Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

▲Основные теоремы о свойствах непрерывных в некоторой точкефункций (например, теорема о непрерывности суммы непрерывныхфункций) доказываются для функций многих переменных так же,как и для функции одной переменной. Ниже будет доказано, что су­перпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.2. Непрерывность сложной функции.Т е о р е м а 1. Пусть функции щ ( х ) , ..., (рп(х) определены в некото­рой окрестности точки х° G Rm и непрерывны в точке х°, а функцияf(y ) = f ( y i ,...,y n) определена в окрестности точки у 0 = (tpi(x0),...238Гл. V. Ф ункции м ногих перем енны х...,(рп(хо)) и непрерывна в точке у0. Тогда в некоторой окрестноститочки х° определена сложная функция$ (* ) = f( T l ( x ) , - ; i P n ( x ) ) ,причем функция Ф(ж) непрерывна в точке х°.ОТак как функция /(у ) = /(y i,...,y n) непрерывна в точке у0, тодля любого е > 0 найдется шар S{(y0) такой, что для всех у £Scr(y°)выполнено неравенствоIД у ) - Д у 0)| =|/(У ъУп) - Д у ? , у ? ) I< в.(1)Так как при любом i £ {1функция уДж) непрерывна в точ­ке х°, то для числа а найдется шар Ss.(x°) такой, что для всех х ££ Ss.(x°) выполнено неравенствоЫ х ) - ^ { х 0) \< -^ = .V^(2 )Пусть 6 есть наименьшее из чисел Si,...,Sn.

Тогда для любого х ££ Ss(x°) и для любого i £ {1,...,п} выполнено неравенство (2). Следо­вательно, для любого х £ Ss(x°) выполняется неравенство/ »(' *=1\ i /2" Ti(x°))2 )< (г,'(3)которое означает, что точка (рi ( x ) , ..., р п (х)) лежит в шаре ФДу0). Нодля любого у £ So-fy0) определено значение функции /(y i, ...,уп). Зна­чит, в Ss(x°) определена сложная функция Ф(ж) = f ( p i ( x ) , . . . , p n (x)).Покажем, что эта сложная функция непрерывна в точке (х°).

Прилюбом х £ Ss(x°) подставим в неравенство ( 1 ) вместо у £ So-fy0) точку(pi(x), ...,рп(х)). Получаем, что для любого х £ Ss(x°) выполнено не­равенство |ф(ж) —ф(ж°)| < е, которое означает, что сложная функцияФ(ж) непрерывна в точке х°. •У п р а ж н е н и е 1. П усть ф у н к ц и и рч{х) при i = 1, п н епреры вн ы по мно­ж е с т в у М С Rm в т о ч к е х°, ф у н к ц и я f ( y i ,...,уп) определена на м н о ж еств е<р(М) = {(г/1, ...,уп): yi = I f i i ( x ) , Уп = <рп ( х ) , х £ М} и н еп р еры вн а в т о ч к еy0 = ( ^ ( * ° ) , - , r f ) ) .П о казать, что слож н ая ф у н к ц и я f ( p i ( x ) , <рп ( х) ) н еп р еры вн а в т о ч ­ке х° по м н о ж ест в у М .У к а з а н и е .

Д о к азател ьство п р а к т и ч е с к и не о тл и ч ае тс я от д оказа­т е л ь с т в а тео р ем ы 1 .У п р а ж н е н и е 2. П усть:а) м н о ж еств а М» С Rn при г = 1, N;б) т о ч к а х° £ M i при г = 1 , N \дгв) ф у н к ц и я f ( x ) определена на м н о ж еств е М = \J М».i=1§ 2 5 . Н епрерывност ь ф ункции м но ги х перем енны х239Д о к азать, что ф у н к ц и я f ( x ) н еп р ер ы вн а в то ч к е х° по м н о ж еств у М втом и то л ько то м сл у чае, когда она н еп р ер ы вн а в т о ч к е х° по к а ж д о м у изм н о ж еств Mi при г = 1 , N .У к а з а н и е . См.

упр. 1 и з § 24.У п р а ж н е н и е 3. П о казать, ч то р е зу л ь т а т уп р. 2 не обобщ ается нат о т сл у чай , к о гд а м н о ж еств о М е с ть о бъ един ени е бескон ечн ого м н о ж еств ам н о ж еств Ма.У к а з а н и е . См. упр. 2 и з § 24.3.

Свойства функций, непрерывных на компакте. Функ­ция /(ж) называется непрерывной на множестве М , если она непре­рывна в каждой точке множества М по этому множеству, т. е. еслив каждой предельной точке множества х° выполнено условиеlimх —>х°, х е мf ( x ) = f(x°).(4)Доказательства следующих двух теорем о свойствах функций, не­прерывных на компакте в метрическом пространстве, практическине отличаются от соответствующих доказательств для функций од­ной переменной, непрерывных на отрезке.Т е о р е м а 2 (Вейерштрасса).

