Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 51
Текст из файла (страница 51)
и” = 2,v 1 = v" = ех, получаем по формуле (25)J = х 2ех - 2хех + 2J ех dx,откудаj x 2ex dx = (х2 - 2х + 2)ех + С.▲П р и м е р 19. Вычислить интегралJ = j еах cos (Зх dx,а(3 ф 0.еахА Положим и = cos /Зх, v = ——. Тогда и1= —3 sin Зх, и,! = —(З2 cos/Зх,еажv1 = -----, v" = еах. По формуле (25) находимажJ =откудааа2cos /Зх + А- еах sin /Зх — A- J + С,аааТ _ a cos /Зх + /3siri /Зх ^ах t пJ —о i 7ю^ + (_/]_.о - -f- /3~АА§ 31. Комплексные числаИзвестно, что квадратное уравнение с вещественными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет вещественныхкорней. В частности, уравнениег2 + 1 = 0не имеет корней на множестве R.
Возникает потребность расширить§31. К ом плексны е числа285множество R так, чтобы на более широком множестве было разрешимо квадратное уравнение с любыми вещественными коэффициентами.1.Определение комплексного числа. Комплексными числаминазывают пары (ж, у) вещественных (действительных) чисел х и у,для которых следующим образом определены понятие равенства иоперации сложения и умножения.Обозначим комплексное число (х , у ) буквой z, т. е.положим г == (х , у ). Пусть Zi = ( xi,yi), Z2 = (* 2 , 2/2 )- Два комплексных числа z\ и02 считаются равными тогда и только тогда, когда х± = *2 и j/i = 2/2 ,Т. 6 .{ ( * 1 , 2 / 1 ) = ( * 2 ,2 / 2 ) }{ * 1 = * 2 } А {2/1 = 2/2}Сумма и произведение комплексных чисел Z\ и Z2 обозначаютсясоответственно Z\ + Z2 и Z1 Z2 и определяются формуламиzi + z2 = (*1 + * 2 , 2/1 + 2/2 ),Z2 Z2 = (* 1*2 - 2/12/2, *12/2 + *22/1 )•(1 )(2)Из формул (1) и (2) следуют соотношения(*1 , 0 ) + (* 2 , 0 ) =(*1 + * 2 , 0 ),(* 1 , 0 )(* 2 , 0 ) = (* 1 * 2 , 0 ),которые показывают, что операции над комплексными числами вида (ж, 0) совпадают с операциями над действительными числами.
Поэтому комплексное число вида (ж, 0 ) отождествляют с действительнымчислом ж, т. е. полагают (ж, 0 ) = ж.Среди комплексных чисел особую роль играет число (0,1), котороеназывают мнимой единицей и обозначают г, т. е.* = (0 , 1 )Вычислив произведение г на г по формуле (2), получимг • г = (0 , 1 ) (0 , 1 ) = ( —1 , 0 ) = —1 ,т. е. г2 = —1. Используя формулы (1), (2), находимi - V = (0 , 1 )(г/,0 ) = (0 , 2/),(ж, у) = (ж,0 ) + (0 , 2/) = x + iy.Следовательно, любое комплексное число г = (ж,у) можно записать в виде ж + iy, т.
е.z = х + iy.(3)Запись комплексного числа г = (х,у) в виде (3) называют алгебраической формой комплексного числа.В записи (3) число ж называют действительной частью комплексного числа и обозначают Re z, а число у — мнимой частью и обозначают Im z, т. е.Re г = ж, Im z = у.286Гл.
VI. Неопределенный интегралЕсли х = 0, т. е. z = iy, то такое комплексное число называютчисто мнимым.Здесь и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, в записи х + iy числа х и у считаются действительными (вещественными).Число \Jx? + у2 обозначают \z\ и называют модулем комплексногочисла z, т. е.______\z\ = \х + i y | = \ J х 2 + у2.(4)Заметим, что \z\ ^ 0 и {\z\ = 0}{z = 0}.Комплексноечисло х — iy называют сопряженным комплексномучислу z = х + iy и обозначают z, т.
