Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Пусть функции /(ж) и (р(х) определены в 0 (х°) и|/(ж)| ^ ip(ж) в 0(х°). Если lim ip(ж) = 0, то и lim /(ж) = 0.х^>х°х^>х°§ 24- Предел ф ункции м ногих перем енны хО Так как lim ip(x) = 0, то для любогох^>х°е233> 0 найдется шар Ss(x°)такой, что для всех х £ Ss(x°) выполнено неравенство |</?(ж)| < е.Тем более для всех х £ Ss(x°) выполнено неравенство |/(ж)| < е, т. е.lim f (x ) = 0 .
•х^>х°П р и м е р 1. Доказать, чтоlimа;—s-О, у —5-0(х 2 + у2)а = 0, если а > 0.А Возьмем любое е > 0. Положим 5 = е1/(2а\ Пусть (х , у ) £ S$(0,0),тогда( Х 2 + У 2 ) а < 6 2а < £ ,т. е.lim (х 2 + у2)а =ж—>0,г/—>0П р и м е р 2. Показать, чтор- 2 - > 0.А Так какр’Iх Iа \у/lim' 1 1 '= 0, если а + в —х^о, р^о (х2 + у2р’'|ж| < л /х 2 + у2,то при х 2 + у 2 >0. А\у\ < л /х 2 + у 2,0 имеем неравенства* 2 + j /2)2 ^( х г + J/2)7= (ж2 + у 2) («+/ 5 -В силу примера 1limф (х , у)2 7 )/2== 0, так как а + (3 —2у > 0.( * ,! ,) - К 0 ,0 )Применяя лемму 1, получаем, чтоlim(s ,S /)-» (0 ,0 )f ( x ,y ) = 0 .▲П р и м е р 3.
Функцияf ( x ,y ) =Jх ,9(1 )X2 + у 2wне имеет предела при (х , у ) -А (0 , 0 ).А Рассмотрим последовательность точек (хп,у п) = ( —, —V Тогда\пп)f ( x n,y n) = 1 и, следовательно, lim f ( x n,y n) = 1. Если же взять поп —>00следовательность точек (х',у'п) = ( —, ----), то lim f ( x ' , y ' n) = —1 .\пП/п-¥ооТак как при любом ri £ N точки (хп,у п) и (х'п,у'п) не совпадают сточкой (0 , 0 ), а последовательности точек (хп,у п) и (х'п,у'п) сходятся к точке (0 , 0 ), то, используя определение 2 предела, получаем, чтофункция f ( x ,y ) не имеет предела при (х , у ) -А (0 , 0 ). ▲Гл.
V. Ф ункции м ногих перем енны х234П р и м е р 4. Функция<2>не имеет предела при (х , у ) -А (0 , 0 ).А Повторяя рассуждения примера 3, построим две последовательности точек (хп,у п) =и (х'п,у'п) =Так как (хп,у п) -А-А (0 , 0 ) и (х'п,у'п) -А (0 , 0 ), a lim /(ж п,у п) =0 и lim f(x'n,y'n) = 1 , тодвойной предел функции /(ж ,у) при (х , у ) -А (0 , 0 ) не существует. ▲П —¥ ООП —¥ ОО2.
Предел по м н ож еству. Предел lim f( x ) был определен в п. 1х^>х°для функции, заданной в О(х0). Расширим определение предела, введя понятие предела по множеству.О п р е д е л е н и е 3. Пусть М есть подмножество области определения функции /(ж), х° — предельная точка множества М . Будемговорить, что число А есть предел функции /(ж) по множеству Мпри х -А ж0, если Ve > 0 3 5 > 0 такое, что Уж € ^ ( ж 0) П М выполненонеравенство |/(ж)| —А\ < е .
