Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 38
Текст из файла (страница 38)
•Упражнение3. П усть к р и в а я Г зад ан а н ат у р а л ь н ы м у равн ен и -dvем (24), и п у сть а , /3, j — у глы , образован ны е в ек то р о м касател ьн о й — кdsкри во й Г с о сям и О х , О у и O z с оо тве тств ен н о . Д о к азать, что— = (cos a , cos ft, cos 7 ).ds6. Нормальная плоскость и главная нормаль кривой.а) Нормальная плоскость.Плоскостьпроходящуючерез точку M q кривой Г иперпендикулярную касательной к этой кривой в точке Mq, называют нормальнойплоскостью кривой Г в точке M q.Если кривая Г заданауравнением (3), to G [a,/3],ойо =г (to)Иг '(to)фо,ТОвектор г '(to) параллелен касательной к кривой Г в точке М0.
ПустьМ — произвольная точка нормальной плоскости & (рис. 22.5),ой= г. Тогда вектор М л1 0 = г —r(to) перпендикулярен векторуГл. IV . Производная и ее приложения210г 1 (to), и п о э то м у у р а в н е н и е но рм ал ьн ой п л оск остик кривой Г вто ч к е M q м ож н о з а п и с а т ь в виде(г - г (to), г ' (to)) = 0ИЛИ(.х - x ( t 0)) x'(to ) + (у - у (to)) у ' (to) + (z - z ( t 0)) z'(to) = 0.б)Главная нормаль. Любую прямую, лежащую в нормальной плоскостик кривой Г в точке Мо и проходящую через точку Мо, называют нормалью кривой Г в точке M q. Среди всех нормалей выделяютодну — главную нормаль.Понятие главной нормали требует введения дополнительных ограничений на вектор-функции, с помощью которых записываются уравнения кривых.
Пусть Г — гладкая кривая, заданная уравнением (3),причем для всех t € [си,/3] существует г"(t). В этом случае говорят,что Г — дважды дифференцируемая кривая без особых точек.У т в е р ж д е н и е 4. Если Г — дважды дифференцируемая криваябез особых точек, заданная уравнением (3), s — переменная длина„ -ndril'rдуги кривой 1 , то существуют — и —- и справедливы равенстваdsds2dr _ г'(f)(26)dss'(t)’d2г _ s'(t)r"(t) - s"(t)r'(t)(27)ds2 ~~(s'(t ))3О Применяя правило дифференцирования вектор-функции при замене переменного, получаем формулу (26):dr _ dr dt _ drdsdt dsdt s'(t)1_ г'(f)s'(t)'Используя формулу (26) и правило дифференцирования произведениявекторной функции на скалярную, находимd2r _ dds2dt'dt _ ddsdtоткуда следует формула (27).Заметим, что s"(t) существует, так как s'(t) = |г'(£)|s"(t) = f t ( \ r ' m = f t (r'(t),r'(t))1/ 2а г " (t) существует и |г'(£)| ф 0 .
•Перейдем к определению главной нормали. Будем считать, чтоГ — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданнаят d~т2гл/о\ mdrdrу р а в н е н и е м (3). 1 огда с у щ е с т в у ю т — и — г, п р и ч е мед и н и ч н ы йds ds2ds211§22. Кривыевектор в силу равенства (25). Обозначим этот вектор буквой т . Тогда| = r ,М =1,и поэтому (см. § 2 1 , пример 1 ) вектор ^ру т.dsПредположим, что^(28)ортогонален вектоds~(29)и обозначимк=йтdsПусть v — единичный вектор, параллельный вектору(30)drТогда= ки, Н = 1,(31)причем вектор v ортогонален вектору т.Так как вектор т = — параллелен вектору касательной r'(t) кasкривой Г в силу равенства (26), то из (31) следует, что вектор vпараллелен нормальной плоскости кривой Г в точке М (оШ = г (£)).Поэтому вектор и параллелен одной из нормалей кривой Г в точке М.Эту нормаль называют главной.Итак, если в точке М £ Г выполняется условие (29), то нормаль ккривой Г в точке М , параллельная вектору и (формула (31)), называется главной нормалью.7.К ривизна кривой.