е.z = x + iy = x —iy.(5)Из равенств (4) и (5) следует, что\z\ = \z\, zz = \z\2,(6)так как z z = ( x + iy)(x —iy) = x 2 + y2.2.С войства операций. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:а) коммутативности, т.
е.Zi + Z2 = Z2 + Zi,Z1 Z2 = Z2 Z1 ;б) ассоциативности, т. е.(Z\ + Z2) + Z3 = Zi + (Z2 + Zz),в) дистрибутивности, т. e.(ZiZ2)Z3 = Z1(Z2Zz);Z i ( z 2 + Zz) = Z1 Z2 + ZiZz-Эти свойства вытекают из определения операций сложения и умножения комплексных чисел и свойств операций для вещественныхчисел.Из этих свойств следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами,заменяя i2 на —1. Например, равенство (2) можно получить так:Z1 Z2 = (xi + iy i)(x 2 + iyz) == Ж1 Ж2 + i x i y z + i x z Vi + i 2Vi V 2 = хЛ Х2 — У1 У2 ++ Х 2 У1 ).Множество комплексных чисел обозначают буквой С. Числа 0 == 0 + 0 - 1 и 1 = 1 + 0 - 1 на множестве С обладают такими же свойствами, какие они имеют на множестве R, а именно: для любого z £ Ссправедливы равенстваz + 0 = z,z ■1 = z.На множестве С вычитание вводится как операция, обратная сложению. Для любых комплексных чисел Z\ = Xi + iy\ и Zj = i j + iyzсуществует, и притом только одно, число г такое, чтоZ + Z2 = Zi-(7)§31.
К ом плексны е числа287Это число называют разностью чисел z\ и z2 и обозначают z\ ^ z2.В частности, разность 0 —г обозначают —z.Из уравнения (7) в силу правила равенства и определения суммыкомплексных чисел следует, чтоZi - z 2 = (х-! - х2) + г(г/1 - у2).Деление на множестве С вводится как операция, обратная умножению, а частным от деления комплексного числа Z\ = х± + iyi начисло z2 = х 2 + iy2 называют такое число z, которое удовлетворяетуравнениюzz2 = zi(8 )и обозначается z i : z 2 или —.Z‘>Докажем, что уравнение (8 ) для любых комплексных чисел Z\ иz2, где z2 ф 0 , имеет единственный корень.О Умножая обе части уравнения (8 ) на z2, получим в силу равенства (6 ) уравнение_z \z2Y = z \z 2,(9)которое равносильно уравнению (8 ), так как z 2 ф 0 .Умножая обе части (9) на t-Kz , получаем г =\Z2\Z\_т.
е.\Z2\-Z\Z l^ ~~ N 1’илиz\ _ хо + гг/i _ (xi +гох о + гг/гiy i)(x2 —гг/г) _ xixo + j/ij/гx\ + y \.x\ + y\xoyi—xij /2^x\+y\Эту формулу можно не запоминать — важно знать, что она получается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженноесо знаменателем.21П р и м е р 1. Найти частное —, если z\ = 5 —2г, z2 = 3 + 4*.22Лzi _ ( 5 - 2 г ) ( 3 - 4 г ) _ 1 5 - 2 6 г + 8 г 2 _г, ~~ (3 + 4г)(3 - 4г) ~~25“7252625 *'л.3. Геометрическая интерпретация комплексного числа.а)Комплексная плоскость.
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число z = х + iy изображаетсяточкой плоскости с координатами (х , у ), и эта точка обозначается тойже буквой z.Такое соответствие между множеством С и точками плоскостиявляется взаимно однозначным: каждому числу z £ С соответствует одна точка плоскости с координатами (х , у ), и наоборот, каждойточке плоскости с координатами (х, у) соответствует одно комплексГл. VI. Н еопределенны й инт еграл288ное число z = х + iy. Поэтому слова “комплексное число” и “точкаплоскости” часто употребляются как синонимы.При этом действительные числа, т.
