Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Например, запись R (u,v) будет означать, что рассматривается рациональная функция переменных и, V, т. е. функция, представимая в виде R (u,v) = ^ UyV\ , где Р и Q — многочлены относительQ(u,v)но и, а коэффициенты этих многочленов являются многочленамигг,и~ —Згго + Фгтм3 — 1относительно v. Аак, ----- ;^ ---- — рациональная функцияU4V +V —u l v lsin3 х —3te x + 1относительно и и v, -----:------ 5— 5сов4 х —2c tg 2жсительно sin ж и cos ж.рациональная функция отноРассмотрим некоторые типы интегралов от рациональных функций.а) Интегралы вида' а х + Ъ\ Г1t ax + Ь У "\с х + dj! « ксхш + d)' ’(ss)>где гр G Q (k = 1,те), a ,b ,c ,d £ R , ad — Ъсф 0, подстановкойах + Ь _сх + d(р — общий знаменатель рациональных чисел г \,...,г п) приводятся кинтегралу от рациональной функции (см.
[2 ]).f 1 + 3 фх + ж2 ,Например, при вычислении интеграла ----- ^7==dx можноJ 5 — V ж2 + v ж3применить подстановку ж = t6, так как подынтегральная функцияявляется рациональной относительно переменных и = ж, v = ж1/ 2, и>=— ж2/з г = х 5/6 а 0бщий знаменатель дробей- равен 6 .236§3 3 . И нт егрирование ф ункций309Чтобы вычислить интеграл[—х.
целесообразноJ У (3 ^ * ) 4(2 + а:)3подынтегральную функцию f ( x ) записать в видеf ( x) =з/2 + х13 ^ * (2 + *)2(3 —х ) 'Так как f ( x) — функция, рациональная относительно х и/ 2 + а?Ч1 /32 + х ,з, то с помощью подстановки ------ = t данный интегралч3 —х 13 —хсводится к интегралу от рациональной функции.б) Интегралы вида/ щ х, л / ах2 + Ъх + с) dx,а ф 0,Ъ2 —4ае ф 0,(10)можно свести (см., например, [2 ]) к интегралам от рациональныхфункций с помощью подстановок Эйлера:1)\/а х 2 + Ъх + с = ± t ± ф~а х,а > 0,(11)2)л/а х 2 + Ьх + с = ± x t ± ч/б)с > 0,(1 2 )3)л/а х2 + Ъх + с = ± t(x — x i),b2 — 4ас >0,(13)где Xl — один из корней квадратного трехчлена ах2 + Ъх + с.
Напри(' -фх2 —х + 1 —1 ,мер, при вычислении интеграла ---------— ах можно воспольJх-фх2 — х + 1зоваться подстановкой ( 1 2 ), т. е. ф х2 —х +1 = xt + 1 .З а м е ч а н и е 4. С ледует и м еть в виду, что п о дстан овки (11)-—(13) частоп р и в о д я т к гр о м о зд к и м вы ч и сл ен и ям . П оэтом у для н ах о ж д ен и я и н тегр ал оввида ( 1 0 ) обы чно п р и м ен я ю т др у ги е способы , о к о то р ы х п ойдет р еч ь ниж е.Заметим, что подынтегральную функцию в (10) можно представить в видеИфх)+ д 2(ж);л/ах2 + ох + сгде Ri и Дз — рациональные дроби.
Записывая R i(x) в виде суммымногочлена Рп(х) и суммы простых дробей, сведем интеграл (10) клинейной комбинации интегралов следующих трех типов:/ фах2Рп^+ Ьх + с dx;dxг G N;/ (х - а)гфах2+ Ьх + с/;dxх ' + рх + q)kVax2 +Ъх + с ’k(14)£N,р 2 ^ iq < 0.(15)(16)Гл. VI.