В этом случае пишутА =lim/(ж).Ж—5-Ж°, х е мПусть функция двух переменных /(ж, у) определена в проколотойокрестности О(хо,уо). Пределом функции f ( x ,y ) в точке ( х о , У о ) 110направлению I = (cos a, sin а) будем называть выражениеlim f(xo + tc o s a ,y o + t s i n a ) =t-* + 0lim/(ж, у),( х, у ) - * ( хо , Уо )( х , у ) е д ( Жо, s/o )n Lгде L есть луч, выходящий из точки (хо,уо) в направлении /,.П р и м е р 5. Показать, что предел функции /(ж ,у) = J XXJ ,, в точхh у-ке (0 , 0 ) по любому направлению I = (cos a , sin а) существует и равенsin 2 а.А Так как при t > 0 выполнено равенствоf ( t cos а , t sin а) =2 sin a cos а = sin 2 а,тоlim / (t cos a, t sin a) = sin 2 a.t —s-0Пример▲6 .
Показать, что предел функции /(ж ,у) = ^Хх' + у-в точ-ке (0 , 0 ) по любому направлению I = (cos a , sin а) существует и равеннулю.А При t > 0 справедливо равенство, /,, . ,j ( t cos a, ism а) =21 cos2 a sin аt 2 cos4 a + sin" a§ 24- Предел ф ункции м ногих перем енны х235Если sin а = 0, то f ( t cos а, t sin а) = 0 и, следовательно,lim f ( t cos a, t sin а) =t—>+О0.Если sin а ф 0, тоlim f ( t cos а, t sina) =£->+00. ▲Ясно, что из существованияlim/(ж) следует сугцествоваЖ—5-Ж0, хемниеlim/(ж) для любого подмножества А/' С М , для котороЖ—5-Ж0, хем 1го ж0 есть предельная точка. В частности, из существования двойного предела функции /(ж, у) при (ж,у)(хо,Уо) следует существование предела функции /(ж, у) в точке (хо,Уо) по любому направлениюи равенство этих пределов двойному пределу функции /(ж, у) при(ж, у) ->■ (х 0 ,Уо)Из результатов примеров 4 и 6 следует, что из существования иравенства пределов по любому направлению в точке (хо,Уо) не вытекает существование в этой точке предела функции.Предел функции /(ж) в точке ж0 € Rn по направлению 1= (Ii,где If + ...
+ In = 1 , определяется по аналогии со случаем функциидвух переменных.У п р а ж н е н и е 1. П у сть вы полнены следую щ и е условия:а) м н о ж еств а М» С Rn, i = 1, N;б) х° есть п р едел ьн ая т о ч к а каж д ого и з м н о ж е с твМ;, i =1,1V;Nв) функция/(ж )определена на множествеМ = |JАД;.г= 1limД о к азать, что А =/( ж ) в то м и то л ько то м сл учае, к огда А =х —> х °, х Е М=х—limх £ М(/( ж ) ,г = 1, N.У п р а ж н е н и е 2. П о казать, что р е зу л ь т а т уп р. 1 не до п у ск ает обобщ ения на т о т сл у чай , когда м н о ж еств о М е с ть объ ед ин ени е бесконечногом н о ж еств а м н о ж еств М а .У к а з а н и е .
П р о ан ал и зи р у й те еще р аз р е зу л ь т а т п рим еров 4 и 6.3.Повторные пределы. Бесконечные пределы. Пусть функция двух переменных /(ж, у) определена на множествеП = {(ж,у):0 < \х ^ ж 0| < а, 0 < |у - у0\ < Ь}.Пусть Уж € (жо — а, Жо + а), ж ф Жо, существует lim /(ж, у) = д(ж),у ^ -у оа функция д(ж) определена в проколотой окрестности точки Xq. Есл и существуетlim д(ж) = lim lim /(ж, у), то этот предел называХ ^ гХ оX ^ rX Q У ^ гу оется повторным. Аналогично определяется другой повторный пределlim lim /(ж ,у).У^ гУО Х-*Х0Гл. V.