Функция /(ж), непрерывная на ком­пакте метрического пространства, ограничена на этом компакте.Т е о р е м а 3 (Вейерштрасса). Функция /(ж), непрерывная на ком­пакте метрического пространства, принимает на этом компактесвои наибольшее и наименьшее значения.4. Равномерная непрерывность. Введем фундаментальное по­нятие равномерной непрерывности функции на множестве.О п р е д е л е н и е .

Говорят, что функция f(x ) равномерно непрерыв­на на множестве G метрического пространства X , если Ve > 0 3 6 > Отакое, что для Уж, ж' G G таких, что р(ж, ж') < 6 , выполнено неравен­ство|/(ж) - /(ж ')| < е.Функция, непрерывная на множестве, не обязательно будет равно­мерно непрерывной на этом множестве. Прежде чем приводить при­меры, построим отрицание: функция /(ж) не будет равномерно непре­рывной на множестве G, если Зео > 0 такое, что для любого 6 > Осуществуют элементы ж, ж' G G такие, что р(ж, ж') < 6 , но|/(ж) - / ( ж ') | >£оП р и м е р 2.

Покажем, что функция /(ж) = ж2 не является равно­мерно непрерывной на интервале (0 , +оо).А Пусть £о = 1. Для любого 6 > 0 возьмем xg = 1/ 6 , x's = 1/6 + 6/2.Тогда p(x's ,xg) = \x's —xg\ = 6/2 < 6 , но|f(x's) - f ( x s)\ == ( 4 )2 ^ x s = (x s ~xg)(x'g + xg) = ^ Q +I ) > !•AГл. V. Ф ункции м ногих перем енны х240Уп р а жн е н и е 4. Привести пример функции, непрерывной и ограни­ченной на (0, 1 ), но не являющейся равномерно непрерывной на этом ин­тервале.Т е о р е м а 4 (Кантора). Функция f(x ), непрерывная на компактеметрического пространства, равномерно непрерывна на этом ком­пакте.О Пусть функция f(x ) непрерывна на компакте М , но не равномернонепрерывна на этом компакте. Тогда Зец > 0 такое, что Vn найдутсяточки х п, х'п G М такие, чтор(х„,х'п) < ^ ,но\f(x'n) - f ( x n)\ > е0.(5)Так как М — компакт, то из последовательности { х п} можно вы­делить подпоследовательность {хПк}, сходящуюся к некоторой точкех° G М.Используя неравенство треугольника, получаем0 ^ Р(х 'пк i x °) ^ Р(Хпк 1 Хпк) + р(х пк ,х°) << — + р(хПк,х°)пк—1 0 при к —1 оо,следовательно,lim х'к- 'tooк= ж0.Но функция /(ж) непрерывна в точке ж0.

Поэтомуlim f ( x n ) = lim f ( x ’n ) = /(ж 0).fc-юоkJ k^ooJy Пк>JПолагая теперь в (5) n = пр, получаем\ f( x 'nk) - f ( x nk)\ > £o-(6 )Переходя в неравенстве (6 ) к пределу, получаемО = |/(ж°) - /(ж°)| > е 0 > 0 .Полученное противоречие доказывает, что функция /(ж) должнабыть равномерно непрерывной на множестве М. •Пусть функция /(ж) ограничена на множестве Е. Выражениеujf (6 ,E )=sup| / ( ж) - / ( ж' ) |(7)ЕЕ;р(х,х')<£называют модулем непрерывности функции /(ж) на множестве Е.Очевидно, чтомодуль непрерывности возрастает приувеличении 6.Т е о р е м а 5. Функция /(ж) равномерно непрерывна на множест­ве Е в том и только том случае, когдаlim L0 f( 6 , Е) = 0.<5^+0 1 v(8 )’§ 2 5 .

Н епрерывност ь ф ункции м но ги х перем енны х241О Если функция /(ж) равномерно непрерывна на множестве Е, тоVe > 0 35е > 0: Уж,ж' € Е: р(ж,ж') < 5е —1 |/(ж) —/(ж ')| <(9)Из (7) и (9) следует, чтошр(6е, Е ) ^ | < е .Поскольку модуль непрерывности — возрастающая функция S, топри 0 < 6 < 5е выполняется неравенствоLOf(6, Е) < £и, следовательно, справедливо равенство (8 ).Покажем, что из равенства (8 ) следует равномерная непрерыв­ность функции /(ж) на множестве Е.

