Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В силу условия (5) эта функция принимает на концах отрезка значения разных знаков:V{yo - Ь ) = F(x*, у о ^ Ь ) < 0,V {yo + Ъ) = F(x*, у0 + Ъ)> 0.По теореме Коши о промежуточных значениях найдется такая точкау* G [уо - Ъ,уо + Ъ\, чтоv {y*) = F{x*, y*) = 0.Так как ip'(y) = Fy(x*,y) > 0, то функция (р(у) строго возрастаетна отрезке [уо — Ъ,уо + Ь] и не может обратиться на этом отрезке внуль более одного раза.Таким образом, для любого х G [жо —а, Хо + а] найдется единственный у € [уо — Ь, уо + Ь] такой, что F(x,y) = 0.
Это означает, что впрямоугольнике К уравнение F(x,y) = 0 определяет у как неявнуюфункцию х.2)Доказательство непрерывной дифференцируемости неявнойфункции. Непрерывная на замкнутом прямоугольнике К функцияFy(x,y) по теореме Вейерштрасса принимает на этом прямоугольникесвое наименьшее значение а.
Так как Fy(x,y) > 0 на К , тоРу(х,у)ф а>0 , (х,у) € К .(6 )Непрерывная на К функция Fx (x,y) ограничена на К. Поэтому\Fx (x,y)\ < /3,(х,у) G К.(7)Пусть у= /(ж) есть неявная функция, определяемая в прямоугольнике К уравнением F(x,y) = 0. Возьмем две точки (х , у ) и(х + А х , у + А у), лежащие на графике функции /(ж). ТогдаF(x, у) = 0,F(x + Аж, у + А у) = 0.§ 2 8 . Н еявные ф ункции263Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получаемFx (x + в Ах, у + 6 А у )А х + Fy(x + в Ах, у + 6Ау )Ау = О,A y = —Fx^x +у+АжУFy(x + O A x , y + eAy)’О<0<1^Если воспользоваться неравенствами (6 ) и (7), то из (8 ) получаем|ДуК^|Дж|.(9)Следовательно, A y0 при Дж -3 0 и неявная функция /(ж) непрерывна в любой точке ж € [жд —a, Xq + а].Если теперь воспользоваться непрерывностью частных производных, то, деля второе из равенств (8 ) на Дж и переходя к пределупри Дж —^ 0, получаем, что существует предел отношения А у / А хпри Дж0 и / '( ж) вычисляется при помощи формулы (2).
Из этойформулы следует, что /'(ж ) будет непрерывной функцией на отрезке[жц — а, Жо + а] как суперпозиция непрерывных функций. •З а м е ч а н и е . Если известно, чго уравнение F{x,y) = 0 определяет впрямоугольнике а $ С ж? СЬ , c s C j / j C d переменную у как неявную функцию х, то связь меж ду dy и dx можно установить, формально дифференцируя тож дество F(x,y(x)) = 0. Воспользовавшись инвариантностью формыдифференциала, получаемFx (ж, у) dx + Fv(x,y) dy = 0.Дифференцируя последнее тож дество еще раз, можем найти второй дифференциал d~y:Fxx dx 2 + 2 Fxy dx dy + Fyy dy 2 + Fy dry = 0.У п р а ж н е н и е 3. Построить прямоугольную окрестность точки (1,1),в которой уравнение ж4 + ху + у3 —3 = 0 определяет у как неявную функцию ж. Найти dy и dry в точке ж = 1.2.
Неявные функции, определяемые системой уравнений.Рассмотрим систему то уравнений с те + то неизвестными-^1 (%1 5•••5 %п, %п-\-1?•••?0;( 10 )Fjn (^ 1 ; •••; ; %п-\-1 ; •••; ^п+т) —0 .При формулировке общей теоремы о неявных функциях удобнопользоваться понятием декартова произведения множеств. Если А иВ — произвольные множества, то их декартово произведение А х Весть множество пар (ж,у), где ж £ А, у £ В. Так, декартово произведение [а, Ь] х [c,d] есть множество пар вещественных чисел таких,что о ^ ж 0 и с ^ ( / ^ с 1, т.