е. числа вида х + 0 • г, изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые числа, т. е. числавида iy = 0 + iy — точками осиординат. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью,а ось ординат — мнимой осью.Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью.На рис. 31.1 изображены точки 2 , —г, z, —z. Отметим, чтоточки z w —z симметричны относительно точки 0 , а точки г и ~zсимметричны относительно действительной оси.б)Геометрический смысл модуля комплексного числа.
Комплексное число z — x-\ -i y можно изображать вектором с началом в точке Ои концом в точке г. Этот вектор будем обозначать той же буквой г.Из рис. 31.1 или из формулы (4) видно, что длина вектора г равна \z\и справедливы неравенства |ж| ^ \z\, \у\ ^ \z\, т. е.\Rez\ ^ \z\,\lmz\ ^ г.С помощью векторной интерпретации наглядно иллюстрируются сумма и разность комплексных чисел. Число 2Д + 2:2 изображается вектором, построенным по правилу сложения векторов 2Д и Z2(рис. 31.2), а вектор z\ — Z2 можно построить как сумму векторовzi и —2:2 . Из рис.
31.2 видно, что расстояние между точками 2Д и 2:2равно длине вектора 2Д —2:2 , т. е. равно 12Д —2г2 1. Это же утверждениеследует из равенства\z 1-Z2 \=л/(Ж 1-Х 2 ) 2 + ( 2/1 -У2 ) 2 ■Итак, 12Д — Z2 I — расстояние между точками 2Д и ^ 2.§31. К ом плексны е числа289П р и м е р 2. Дать геометрическое описание множества всех точеккомплексной плоскости, удовлетворяющих условию:а)\z-z0\=R, R >0;б) l < | z - l | < 2 ;в) \z — i\ = \z + i\.А а) Условию \z — zo\ = R, где R > 0, zo — заданное комплексноечисло, удовлетворяют все точки, расстояние от которых до точки zoравно R , т.
е. точки, лежащие на окружности радиуса R с центром вточке zo.б) Условию \z — 1| < 2 удовлетворяют все точки, лежащие внутрикруга радиуса 2 с центром в точке г = 1 , а условию \z — 1 | > 1 —точки, лежащие вне круга радиуса 1 с центром в точке z — 1.Оба эти условия выполняются для точек, лежащих между окружностями \z — 1| = 1 и \z — 1| = 2 (рис. 31.3).в) Условию \z — г\ = \z + г\ удовлетворяют те и только теточки,которые равноудалены от точек г и —г, т. е. все точки действительнойоси.
АПокажем, что для любых комплексных чисел z\ и Z2 справедливынеравенства\\zi\ - \z2\\ ^ \Z! + Z2 I ^ \zi | + \z2\.(10)О Рассмотрим треугольник с вершинами 0, z\ и z\ + Z2(рис. 31.2).Длины его сторон равны \z\\, |^2 1и \zi + z 2 |. Поэтому неравенства (10)выражают известные из геометрии свойства длин сторон треугольника. •4.Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Пусть г и ip — полярные координаты точки z = х + iyкомплексной плоскости (рис. 31.4); тогдах — тcos(p,у — тsin(^,(1 1 )где г = д/ж2 + у2 = \z\, ip — угол междудействительной осью и вектором z, отсчитываемый от положительного направления действительной оси.
Если отсчет ведется противчасовой стрелки, то величина угла считаетсяположительной, а если по часовой стрелке —отрицательной. Этот угол называют аргументом комплексного числа z (z ф 0) и обозначаютрис 31 4argz. Для числа z = 0 аргумент не определяется, поэтому в дальнейшем при использовании понятия аргументапредполагается, что z ф 0 .Из равенств (11) следует, что любое комплексное число z = х + iy,где z ф 0 , представляется в виде2 = r(cos ip + i simp).(12)290Гл. VI.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