Неопределенный интеграл310При нахождении интеграла (14), где Рп (х) — многочлен степени те,удобно использовать формулуdxРп(х)/ л/ах2+ Ьх + с dx = С/(х)л/ах2 + Ъх + с + AJ л/ах2 + Ьх + с(17)В этой формуле Q(x) — многочлен степени не выше те —1, Л — некоторое число. Дифференцируя тождество (17) и умножая затем обечасти получаемого соотношения на 2\/а х 1 Ъх + с, находим2 Рп(х) = 2 Q '(x)(ax2 + Ъх + с) + Q(x)(2ax + b) + 2А.(18)Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в тождестве (18), вычислим коэффициенты многочлена Q(x) и число А.Заметим, что интеграл в правой части формулы (17) сводится к табличному с помощью линейной подстановки.Пример6 .
Найтих ^хл/х2 + X + 1А Воспользуемся формулой (18), где Рп (х) = ж2 , Q(x) = Ах + В.Получим тождество 2х2 = 2А (х2 + х + 1) Ч (Ах + В)( 2х + 1) + 2А,откуда следует, что2 = 2А + 2А,J = J-0 = 2А + А + 2В,0 = 2А + В + 2А.ПоэтомуbА=Ь= -vГТак какdt х -I—ГJdx_ Гл/х2 + X + 1J2f iХ+ -1= ln ( XxС,+4J = (J^x - ^ л /х 2 + х + 1 - i In (ж + i + л /х 2 + х +1 ^ + С. ▲Рассмотрим интеграл (15). Подстановкойt = -L Xэтот интеграл сводится к интегралу (14).Обратимся, наконец, к интегралу (16). Если существует число штакое, что для всех ж G R выполняется равенство ах2 + Ъх + с = ш(ж 2 ++ рх + q), т.
е. Ъ = ар, с = aq, то интеграл (16) можно представить ввиде линейной комбинации интеграловЛ =(2ж + р) dxж2 +рх + q)k+1/ 2•h =Idx'x 2 + p x + q)k+1/ 2§3 3 . И нт егрирование ф ункций311Интеграл Jp сводится к табличному, а интеграл J 2 подстановкойАбеляи = (л /х 2 + рх + q)' = — 2.x+р _(19)2у/ х2 + рх + qсводится к интегралу от многочлена.Если Ъф ар, то используется подстановкаat + /31=т г т ■„ч(20)где числа а и (3 подбираются такими, чтобы коэффициенты при tв квадратных трехчленах подынтегральной функцииобратились внуль.
При этом интеграл (16) примет видP(t)dt/ (t2 + X)k^/ pt2 + vгде P(t) — многочлен степени 2k —1, Л > 0.Заметим, что если Ъ= ар, но с ф aq (случай Ъ= ар, с = aq рассмотрен выше), то вместо подстановки (20 ) можно применить подстановку^X = t -РЧтобы вычислить интеграл (21), разложим правильную рациональную дробь на простые дроби и представим интеграл (21 ) в виделинейной комбинации интегралов видаJтi = fi(tt,J (t2 + X)m л /pt2 + aиdt ,,J тн= fJ (t2 + X)m^Jpt2 + vгде..toGA/.Интеграл J ' вычисляется с помощью подстановки те2 = p,t2 + v, а интеграл J" — с помощью подстановки Абеля v = —.
^.y/p.f- + vв) Интеграл вида'x m(axn + b)p dx,(22 )hгде5 — действительные, то, те, р — рациональные числа, причема ф 0, Ъф 0, п ф 0, р ф 0, называют интегралом от дифференциальногобинома. Интеграл (22) сводится к интегралу от рациональной функции в следующих трех случаях ([2]):+l , - - 7w - f l,72) -----GZ;3 ) --------1- р б^ - Z.ппВ первом случае применяется подстановка х = t q, где q — общийзнаменатель дробей то и те, во втором и третьем случаях — соответственно подстановкиi'i1)рг G Z;-7r A ma xn + b = t sгде s — знаменатель дроби р.и a + b x ^ n = t s,Гл.