е. прямоугольник в /?".Клеточной окрестностью точки х° = (ж?,..., ж°) будем называтьследующее множество:К(ж0 ) ={ж:ж €R n ,—£* ^ ж i —х /^S i,i=1 , те },Гл. V. Ф ункции м ногих перем енны х264где £j, i = l , n, — положительные числа, х = (x±,..., х п).Легко видеть, что в том случае, когда Ki(x°) С Я ” и(у0) СС Я™ — клеточные окрестности, их декартово произведение К\ (ж0) хх К 2 (у°) есть клеточная окрестность точки (х°,у°) = (х®,..., х% гу%...■■■,Ут) в пространстве Rn+m.Для дальнейшего удобно преобразовать переменные, полагая х == (жь ...,жп), у = ( у 1 , . . . , У т ) , где Уг = х п+1, ..., ут = х п+т.Тогда систему уравнений (10) можно записать в более краткомвиде:Fi(x,y) = 0, i = T~m.(11)Функции Fi(x,y) = 0 будем считать определенными в некоторойклеточной окрестности точки (х°,у°).О п р е д е л е н и е .
Пусть К(х°) С Я ” и Q(yo) С Я™ есть клеточныеокрестности. Будем говорить, что система уравнений Fi(x,y) = 0,i = 1,m, определяет в К(х°) х Q(y°) переменные у\,...,ут как неявные функции переменных х ±,..., х п, если для любого х € К(х°) найдется единственный у £ Q(y°) такой, что Fi(x,y) = 0, i = 1,т.Т е о р е м а 2. Пусть выполнены следующие условия:а)функции Fi(x,y) = 0, i = 1,т, непрерывно дифференцируемы вклеточной окрестности точки (х°,у°);fi'i„O'!= 1 , то;dFidFxдуг"дутФ 0( 12 )dFmdFmdyi"дут (ж°, у 0—Тогда найдутся клеточные окрестности К(х°) С Я ” и Q(y°) Стакие, что в К(х°) х Q(y°) система уравнений (11) определяет переменные у\,...,ут как неявные функции переменных Х \ , ...,хп.Неявные функции y.j = ifij(x) непрерывно дифференцируемы в К(х°)и Vj = Tj(x°), j = Т7m.О Воспользуемся методом индукции по числу уравнений то.
Прито = 1 доказательство теоремы 2 не отличается от доказательстватеоремы 1 (в дальнейшем будем ссылаться на этот частный случайтеоремы 2 как на теорему 1 ).Предположим, что утверждение теоремы верно в том случае, когда система (11) содержит то —1 уравнение. Докажем, что тогда теорема верна и для системы ( 1 1 ) из то уравнений.Так как определитель (12) отличен от нуля, то, раскладывая егопо элементам последней строки, получаем, что хотя бы один из соответствующих миноров то —1-го порядка отличен от нуля. Пусть,Я™§ 2 8 .
Н еявные ф ункции265например,_т_дут —1тdyiф 0.dFndFm-iду\дут-г(Здесь и в дальнейшем символ 0 означает, что значение соответствующей функции берется для аргументов с верхним индексом 0 .)Тогда в силу предположения индукции найдутся такие клеточныеокрестностиKi = {( х, ут): \ x i -ж ?| «Се', г = Его, \ут ^ у°т\ < 5'т},(13)Q1 = { ( y i , - , y m-i)- |Vj - y°j \ Ф $j, j = l,m - 1 }в которых система первых то —1 уравнений ( 1 1 ) определяет yi...,ут- 1 как неявные функции переменных х±, ...,хп,у т, т. е.Уз = Фз(х,У'зш), j = l , m - l .Функции ijjj(x,ym) непрерывно дифференцируемы иФз (х°, Ут) = У% j = 1, т - 1;(х, ут) £ К±,F j (х, Ф\{х,ут), ..., фт-фх^Ут)-; Ут) = 0 .(14)(15)(16)ЕслиК-2 = {(ж ь ...,Х п■х°\ < е', i = 1 , гг},хQ 2 = {(У1,-,Ут)- IУз - Vj I < Vj, i =то при х € К-2 ) У € Q 2 система уравнений ( 1 1 ) эквивалентна следующей системе:2/1 - ф 1 ( х,ут) = 0, ..., 1Jm-l ~ Фт-1(х,Ут) = 0,Fm{x,Vm) = F m(x, ф1(х,Ут.), ■■■■, Фт- 1 (х,Ут), Ут) = 0.Покажем, что последнее уравнение системы (17) Fm(x,ym) = 0может быть разрешено относительно ут• Для него выполнены всеусловия теоремы 1 .