Пусть Г = {г = r(t), а ^ t ^ /1} — дважды дифференцируемаякривая, не имеющая особых точек. Тогда суdrйт й2гществует — = т и — = —-, где s = s(t) —переменная длинадугиdsas ds1кривой Г. Число к, определяемое формулой (30), называют кривизнойкривой в точке М £ Г ( O il = г (£)).У т в е р ж д е н и е 5. Кривизна к дважды дифференцируемой кривойГ = {г = г (t), а ^ t ^ /3}, не имеющей особых точек, выражаетсяформулойк=|г '« Р(32)О Заметим, чтоdr(33)Is ’7единичный вектор, ортогональный век-к=Действительно, так как тdxТ0РУ т то) используя определение кривизны (формула (30)), получаем *\(1 т 1drdr= к.Lds,T \ — ds • м = dsГл. IV . Производная и ее приложения212Применяя формулы (26), (27) и учитывая, что [г'(/), г'(/)] = 0, s'(t) == |г'(/)|, из равенства (33) получаем формулу (32).
•Если г (t) = (x(t),y(t), z(t)), то r'(t) = (x'(t),y'(t),z'(t)), r"(t) == (x"(t),y"(t),z"(t)),s'(t) = |r'(/)| = ^ ( x ' ( t ))2 + (y'(t ))2 + (z'(t))2,и из формулы (32), опуская аргументы, получаем2к= /z'zу'У2+z'Zx'Xyl+Xу,•(( * ')2 + ( у 1)2 + (*')2)3/2Если z(t) = О (Е(34)1;плоская кривая), то формула (34) примет вид\х'у" - у 'х " \к=(35)((х'у- + (у’)2)3/ 2 'В частности, если плоская кривая Е задана уравнением у = f(x ) , тоиз формулы (35) находим!/"(*)!(36)к=(1 + (/'(*))2)3/ 2'П р и м е р 2.
Найти максимум кривизны кривой у = f(x ), гдеf ( x ) = 1п(ж + л / х 2 + 1 ).1xА Так как f ' ( x ) =то по формуле (36)f" (x ) =x ; + I)3/2VS2T IнаходимNИк(х) =3/2(х2 + 2)3/21(*2 + 1)3/2(1 +X2 + 1Функция к(х) является четной, и при х > 0 получаем^)= £ Т2 ,,,' ' - т < - + 2 », / , 2 1 _ v s )(*2 + 2)3■+ 2)3/2откуда следует, что максимального значения (fcmax) кривизна достигает при х = ± 1 , причемfcm ax= fc(±l) =▲Выясним физический смысл кривизны кривой.
Пусть кривая Езадана уравнением (24), и пусть в точке М € Е, где O hl = г (s), существует кривизна k(s).Тогда k(s) = ^Тdsгде |r(s )| = 1. ОбозначимДг =t(s+ As) - r(s )213§22. Кривыегде t ( s + As) и t ( s ) — единичные векторы, параллельные касательным к кривой Г в точках кривой, определяемых значениями параметра s + A s и s.Пусть A р — угол поворота касательной к кривой Г при измененииее параметра от s до s + A s , т. е. угол между векторами t ( s + As)и r(s ), тогда (рис.
22 .6 )l | Ar | = s m l ^ .(37)Назовем скоростью вращения вектора т величинуlimАр(38)A s —>-0 A sТак какk(s) =dr= limdsA s —>-0A rAs(39)то, используя равенство (37) и учитывая, что 2 sin 1ДИA р —у 0, запишем формулу (39) в следующем виде:k(s) = limАр\Acp\ при(40)A s —>-0 A sИз равенств (40) и (38) следует, что кривизна кривой Г, заданнойГРис.
22.7уравнением (24), в точке М G Г равна скорости вращения векторакасательной к этой кривой в точке М.Число R = — - называют радиусом кривизны кривой Г в точкеk(s)M G Г (Ол1 = r(s)). Заметим, что если Г — окружность радиуса R(рис. 22.7), то угол A ip равен углу между векторами r(s) и r(s + As).АрВ этом случае |As| = R\Aip\, и поэтому limA s —Ш Asкривизна окружности равна обратной величине ее радиуса.8. Соприкасающаяся плоскость. Плоскость, проходящую через касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называют соприкасающейся плоскостью.Гл. IV . Производная и ее прилож ения214Отсюда и из определения главной нормали следует, что соприкасающаяся плоскость определена для точек кривой, в которых кривизна к ф 0 .У т в е р ж д е н и е 6 . Если гладкая кривая Г = {г = г (£), a^ (3}дважды дифференцируема и ее кривизна в точке M q = M(to) не равнанулю, то уравнение соприкасающейся плоскости Q в точке M q имеетвид(41)(г - r(t0), r^to), r//(t0)) = 0.О Если s = s(t) — переменная длина дуги кривой Г, то дифференцируя г (t) как сложную функцию и используя формулы (28) и (31),получаем4 =Т' А=г« =j t ( s 'tT ) = s 'u T+s t T e s 't = s u T+ ( 4 ) 2fci/>где индексы указывают, по каким переменным производится дифференцирование.
