Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В силу непрерывности отображения / в точке ж0 найдется шаровая окрестность ^ ( ж 0), для которой выполнено условие (24).Следовательно,Ss(x°) С ГНиз) С П ,и Л — открытое множество. •Как обычно, под окрестностью Л (ж0) точки ж0 будем пониматьлюбое множество А, для которого точка ж0 внутренняя.Пусть G С Rn — открытое множество.
Отображение / : G —> R” будем называть непрерывно дифференцируемым, если функции Д(ж),......,/„ (ж), задающие это отображение, непрерывно дифференцируемыв G. Непрерывно дифференцируемое отображение / : G —> R” будем называть регулярным, если в области G якобиан отображенияГл. V. Ф ункции м ногих перем енны х268jf(x ) ф 0. Якобианом отображения jf( x ) называется следующий функциональный определитель:3f ( x) =dfi(x)дх\dfi(x)дхпdf„(x)дх\df„(x)дхпТ е о р е м а 3. Пусть G — открытое множество в Rn, а отображение / : (! —> R” регулярно.
Тогда в каждой точке х° £ G оно локально регулярно обратимо, т. е. Уж0 £ G найдутся такие окрестности Л (ж0) С G и В (у0) С f(G), где у0 = /(ж 0), что отображение/ : Л (ж0) — В (у0) будет взаимно однозначным, причем обратное отображение / - 1 : В (у0) -б- Л (ж0) регулярно.О Рассмотрим в G х Rn систему уравненийFi(x,y) =Vi - fi(x) = 0,i = T~n.(25)Пусть ж0 — произвольная точка множества G и у0 = /(ж 0). Тогда функции Fi(x,y) непрерывно дифференцируемы в G х Rn и у? == /Дж0), i = 1,п. Так как отображение / регулярно, то<3Fidxi'”дх пдГпdxi'"dFnдх п(х°, у0Для системы уравнений (25) выполнены все условия теоремы 2 онеявных функциях.
Поэтому найдутся такие клеточные окрестностиК(х°) = {ж: |ж, —ж?| ^ £i, i = 1,п},К(х°)СG,Q(y°) = {У- IУг - y f | ^ Si, i = LГп}, Q(y°) С f(G),что в К(х°) х Q(y°) система уравнений (25) определяет переменныеЖ1 ...,жп как неявные непрерывно дифференцируемые функции переменных гу\,..., уп:*1X £ К(х°),= <р Л у ),х п = <Рп{у),у £ Q(y°),ж° = ipi(y°),i = Tpn.Пусть В (у0) есть внутренность Q(y°):В(у°) = {у- \ у г ^ у ° \ < ё г , i = T~n}.Вследствие леммы 1 прообраз открытого множества В (у0) при непрерывном отображении / есть открытое множество, причем в силуусловий (26) это множество содержит точку ж0. Обозначим прообраз / - 1 (.В) через Л(ж°).
Отображение окрестности Л(ж°) на окрестность В (у0) будет взаимно однозначным, и обратное отображение§2 9 . За м ен а перем енны х269/ - 1 : В (у0) -А Л(ж°), определяемое формулами (26), будет непрерывнодифференцируемым.Докажем регулярность обратного отображения / -1 . Так какУг = 0, i = 1,п,то, дифференцируя эти тождества по переменным y.j, получаемП,djj_d§Pk_ _ дщ_ _ £к=1 дхк %ayj13_ )\1,о,г = 3,* Ф j.<• jИз равенств (27) и из теоремы об умножении определителей следует, чтоj f ( x ) j f - ' ( y ) = С У = /(х), жёЛ( ж°) . •(28)С л е д с т в и е .
Если / : (! —> R” есть регулярное отображение,то образ любого открытого множества Л С G есть открытое множество.О Пусть из = /(Л ). Возьмем произвольную точку у0 £ из и пусть х°есть какой-то ее прообраз. Тогда, вследствие теоремы 3, найдутся такие окрестности Л (ж0) С Л и В (у0) С из, что отображение / : Л (ж0) —^-А В (у0) регулярно обратимо. Поэтому каждая точка у0 £ из принадлежит из вместе с некоторой окрестностью В (у0). Множество из = /(Л )открыто.
•§ 29. Замена переменныхВыражения, содержащие различные функции и их производные,постоянно встречаются в математике и ее приложениях. Целесообразность перехода к новым независимым переменным, а иногда и кновым функциям, основана как на особой роли новых переменных визучаемом вопросе, так и на упрощениях, к которым приводит выбранная замена переменных.Техника замены переменных основана на правилах дифференцирования сложных функций и функций, заданных неявно при помощи уравнений. Такая техника будет продемонстрирована на нескольких достаточно содержательных примерах.
Обоснование всехусловий, при выполнении которых замена переменных будет законной, в большинстве примеров не представляет труда и поэтому необсуждается.тт, у = о„ сделать замену неП р и м е р 11. лВ уравнении х 9J d2yf 4 . х dy +си:2dx«_»оiзависимой переменной х = е .А Если z(t) = у(е*'), то, применяя правило нахождения производнойсложной функции, получаемdz(t)tdyie1')dy(x)—jr1- = e .= ж—dtdxdxоткудаdd-jr= x— .dtdxГл. V.
Ф ункции м ногих перем енны х270Таким образом,9(l2y , dy ,d ( dy\ ,d2z ,_d2zЗаметим, что уравнение+ z = 0 легко решается (см. § 36),а именно г = Сг sin t + С2 cos t. Поэтому при х > 0 решение исходного уравнения имеет следующий вид: у = Сг sin(lnx) + С2 cos(lnx).Так как уравнение не изменяет своего вида при замене х на —ж,то при любом х € R, х ф 0, решение имеет следующий вид: у(х) == С\ sin(ln |ж|) + С 2 cos(ln |ж|). ▲П р и м е р 2.
