Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 57
Текст из файла (страница 57)
•З а м е ч а н и е 1. О гр ан и ч ен н о сть ф у н к ц и и не я в л я е т с я д о стато ч н ы муслови ем ее и н тегр и р у ем о с т и . Т а к , ф у н к ц и я Д ирихлеc <*>={J:I I j;не и н т е гр и р у ем а на о т р е зк е [0, 1 ], х о тя и о грани чен а.О Д ей стви тельно, если вы борки £ и £' со с то я т со о тве тс тв е н н о и з рацион альн ы х и и р р ац и о н альн ы х то ч ек , то а т ( £ ) = 1 , а о т Ц ' ) = 0 для лю богор азб и ен и я Т о т р е зк а [0,1]. П оэтом у не с у щ е с т в у е т предела и н те гр а л ь н ы хс у м м при 1 ( Т ) —¥ 0. •4.
Суммы Дарбу и их свойства. Пусть функция / , определенная на отрезке [а, Ь], ограничена на этом отрезке и пусть Т = {ж ,, i == о,те} — разбиение отрезка [а,Ь], А, = [ж,_1 ,ж,], Аж, = ж, —ж*_1Гл. VII. Определенный интеграл320(г = 1, те). Обозначим= sup f (x), то, = inf f(x),xeAinnS t = ^ M iA xi, s t = ^ in,A x,.i=l*=iНазовем S t и «т соответственно верхней и нижней суммами Дарбу для функции / при заданном разбиении Т отрезка [а,Ь]. Заметим,что эти суммы не зависят от выборки Д Рассмотрим свойства суммДарбу.С в о й с т в о 1.
Для любой выборки С справедливы неравенстваs T С о т( £ ) С S T -(6)О Так как для любого Д € Д* выполняются неравенства^ /(Сг) Сттоп>. А х, ^ / ( С ) Д ж * С Mi А х, .Складывая эти неравенства, получаемпппТ , ш ‘Х г ‘ ^«сM iAxiг= 1г=1(7)г=1Согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы <тутверждения (7) и (6 ) равносильны. •С в о й с т в о 2. Справедливы равенстваS T = sup о т / ) ,(8)= inf стт(0-(9)СstО Докажем утверждение (8 ). Согласно определению точной верхнейграни нужно доказать, что выполняются следующие условия:V £ ^ c t t (£) C S V ,Ve > 0З Д : S T - a T ( f ) < £■Первое из этих условий выполняется в силу (6 ). Докажем второеусловие.Так как А / = sup f (x) , то по определению точной верхней гранижеЛ;Ve > 0 3 С' = Ше А 4: 0 ^ А / - / / ' ) <*= М -Умножая г-е неравенство на Дж* и складывая все получаемые неравенства, находим0 С S T — <гт(Д) < £ ,где С = {С', г = 1,п} — выборка.
Итак, утверждение (8 ) доказано.Аналогично доказывается, что справедливо и утверждение (9). •§34- О пределение и условия сущ ест вования определенного инт еграла321Следующее свойство сумм Дарбу связано с еще одним понятиемдля разбиений. Назовем разбиение Т 2 продолжением (измельчением)разбиения Т), если каждая точка разбиения Т) является точкой разбиения Тч- Иначе говоря, разбиение Т 2 либо совпадает с разбиением Т), либо получено из Т) добавлением по крайней мере одной новойточки.С в о й с т в о 3.
Если разбиение Т 2 — продолжение разбиения Т), тоst,С « т2 СSt2С S td(Ю )т. е. при измельчении разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.О Для доказательства неравенств (10) достаточно рассмотреть случай, когда разбиение Т 2 получается из разбиения Т) добавлениемтолько одной точки х 1 € (ж*_1 ,ж*). Пусть Д' и Д" — отрезки, на которые точка х 1 разбивает отрезок Д*, a Ai и Аг — длины этих отрезков; тогда Дж* = Ai + Аг. Обозначим то' = inf /(ж), то" = inf /(ж).,„хеА"Очевидно, что то' то*, то'то*.В суммах s t 2 и s t, равны все соответствующие слагаемые, за исключением тех, которые связаны с отрезком Д*.