Из формулы (17) следует, что Fm(x,ym) непрерывно дифференцируема как суперпозиция непрерывно дифференцируемых функций. Вследствие равенств (15) получаем, чтоFm(x0,y°J == Fm(x°, ф1(х°,У°т ),*'•-° ' Ут) = F*m(x'~° ,УЪ-° - , У-°т> = 0 .Ф т - 1'~°(Х ,Ут),Осталось проверить условиеЕсли оно не выполнено, тога—1dFndFm= £д урдупр= 1dF„,ду,7#дфр0 дут 00.+ dFmдут= 0.(18)Гл.
V. Ф ункции м ногих перем енны х266С другой стороны, дифференцируя по ут тождества (16) в точке(х°,у°), получаем<7?/^>пТГ1'<7?/™n+QПИ™=j = ~ L ,m-l.(19)Из (18) и (19) следует, что последний столбец определителя (12)есть линейная комбинация остальных его столбцов, поэтому определитель (12) равен нулю, что противоречит условию теоремы. Так каквыполнены все условия теоремы 1 , то найдется окрестностьк = {(х,Ут.)- |X i<£i< е', %= T7n; \ут - у ат \ <6т< 5'т},в которой уравнение Fm(x,ym) = 0 определяет ут как неявную непрерывно дифференцируемую функцию ут = (рт (х), причем гу% == фтХх0).В окрестности К система уравнений (17) эквивалентна и системе ( 1 1 ), и системе2/1 - X l( x ,y m) = 0, ..., Ут- 1 — Фт- 1 (х, Ут) = О,( ^ =п0 .^ )Ут ~ <Рт{х)В свою очередь система (20) эквивалентна следующей системе:y1 =ifi1{x),где ер1 (ж) = ф1(х,у)т(х)), •••,...,Ут = (рт(х),= фт- 1 (х,<рт(х)),(21)причемЧ>1 (х°) = у1Фт{ха) = уат.(22 )Система функций (pi(x), ...,(рт (х) неявно определяется уравнениями (11) в окрестности К х Q точки (х°,у°), гдеК = {х: |Xi - ж°| < £i, i = 1,гг},Q = {y- \Уз - У°\ <5j, j =(23)6j = 6'j при j = 1 , то —1 .З а ме ч а ние .
Существует несколько способов доказательства теоремыо неявных функциях. Предложенный способ является, по-видимому, наиболее простым, но обладает двумя недостатками: не дает алгоритма для вычисления неявной функции и не обобщается на бесконечномерный случай.3. Локальная обратимость регулярногоПусть на множестве Е С Rn заданы п функцийотображения.fi(x), ■■■, f n(x).Они задают отображение / : ЕRn, которое каждой точке х € Еставит в соответствие точку у = f(x), где2/1 = fi(x),Уп = fn(x).§ 2 8 . Н еявные ф ункции267Точка у = /(ж) называется образом точки х при отображении / .Точка х называется прообразом точки у.Если Л С Е, то множество/( Л ) = {у: у = f(x), ж е Л}называется образом множества О при отображении / .
Если со С f ( E ) 1то множество/ _1М = {х- f(x ) е из}называется прообразом множества из.Пусть G С Rn есть открытое множество. Отображение / : G —> R”называется непрерывным в точке ж0, если Ve > 0 35 > 0 такое, чтоУж таких, что р(х,х°) < 6, выполнено неравенство р (/(ж ),/(ж 0)) < е.На языке окрестностей непрерывность отображения в точке ж0означает, что для любой шаровой окрестности Se(y°), у0 = /(ж 0), найдется такая шаровая окрестность ^ ( ж 0), чтоf ( S s (x0))СSe(y°).(24)У п р а ж н е н и е 4. П о казать, ч то о т о б р а ж е н и е / : G —>■Rn н епреры вн о вто ч к е х° в т о м и то л ько то м случае, к о гд а н епреры вн ы в т о ч к е х 1' ф ун к ц и иf i ( x ) , ..., f n ( x ) , зад аю щ и е отображ ение.У к а з а н и е .
В о спользоваться со отн ош ени ям иПр 2( / ( ж ) , / ( ж 0)) = £ ( / < ( * ) - f i { 0 ) f > \ f i ( x ) - М ж °)|2,*= М .г=1Отображение / : G —> R” называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке множества G.Л е м м а 1. Если G есть открытое множество, а / : G —> R" —непрерывное отображение, то прообраз каждого открытого множества из е /(G ) есть открытое множество.О Пусть Л = / - 1 (сс). Возьмем любую точку ж0 е Л. Тогда /(ж 0) == у0 е из. Так как множество из открыто, то найдется окрестностьSe(y°) е из.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
