Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 59
Текст из файла (страница 59)
е. либо0 при х € [а,Ь],д(х) флибод(х) ф 0(2 1 )при х € [а,Ь\.Тогдаьь3 g£[ m, , M] : J f ( x ) g ( x ) dx = р j g ( x ) dx.(22)aaО Пусть, например, выполняется условие (21). Тогда из неравенства (20 ) следует, чтоУхG[a,b] —1 mg(x) ф f(x)g(x) ф Mg(x).(23)Так как функции / и g интегрируемы на отрезке [а, Ь], то функция f gтакже интегрируема на этом отрезке и согласно правилу оценки интегралов6то / д(х) d x ^66f (x)g(x) dx ф М j д(х) dx.(24)иЗаметим, что если J д(х) dx = 0, то из неравенств (24) следует, чтоаbj f ( x )9(x ) dx = 0 , и поэтому равенство (22 ) в этом случае выполняетсяпри любом /л.66Пусть J д(х) dx ф 0 , тогда J д(х) dx > 0 в силу (2 1 ). Поэтому неааравенство (24) равносильно следующему неравенству:т ф р ф М,(2 5 )§35.
Свойст ва определенного инт егралагде333ьj f(x )y (x )d xp = ~ b------------•(26)j у(х) dxаИз (26) следует равенство (22), где р € [т,М] в силу неравенства (25). Теорема доказана для случая, когда д(х) ^ 0. Эта теоремасправедлива и в случае д(х) ^ 0 , так как при замене д(х) на —д(х)равенство (22 ) сохраняется. •С л е д с т в и е .
Если функция f ( x) непрерывна, а функция д(х) интегрируема на отрезке А = [а, Ь] и не меняет знака, тоьь3 с G [a,b\: J f ( x ) g ( x ) d x = f(c) J g( x ) dx .аа(27)В частности, если д(х) = 1, тоь3 с £ [a,bj: j f ( x) dx = f(c)(b — a).a(28)О Пусть то = inf f (x) , M = sup f(x), где A = [a,b]. По теоремеxe&x€AВейерштрасса3 xi , X2 € [a, b]: f ( x i ) = m,f ( x 2) = Mи выполняется неравенство (20). Если р, — число, определяемое формулой (22 ), то f ( x i) ^ р ^ f ( x 2 ), и по теореме о промежуточныхзначениях непрерывной функции получаемЗс G [а,Ь\: /(с) = р.Поэтому формулу (22) можно записать в виде (27).
•З а м е ч а н и е 5. Д оказан ное следствие обы чно н а зы в а ю т интегральнойЭ то н азван и е связан о с т ем , ч то в ф орм уле (27) речьи дет о су щ еств о ван и и некоторой т о ч к и о т р е зк а ( “ средней точки”), для которой в ы п о л н яется р ав ен ств о (27) для и нтегралов.З а м е ч а н и е 6. М ожно д о к а за ть (см ., н апри м ер, [2]), ч то в ф ор м у ле (27) т о ч к у с всегд а м ож но вы б р ать т а к , чтоб ы она п рин адлеж ала инт е р в а л у (а , Ь).З а м е ч а н и е 7.
Если f ( x ) > 0, то р ав ен ств о (28) о зн ачает, что площ адьк риволин ей ной тр ап ец и и над о т р е зк о м [а, Ь] равна площ ади п р ям о уго л ьн и ка с осн ован ием длины Ь — а и вы сотой, равной зн ач ен и ю ф у н к ц и и / внекоторой т о ч к е о т р е зк а [а,Ъ].теоремой о среднем.Гл. VII. Определенный интеграл334Пр и м е р .
Доказать неравенствоЖ12212Д 1_ < [ _ _ _ _ _ _ _ •г ',-г_ _ _ _ _ _ _ < Д 1_809 ' ' J ЮО + 2 ^ 3 sin3 х cos х ^ 800о(29)v 'А Обозначим /(ж) = ------------- —----------, д(х) = ж и воспользуем100 + 2V3 sin х cos хся неравенством 0 sC sin 3 ж cos ж 3-\/3/16, которое выполняется, если0 ^ ж ^ 7г/2 (§ 20, пример 6 ). Тогда 0 ^ 2 \/3 sin3 жсовж ^ 9/8 и8/809/(ж)1/100. Применяя интегральную теорему о среднем(неравенство (24)) и учитывая, чтотг/2jп /2д(ж) dx =Jополучаем неравенство (29).