VI. Неопределенный интеграл312Отметим, что эти случаи были известны еще Ньютону, но лишь всередине XIX века выдающийся русский математик Пафнутий Львович Чебышев доказал, что интеграл вида (22) в других случаях невыражается через элементарные функции.П р и м е р 7. Найти ( .J VI + х4А Это интеграл вида (22), где т = 0, п = 4, р = ^ - и HLlhр == 0.
Полагая t = (1 + х 4)1//4, получаем t4 = 1 xоткуда 413 dt =. Следовательно,= —4х 5 dx, х 4 =t4 - 1'1 ( - t3)d t =dxx4dxt(t4 1 )v m/ * 3V 1 + x11t" dtt+1- arctg t \-c =f+lJ d t= 4 ln t - 1114tJ1 . Vl + X 4 + x= - m , , ------- - arctg Vi + * 4 c. кX4 Vl + x4 - xII3.И н тегр и ров ан и е т р и гон ом етр и ч еск и х и ги п ербол и ч еских ф ункций.а) Интеграл видаj R ( s m x , cosx)dx,(23)где R (u,v) — рациональная функция от и и v, можно свести к интегралу от рациональной дроби с помощью подстановкиt = tg-,(24)X £Е ( 7Г, 7г)так как211 - Г х = 2 arctg t,cosx =1 + t2’1 + t2’П р и м е р 8 .
Найти интегралы f —dxL и fС dxsin ж =dx =2 dti+ ¥J smx J cosxА а) Применяя подстановку (24), получаемf dx, Xc.~2J sin*б) Используя формулу (25), находимГ ddxx _COS XГJ(25)d[x + -J sin2I 1 ---= In•VIc.a2Приведем другой способ вычисления интеграла (25):dxhf f sinsinxxdxdxsin2 xJ1 ,т 1 —cosUUbXx,-411 = 52 ln 1 +--------cos x h C'f d(cos x)h§3 3 . И нт егрирование ф ункций313З а м е ч а н и е 5. Подстановка (24), которую называют универсальной,часто приводит к громоздким вычислениям интеграла (23). Поэтому ее используют лишь в тех случаях, когда не видно других путей к вычислениюинтеграла (23).Если подынтегральная функция R удовлетворяет одному изусловий:а) R (—sin ж, cos ж) = —jF2(sin ж, cos ж),б) R (sin ж, ^ cos ж) = —jF2(sin ж, cos ж),в) Д( —sinx, —cosx) = i?(sinx, cosx),то для нахождения интеграла (23) можно использовать соответственно подстановки t = cosx, х £ (0 , 7г); t = sin х, х £ ^- t = t gx,X £ I( —- , - I, или t, = cos г,lx .В приложениях часто встречаются интегралы вида/■sin™ жcos” жdx,то £ Z,те £ Z.(26)При вычислении интеграла вида (26) можно руководствоватьсяследующими правилами:а) если то + те — четное число, то применяется либо подстановкаt = tg x , либо подстановка t = cos 2 x;б) если то + те — нечетное число, то используют подстановкуt = sin ж или t = cosx.П р и м е р 9.
Найти интеграл вида (26) в следующих случаях:а) то = 0, те = ^ 6 ; б) то = 3, те = 4;в) то = 2, те = 4;г) то = —1, те = —3.А а) Воспользуемся подстановкой t = tg x . Так как—C O S; ж=1 + t g 2x = 1 + t2, то J f COS0 ж = J f (1'G, = dt,cos2 х+ t 2)2dt = t + l t 3 +3+ ^~ + С = t g x f l + | t g 2x + ^-tg4x') + C.5435/б) J sin3 жcos4 жdx = J (cos2 x —1 ) cos4 xd(cosx) =_cos' жcos0 жв) Воспользовавшись формулами sin жcos ж = -sin 2 x ,ncos2 ж == i ( l + cos 2 x), получаемJ sin 2 ж cos4 x d x = ^ J sin2 2 x (l + cos 2 x) dx == ^ J (1 —cos4x) dx +sin2 2xd(sin 2x) =1161I s48= — ж —— sin 4x + — sin 2ж + C.64Гл. VI.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