Ф ункции м ногих перем енны х236Как показывают простые примеры, из существования двойногопредела не следует существование повторных пределов, а из существования и равенства повторных пределов не следует существованиедвойного предела.Так, для функциипримера 3 двойной предел при (ж, у) -+X2 + у 2-+ (0 , 0 ) не существует, но оба повторных предела равны нулю, так какlim /(ж, у) = lim /(ж ,у) = 0 .x —s-0y-t 0Для функции/<*,#) =уф 0y = 0,справедливо неравенство |/(ж ,у)| ^ |ж|. В силу леммы 1 двойной предел этой функции при (х , у ) -+ (0,0) равен нулю. Но при х ф 0 несуществуетlim жsin - ,{isi4l о,г/—>оуа поэтому не существует и соответствующий повторный предел.У п р а ж н е н и е 3. П у сть ф у н к ц и я f ( x , у) определена в проколотойо к р ес т н о ст и т о ч к и (хо, уо) и с у щ е с т в у е т двойной предел ф ун к ц и и f ( x , у)при (х, у) —¥ (хо,уо).
Д о к азать, ч то в то м случае, к о гд а в проколотой о к р е с т ности т о ч к и уо определена ф у н к ц и я lim f ( x , у), бу д ет с у щ е ст в о в ат ь иX —A X Qповторн ы й пределlimlim f ( x , у), п р и ч ем он равен дво й н ом у пределу.v -* v о х - * х 0Бесконечные пределы для функций многих переменных определяются по той же схеме, что и для функций одной переменной.
Например, lim /(ж) = +оо, если для любого числа С > 0 найдется такоех^>х°число 6 > 0 , что для всех х из проколотой окрестности О$(х0) точки х° выполнено неравенство /(ж) > С.У п р а ж н е н и е 4. П р и д ать см ы сл следую щ и м сим волам :limf( x) = ^оо,limf ( x , y ) = A.X —A X ° , x £ MX —A + O O , y —A + O OП р и м е р 7.
Показать, чтоlim1Г-> + 00, y - A + OO(x 2 + y 2 ) e - {x+y) = 0 .А Так как при x > 0, у > 0 справедливо неравенствоО ^ (ж2 + у 2 )е ^ <'х+у'1 ^ (ж + y) 2 e ^ i'x+y)и lim £2е- * = 0, то Ve > О ЗД > О такое, что i t > 6 выполнено нераt —>+оовенство £2е_* < е. Но тогда Уж > ^ и i y > ^ справедливо неравенство0 ^(х^+ у^)е(х+у){х+у><£.▲§ 2 5 . Н епрерывност ь ф ункции м но ги х перем енны х237§ 25. Непрерывность функции многих переменных1. Непрерывность функции в точке.О п р е д е л е н и е 1.
Говорят, что функция /(ж), определенная вокрестности 0 (х°) точки х° метрического пространства, непрерывна в точке х°, если lim /(ж) = /(ж 0).Х —¥ Х °О п р е д е л е н и е 2. Говорят, что функция /(ж), определенная вокрестности 0 (х°), непрерывна в точке ж0, если для любого е > 0 существует такая окрестность Ss(x°), что для любого х € Ss(x°)выполняется неравенство |/(ж) —/(ж 0)| < е.Эквивалентность двух определений следует из определения предела на языке окрестностей.Пользуясь определением предела по множеству, можно дать соответствующее определение непрерывности функции в точке помножеству.О п р е д е л е н и е 3.
Пусть функция /(ж) определена на множестве М С Rn, точка х° € М , причем х° — предельная точка множества М. Говорят, что функция /(ж) непрерывна в точке х° помножеству М , еслиlim/(ж) = /(ж 0).ж—s-ж0, хемЕсли х° есть изолированная точка множества М , то функция /(ж)считается непрерывной в точке х° по множеству М.П р и м е р 1. Функциянепрерывна в точке (0 , 0 ) по любому лучу, но не является непрерывной в точке (0 , 0 ).А Из результата примера 4 из § 24 следует, что функция f ( x ,y ) неимеет предела при (х, у)(0 , 0 ) и, следовательно, не является непрерывной в точке (0,0). Из результата примера 6 из § 24 следует,что в точке (0 , 0 ) предел функции f ( x ,y ) по любому направлению существует и равен нулю. Следовательно, функция f( x ,y ) непрерывнав точке (0 , 0 ) по любому направлению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