В системе уравнений^ = у ^ 2 к х ( х 2 + у 2),^- 2ку(х2 + у2),к > 0,перейти к полярным координатам.А Умножим первое уравнение на х, второе на у и сложим. Аналогично умножим первое уравнение на у и вычтем из него второе уравнение, умноженное на х. Получим новую систему уравнений, прих2 + у 2 > 0 эквивалентную исходной системе уравнений,dxdyOJ , 2 , 2\2dxdy2 ,2/i\х м + у м = ^ к{х + у ) ’ У Ш ~ Х Ш = У + Х (1)11 и x~ —//" v2. x = r cosip, у = r sin p.
Поэтому систему (1) можнозаписать в виде (см. § 26, пример 3)г ^ = - 2 к г \ ^ = 1 , или ^ = ^ 2 кг3, ^ = 1 .(2 )dt’ dt’dt’ dtwЗаметим, что система уравнений (2) легко решается (см. § 36).Получаем решение в виде.---1 ^ = ,г=ip = ip0 + t(~ t0 < t < + o o ) ,i/fc (f -И о)где числа to и ipo являются произвольными постоянными. ▲П р и м е р 3. Преобразовать уравнение у'у'" —3(у ")2 = х, принимая у за независимую переменную, а х — за неизвестную функцию.А Так как у(ж) и ж(у) — обратные функции, то ^ = у'(ж) = ^ ,ctxх [у)df(x(y))df(x) ,, ч1 df(x)dI d,= Y x (у) = —тт, откуда — = — — .dydxу (х) dxdyу'(х) dxПреобразуем уравнение при у' ф 0, поделив его на (у')4:0 = у'у'" - Ч у")2U(у'Ух _ =___________х( хг)^ =(у')4 d x \ ( y ' ) 4Х{Х>= - у ' [ j - ( | - ж ' ) + ж(ж')5] = - у У " + ж (ж ')5 ] = 0 .§2 9 .
За м ен а перем енны х271Таким образом, при у' ф 0 уравнение преобразуется к видух 1" + х(х')5 = 0. Это частный случай уравнения общего вида х'" == Ф(у,х,х',х") с непрерывно дифференцируемой в R функциейФ(y,u,v,w). Уравнения такого типа хорошо изучены в теории обыкновенных дифференциальных уравнений [13]. Исходное уравнение неимело стандартного вида. ▲П р и м е р 4. Преобразовать выражение w =к полярным(/X"С/укоординатам, полагая х = г cosp, у = г sirup. Найти решение уравнения Лапласа ——+ —— = 0, зависящее только от полярного радиуса г.9 дхъ дудгх дгуАг = х + у , r dr = x d x + ydy, — = - , — = - ,х dy —у dxdp _ .У.др _хТх2+ у 2 ’ дхдуsin р дидиди _ ди дгди др _ х диу диIс.COS ipдхдг дхдр дхг дгг- дрдгг др’ди _ ди дгди др.диcos р ди— -ф- = sm ip —г дгдудг дудр дудгТаким образом,ддsin р дд_д_ cos р д„ = cos р ■= sm у?дгдхдгг дрдуг др’(Фид_ sin р ддиsin р д и\д_(ди= I cospc o s p - ------------ — ='>'*•г др /дгдгдх2 дх \ дхг др.9092.д1иsm2p дид-иsm~(р о~и= cos2у?- cosp sm р „ „—р Г -Щрг дгдг2 гдг др2 cos р sin р диV2др'д2иcosp ддиcos р ди \ _sinyj-тгр = I sm р ■дгду2 \дгг дрг др).д1ид1и 2COS~(р а ~ и ! COS~(р о и= cos" р- cos р sm р „ „дг2 гг дгдг др ' г2 дф22 cos р sin р диV2др'д2ид2и_ д2и 1 ди 1 д2иw = rs о ' о одх2ду2дг2о I г riдг I г2ОООдр2*Пусть и = v(r) есть решение уравнения Лапласа, зависящее толькоот г.
Тогда функция v(r) должна быть решением дифференциальногоуравненияd~v1 dv_d ( dv\d? - + - r T r = ° ИЛИ cTrVTr ) = 0’(3)dv„v = C i l n r + Ca,r* = c'произвольные постоянные. ▲где C\ и C2dp =990 99оГл. V. Ф ункции м ногих перем енны х272П р и м е р 5. Сделать в уравнении колебаний струны«-\9d99 а~и„-ттгт - сС - - г = 0,dtдх-,а > 0, ^оо < х, t < +оо,/,ч(4)замену независимых переменных £ = х — at, i) = х + at и найти общеерешение этого уравнения.А Пусть w (£, ?j) = ш(ж —at, х + at) = и(х, t). Тогдад2иdt 2d u_dwd£dwdt]_dwdw_/dд \дх~Ъ^дхЪпдх~Ъ^Ъп~\Щ ,Ik,Г 1ди _ dw dfdw ду _dwdw _/ дд \~ а \Щ ~ d y ) W'2 д2и _\ 2 { дд \ 22 { дд \ 2]_ , 2 d2w(fyу) _° дх1~ Г (<3£ду) й \ d fdi)J 1 ~ “dfd y ~ ’d2w(fyy)= 0.dfd yd~wд ( dw \= 0 легко находится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