▲х dx =о8§ 36. Интеграл с переменным верхним пределом.Вычисление определенных интегралов1.Интеграл с переменным верхним пределом. Если функция / интегрируема на отрезке [а,Ь], то для любого ж € [а, Ь] существует интегралхF( x)= [f(t)dt,(1)который называется интегралом с переменным верхним пределом.а) Непрерывность интеграла.Т е о р е м а 1. Если функция / интегрируема на отрезке [а,Ь], тофункция F (ж) непрерывна на этом отрезке.О Пусть ж G [а, Ь] и ж + Аж € [а, Ь]. Докажем, чтоAF = F (x + Аж) - F(x) -А 0при Аж -А 0.В силу свойств интеграла (§ 35, п. 2)х-\-А хAF =хх-\-А хjf ( t ) d t — J f (t) dt =jaaxf(t ) dt.(2 )Так как функция / интегрируема на отрезке [а, Ь], то она ограничена,т.
е.3 М > 0 : У ж € [ а , Ь] —¥ | / ( ж ) | «С М.(3)Согласно правилу оценки интеграла (§ 35, п. 3) из (2) и(3) следует, чтож+Дж| д * к | / \ m \ d t \ ^ м |д ж |,§3 6 . И нт еграл с перем енны м верхним пределом335откуда получаем: Д F —ь 0 при Аж —^ 0, т. е. функция F непрерывнав точке ж. Поскольку ж — произвольная точка отрезка [а, Ь], то функция F непрерывна на отрезке [а,Ь].
•б) Дифференцируемость интеграла.Т е о р е м а 2. Если функция / интегрируема на отрезке [а, Ь] иXнепрерывна в точке Жо £ [а, Ь], то функция F(x) = j f(t ) dt дифференaцируема в точке хо, причемF' ( x0) = /(ж 0).(4)О Пусть Аж ф 0 и Хо + Аж £ [а, Ь]; тогда при ж = Xq справедливоравенство (2). Докажем, чтоа =ЛF- /(жо) ->■ 0приАж ->■ 0.(5)Ж()+ АхПреобразуем а, пользуясь тем, чтоJdt = Аж (см. § 34, прижомер 2, а)).
В силу свойств интегралаxq+Дхa = hxq+ДхI/жоа; ожо+Джdt= h/ ( / а д - /ы ) ^а;ооткудажо+ А хМ ^ |Дж|1/(6)\ f (t ) - f ( x 0) \ dtжоПо условию функция / непрерывна в точке Хо, т. е. для любого £ > 0существует число S = 5(e) > 0 такое, что для всех i € U$(xо) выполняется неравенство\f(i) - f ( x 0)\ <£,(7)где Us (xq) = {t: 11 —Жо| < 5}- Пусть |Дж| < 6; тогда 11 —Жо| ^ |Аж| < 6,так как t £ I, где I — отрезок с концами Xq и Xq + Д ж . Поэтому длявсех Д ж таких, что |Дж| < 6, выполняется неравенство (7).
Но тогдаиз (6 ) следует, что \а\ < —-—ге|Дж| = е. Таким образом, для любого|Д ж |е > 0 найдется число 6 > 0 такое, что для всехудовлетворяюДFщих условию 0 < | Дж| < 6, выполняется неравенство —------ f(%o) <е, т. е. выполняется условие (5). Это означает, что справедливо равенство (4). •Дж,З а м е ч а н и е 1. Если хо = а, то равенство (4) записывается в видеF[(a) = f (a), а если хо = Ь, то в виде F'_(b) = f(b).Гл. VII. Определенный интеграл336в)Существование первообразной у непрерывной функции.Т е о р е м а 3.
Если функция / непрерывна на отрезке [а,Ь], тоона имеет первообразную на этом отрезке, причем первообразной дляфункции / является интеграл с переменным верхним пределом ( 1 ), ипоэтомухJ f ( x ) d x = J f (t ) dt + С,(8 )агде С — произвольная постоянная.О Пусть х — произвольная точка отрезка [а,Ь]. По теореме 2 функция F(x), определяемая формулой (1), имеет в точке х производную,равную f (x), т. е.Fl (x) = ^ ( f f ( t ) d t ) = f ( x ) .(9)аСогласно определению первообразной (§ 30) функция F(x) являетсяпервообразной для функции f ( x ) на отрезке [а,Ь], и поэтому справедливо равенство (8 ).
