Е [а,(3\ существует s' (to ), причемs'(to) = |r'(*o)|.(18)О Пусть t 0 + At Е [a, P], Mq и M — точкикривой Г, соответствующие значениям to и to + At параметра кривой(рис.
22.4). Тогда длина дуги M qM равна |As|, гдеAs = s(t 0 + At) - s(t0),а длина хордыM 0M равна |А г|, и поэтому получаем неравенство|Аг| ^ |As|.(19)|As| ^ max |r'(i)||A f|,(20 )По теореме 1 получаемгде Р —отрезоксконцамиto и to + At.Из неравенств (19) и (20) следует, что|Аг| ^ |As| ^ т&х |r/(t)||A t|,откуда при At ф0 получаемAs^ max |r'(t) I.(21)AttePЗаметим, что если At > 0, то A s ^ 0, а если At < 0, t o A s ^ 0, такAsAsAsвозрастающая функция. Поэтому — ^ 0 икак s(t)AtA t'Следовательно, неравенство (21) можно записать в видеАг <At208Гл.
IV . Производная и ее приложенияДгAt(22)Функция r'(t) непрерывна на отрезке [а ,/3], и поэтому функция |г'(£)|также непрерывна на этом отрезке. Согласно теореме Вейерштрассасуществует точка £ € Р такая, что m ax|r'(£)| = |г'(£)|.tEPПусть A t0, тогда |г'(£)| —^ |г'(^о)| в силу непрерывности функции |г'(£)| при t = to. Поэтому правая часть неравенства (22) имеетпри A t0 предел, равный |г'(£о)|Кроме того, по определению производной вектор-функции сущестДгвует lim= r'(tn)J At^O AtKПо свойствам пределов из (22) следует, что существует Jim== |г'(£о)|, т.
е. справедливо равенство (18). Таким образом, доказано,что переменная длина дуги непрерывно дифференцируемой кривой Г,т. е. функция s(t), дифференцируема на отрезке [ск,/3] и выполняетсяравенствоf = И * )|,(23)причем функция s'(t) непрерывна на отрезке [а, (3\. •в)Натуральное уравнение гладкой кривой. Пусть кривая Г, заданная уравнением (3), является гладкой. Тогда функция r'(t) непрерывна на отрезке [а, (3\, г'(t) ф 0, и поэтому |г'(£)| > 0. Из равенства (23)следует, что — > 0 для всех t € [си,/3].
Поэтому непрерывно дифференцируемая функция s = s(t) является строго возрастающей. Потеореме об обратной функции на отрезке [0, S], где S — длина кривой Г, определена функция t = t(s), причем t(s) — непрерывно дифференцируемая строго возрастающая функция и= W ) > °Таким образом, функция t = t(s) является допустимым преобразованием параметра (замечания 3, 4), и уравнение кривой Гможно записать в видег = г (t(s)),0 ^ s ^ S.Если параметром кривой Г является переменная длина ее дуги s,то s называют натуральным параметром, а уравнение кривой Гг = r(s),0 ^ s ^ S,(24)записанное через параметр s, называют натуральнымуравнением.П р и м е р 1.Записать натуральное уравнение винтовой линиих = a cos t,где a > 0 , b > 0 .у = a sin t,z = bt,0 ^ t ^ T,209§22.
КривыеД Кривая Г является гладкой, так как вектор-функция г (t) = (acost,a sin t, bt) непрерывно дифференцируема и|r'(t)| = д / (—a sin t ) 2 + (a cos t ) 2 + b2 = л / а2 + Ь2 > 0.По формуле (23) находимоткуда заключаем (§ 17, следствие 2 из теоремы Лагранжа), чтоs = t \ / а2 + b2 + В ,где В = 0, так как s(0) = 0. Следовательно, t =искомое представление кривой Г имеет видх — a cos -sу — a sm -V a 2 + 62 ’ "sz—V a 2 + b2 ’ "bsV a 2 + Ъ2\[а■Ь2, и поэтому0 ^ s ^ Т л / а 2 + Ь2,так как длина S кривой Г равна s(T) = Ту/а 2 + Ь2. ▲У т в е р ж д е н и е 3. Если параметром гладкой кривой Г являетсяпеременная длина ее дуги s, тоdrds=1.(25)О В самом деле, из формулы (23) при t = s следует равенство (25).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