Из (8 ) следует, чтоVe > 0 3 4 > 0 : V£ < 6е -А ш/(6,Е) <(10)Из (10) и (7) следует, что выполнено условие равномерной непре­рывности (9). •5. П ромежуточные значения непрерывной функции.Т е о р е м а 6 . Пусть функция /(ж) непрерывна в области G € Rnи принимает в этой области значения А и В. Тогда функция /(ж)принимает в области G все значения, заключенные между А и В.О По условию G — область, т. е.

открытое и связное множество.Пусть функция /(ж) непрерывна в G и /(а ) = A, f(b ) = В, а, ЪG G.Соединим а и Ь непрерывной кривой ж = ж(t), a4 Р, х(а) = а,х((3) = Ь. Сложная функция f[x(t)] = ip(t) непрерывна на отрезке [а,(3\и принимает на концах этого отрезка значения А и В. Так как ip(t)есть непрерывная функция одной переменной, то в силу теоремы опромежуточных значениях для функции одной переменной она при­нимает на отрезке [а, (3\ все значения, заключенные между А и В. Номножество значений функции ip(t) = f[x(t)] содержится в множествезначений функции /(ж). Поэтому функция /(ж) принимает все значе­ния, заключенные между значениями А и В. •§ 26. Дифференцируемость функции многих переменных1.

Частные производные. Пусть функция/(ж) = /(ж ь ...,жп)определена в окрестности точки ж0 = (ж?,..., ж°). Рассмотрим функ­цию одной переменной<p{xi) = f{xi,x%,...,x°n).Гл. V. Ф ункции м ногих перем енны х242Функция ip(x 1 ) может иметь производную в точке ж®. По опредеdfлению4ию такая производнаяпрназывается частной производнойТаким образом,ОХ 1d f ( T Q\-d f ( T QТ 0 \ -дх ! { } ~ дх 1 1 1!“ У™ оf ( x U* 2, - , Х ° п ) Дая/(ж ?,...,Х°п )’где Д.Г| = Х\ —х\.Аналогично определяются частные производные (первого по­рядка)Qx-’Употребляются и другие обозначения для частных производныхпервого порядка:щ ( х °) = /х,(х°) = D if(x°) = /'.(ж 0) =Функция двух переменных может иметь в точке (х°,у°) две част­ные производные первого порядкаЁ1 (х 0 v°)д х [х , у h^ 1 ( х ° v°)д у [х , у } 'Для функции трех переменных — три частные производные пер­вого порядкаg (2V ,AПоскольку при вычислении частных производных все перемен­ные, кроме одной, фиксируются, то техника вычисления частных про­изводных такая же, как техника вычисления производных функцииодной переменной.Например,дГГ~.о1д , 2 ,2\Jx~ + у 2 д х к2\*ух 2+ у2■2.Дифференцируемость функции многих переменных вточке.

Дадим определение дифференцируемости функции в точке.О п р е д е л е н и е . Функция /(ж) = f ( x i , . . . , x n) называетсяренцируемой в точке х° = (х °,..., х ап ), если она определена в некото­рой окрестности этой точки и существуют такие числа A i ,...,A n, чтоПf ( x ) — f ( x 0) = ^ ^ A i ( x i —x^)-\-o(p(x1x 0)) при X х°.(1 )1= 1§ 2 6 . Д иф ф еренцируем ост ь ф ункции м ногих п ерем енны х243Т е о р е м а 1. Функция /(ж) дифференцируема в точке х° в том итолько том случае, когда в некоторой окрестности точки х° функ­ция /(ж) может быть представлена в следующем виде:f i x ) = f{x°) + J 2 f i i x )ixi X(2 )i=1где функции fifx) непрерывны в точке х°.О Пусть функция /(ж) дифференцируема в точке ж0. Тогда выполне­но условие (1). Заметим, что равенство 'ф{х) = о(р(ж, ж0)) при ж —^ ж0означает, что ф{х) = е(ж)р(ж,ж0), где lim е(ж) = 0 .X — 'т Х °Тогдаф) ж) =пФ)р(х,х°)Ес.._0\2г=1(3)1=1.I •I—)-------, lim £*(#) = 0 , так как 0 ^^ 1.р(х,х0) ’р(х,х°)Доопределим функции е,(ж) в точке ж0 по непрерывности, полагаяlim е,(ж) = еДж0) = 0 .х^х°Тогда из (1) и (3) получаемгг*гг*ГДе £ * (# ) = £ ( # )f i x ) = f i x ° ) + J 2 A dXi - Х°) + ^ £ г ( ж ) ( аЖ* - Ж;2-1=*=1п= f i x 0) + Еf i i X) i Xi - Х°г)>f i i X) = A i + £i i X)-i=1Так как функции £*(ж) непрерывны в точке ж0, то и функции /Дж)непрерывны в точке ж0 и /Дж0) = Ai, i = 1,п.Пусть выполнено (2).

Характеристики

Список файлов книги