•З а м е ч а н и е 2. Согласно т е о р ем е 3 (ф о р м у л а (9)) о п ераци я и н т е г р и ро в ан и я непреры вн ой ф у н к ц и и с п ер ем ен н ы м в ер х н и м пределом я в л я е т с яо братн ой к операции д и ф ф ер ен ц и р о в ан и я. У тв ер ж д ен и е о то м , что п роизводн ая и н т егр ал а с п ер ем ен н ы м в ер х н и м пределом о т непреры вн ой ф у н к ции равна зн ач ен и ю п о ды н тегр ал ьн о й ф у н к ц и и при зн ач ен и и ар гу м е н та ,равном в е р х н ем у п р еделу и н тегр ал а, я в л я е т с я в аж н ей ш и м ф ак то м к у р с ам а те м а т и ч е с к о го ан ализа.С л е д с т в и е . Из теоремы 3 и теоремы § 30 следует, что всякаяпервообразная Ф(ж) для функции / , непрерывной на отрезке [а, Ь], имеет видXФ (х ) = J f ( t ) d t + C,агде С — постоянная.а^х^Ь,(10 )У п р а ж н е н и е 1. Д о к азать т е о р е м у 3 с помощ ью и н тегр ал ьн о й т ео р емы о ср едн ем (§ 35, ф орм ула (28)).Уп р а жн е н и ер езк е[а,Ь]2 .
Доказать, что если функция / интегрируема на отх С [а, Ь], тоG'(x) = —f(x).и н еп р ер ы вн а в т о ч к еди ф ф ер ен ц и р у ем а в т о ч к ехиф ункцияьG(x) = J f(t) dtх2. Вычисление определенных интегралов.а) Формула Ньютона-Лейбница.Т е о р е м а 4. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [а, Ь] иесли Ф(ж) — какая-нибудь первообразная для f ( x ) на этом отрезке,то справедлива формула Ньютона-ЛейбницаьJ f ( x ) dx = Ф(Ь) - Ф(а).(п)а§3 6 . И нт еграл с перем енны м верхним пределом337О Согласно следствию из теоремы 3 существует число С такое, чтосправедливо равенство (10). Подставляя в формулу (10) х = а и учиатывая, что J f ( t ) d t = 0, получаем С = Ф (а).
Поэтому равенство (10)аможно записать в видехФ(ж) = [ f(t)dt+<f>(a).( 12 )Равенство (12) выполняется при любых значениях х £ [а, Ь] и, в частности, при х = Ъ, т. е.откуда следует формула ( 1 1 ), так как величина определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначается независимоепеременное в интеграле. •З а м е ч а н и е 3. Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления и часто записывают в видеГь/ ( х ) д х=Ф (х )Jа.аП р и м е р 1. Доказать, что для любых гп € А/, п € N справедливыравенства:7ГJ sin m x c o sn x d x = 0 ;а)(13)— 7Г7Г7ГJ sin2 rnxdx = J cos2 n x d x = ж.б)— 7Г(14)— 7ГА а) Воспользовавшись+ sin(a —/3)), получаемформулой7Гsin a cos /3 = i (sin(a + (i) +7Г7ГJ = J sin т х cos n x d x = - J sin (to + n)x dx + - J sin (to —n)x dx.Если то ф n,1toJ = —------- c o s ( t o + n)x2 {rn + n)1+ —------- c o s ( t o —n)x2 {rn —n)так как cos я к = ( ^ l ) fc для любого к £ Z. Если то = те, тоJ = \ J sin 2 пх dx =I0= 0,Гл.
VII. Определенный интеграл338для любого п € N. Таким образом, равенство (13) справедливо прилюбых то, те G N.тт1-2,— cos 2а91+ cos 2аб) Применяя формулы sm а = -------иcos-'а =и7Г7Гучитывая, что J cos 2 n x d x = 0 при любом те G А/, a J dx = 2п, полу—7Г—7Гчаем равенство (14). ▲У п р а ж н е н и е 3. Д о к азать, ч т о для лю б ы х тег € А/, те € А/ (те ф тег)сп равед ли вы р ав ен ст в аjsin тег* sin те* d* = О,jcos тег* cos те* d * = 0.З а м е ч а н и е 4. О пределенны й и н тегр ал м ож но и сп о л ьзовать дляэ ф ф ек ти в н о го в ы ч и сл ен и я предела п оследовательн ости, если ее м ож нор а с с м а т р и в а т ь к ак п оследовательн ость и н те гр а л ь н ы х с у м м некоторойи н тегр и р у ем о й ф ункц ии .П р и м е р 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