Отсюда следует, что векторы r't ипараллельны плоскости Q. По условиюк ф 0, и поэтому [rj, r"t\ ф 0. Следовательно, векторы r't и r"t неколлинеарны.Так как векторы г —г (to),г 1 (to) = r't (to),г" (to) = rV(to)параллельныплоскостиQ(рис. 22 .8 ), то их смешанноепроизведение равно нулю, т. е.во всех точках плоскости Q(и только в этих точках) должно выполняться условие (41). •Запишем уравнение (41) в координатной форме:X - x(t0)x'(to)x"(t0)у - у (to)у ' (to)у" (to)Z - z(t0)z'(to)z"(to)= 0.9.Центр кривизны кривой. Эволюта.
Пусть кривая Г задананатуральным уравнением (24). Будем предполагать, что в точке М ЕЕ Г, где О Til = r(s), существует кривизна к = k(s) ф 0. Тогда радиускривизны кривой Г в точке М равенЯ = В Д = ^(42)215§22. КривыеОтложим на главной нормали кривой Г (рис. 22.9) в направлениивектора главной нормали v — v(s) отрезок M N длиной R = R(s) и назовем точку N центром кривизны кривой Г в точке М.
Пусть 01^ = р.Так как= R(s)v(s), то получаемр = r(s) + R(s) v(s).Используя формулу (42) и равенствоd2г(43)dr= k{s)u(s),dsзапишем уравнение (43) в следующем виде:1 d2г(44)р = г (s) +(fc(s))2 ds2'Предполагая, что во всех точках кривой Г кривизна отлична от нуля, построимдля каждой точки кривой центр кривизныи назовем множество всех центров кривизны кривой Г эволютой этойкривой.Если кривая Гi — эволюта кривой Г, то кривую Г называют эвольвентой кривой Г ь Уравнение эволюты кривой Г, заданной натуральным уравнением, имеет вид (44).Если кривая F задана уравнением (3), то уравнение эволюты этойd2гкривой можно получить, заменив в равенстве (44) к иих выражениями по формулам (34) и (27).В случае когда плоская кривая F задана уравнением F = {х == ж(£), у = y(t), а ^ ^ (5}, ее кривизна выражается формулой (35),d2га — — формулой (27), гдег' = (х',у'),и поэтомуd2г/ х"ds2V(s')2Если р =г" = (х",у"),s' = У(ж ')2 + (у')2,х '( х 'х " + у 'у ")(s')4s" = ХХ * УУ ,y 'ix 'x " + у'у")(s')4, y"x' - y'~"■x'y"= U—I\ У -U Wx f )2 ________|_ (ltl\2\2 ’((«')2 + (г/')2)2 ’( ( х 'Г - + ( у ’W') 2Г-)у"(s')2)=то уравнение (44) в координатной форме примет видх’у" —у х,Т] —у + X„/ { x 'f + (уi ')n2'х у —у х(45)Равенства (45) задают эволюту кривой F в координатной форме.Гл.
IV . Производная и ее прилож ения216З а м е ч а н и е 4. Приведем без доказательства физическое истолкованиеэволюты и эвольвенты (см. [3] и [17]). Пусть на эволюту натянута гибкаянерастяжимая нить. Если эту нить развертывать, оставляя все время натянутой, то конец нити опишет эвольвенту. Этим можно объяснить терминыэволюта (“развертка”) и эвольвента (“развертывающаяся”).П р и м е р 3. Найти эволюту эллипса x = acost, у = bsint.Д В этом случае х' = —a sin t, у' = bcost, х" = —acost, у" = —bsint,и формулы (45) принимают видт2 - а2 . зtа2 -ЪгЛ зЪ( =cos t, ri = — -— sm t.аоСледовательно, эволютой эллипса является астроида (рис. 22.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