Поэтому$т2 — st , = to'Ai + то" А2 —m*(Ai + А2),где то' ^ то*, то" ^ то*. Следовательно,st 2 — st ,= (ш- —m*)Ai + (то" —то*)А2 ^ 0,т. е. st* ^ «т2-Аналогично доказывается неравенство S t 2 ^ S t,- Отсюда, используя неравенство s t 2 S S t 2(6 )), получаем цепочку неравенств ( 10 ). •С в о й с т в о 4. Для любых разбиений Т 1 и Т" справедливо неравенствоs t <Д, S t " ■( 11 )О Пусть разбиение Т является продолжением как разбиения Г ', таки разбиения Т" (в качестве Т можно взять Г ' и добавить к нему теточки разбиения Г ", которые не входят в Г').Из неравенств (10) при Т) = Г ', Т2 = Т получаем( c m .s t1^s t^ ST-Полагая в (10) Т2 = Т и Ti = Г ", находимStS t"•Объединяя полученные неравенства, имеемst >^ st^ S t ^ S t»,откуда следует неравенство ( 1 1 ).
•Гл. VII. Определенный интеграл322С в о й с т в о 5. Существуют числаJ_= sup s t , J = inf S t ,Ttудовлетворяющие для любых разбиений Т ' и Т" отрезка [а, Ь] условию(12)Эти числа называют соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу от функции / на отрезке [а, Ь].О Из неравенства (11) по теореме об отделимости числовых множеств (§ 2, теорема 2) следует, что существуют J = sup S t и J = inf S t(супремум и инфимум по всевозможным разбиениям отрезка [а, Ь]) идля любых разбиений Т ' и Т" выполняется неравенство (12). •В заключение отметим, что свойства 1-5 справедливы для любойограниченной на отрезке [а, Ь] функции.5. Критерий интегрируемости функции.Т е о р е м а 2.
Для того чтобы функция f (x) , определенная на отрезке [а, Ь], была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была ограничена и удовлетворяла условиюVe > 0 3 4 > 0 : VT: 1(Т) < 6е -> 04 ST - sT < е.(13)Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть функция / интегрируема на отрезке[а,Ь]. Тогда она ограничена (теорема 1) и в силу определения интеграла3 J : Ve > 0 3 4 > 0 : VT: ЦТ) < 6е V£ -> J - | < ат( 0 < J + LОООТаким образом, при каждом разбиении Т отрезка [а,Ь], мелкостькоторого удовлетворяет условию ЦТ) < 5е, неравенствоJ ^ < a T( C ) < J + |(14)выполняется при любой выборке £. Поэтому из левого неравенства (14) и равенства (9) следует, чтоJ ~ I3 ^ С= sT.(15)Аналогично из правого неравенства (14) и равенства (8 ) следует, чтоS t = sup<tt(£) ^ J + §•С3Из неравенств (15), (6 ) и (16) получаем цепочку неравенствJ - I ^st^St(16)^ J + §,откуда следует, что0 4 S t —s t ^ Щ- < £■ОИтак, интегрируемая на отрезке функция / удовлетворяет условию (13).§34■ О пределение и условия сущ ест вования определенного инт еграла323Д о с т а т о ч н о с т ь .
Пусть функция / ограничена на отрезке [а, Ь]и удовлетворяет условию (13). Докажем, что функция / интегрируемана отрезке [а,Ь], т. е.3 J : Ve > 0 3 4>0:VT: l(T) < 6е V£ ->|стт (£) - J\ < е.(17)Воспользуемсясвойством 5. Из неравенств (12)следует, что04J ~ J- 4 S t ~ St ,откуда в силу (13) получаем неравенство0 4 J ~ J. 4 S t ~ st < е,справедливое для любого разбиения Т такого, что 1(Т) < 5е. Так какчисла J и J не зависят от Т, то отсюда следует, что1= 1Обозначим_J= J= J(18)и докажем, что число J есть интеграл от функции / на отрезке [а,Ь].Из (12) и (18) следует, чтоst4 ^ 4 St ,(19)а из (19) и (6 ) в силу (13) получаемк т ( 0 — J\ 4 S t — s t < е.Это означает, что функция / интегрируема на отрезке [а,Ь], а число J есть интеграл от f ( x) на [а,Ь].
•С л е д с т в и е . Если функция / интегрируема на отрезке [а, Ь], ачисло J — ее интеграл на этом отрезке, тоJ = sup st = inf S t .З а м е ч а н и е 2. Н азовем к о л е б а н и е м ф у н к ц и иразб и ен и я Т = {x i , г = 0, п } числоtOiif) =Шг = Mi - п ц ,где M i = su p f ( x ) , гп, = in f f ( x ) . Т о гд ажеД;1fна от резкеА, = [xi-i,Xi]Х(=А‘ПпST - sT = Y ,(M i ~ mi)Axi = V'tVi ДXi.i=li=1Условие и н т егр и р у ем о с т и (13) ч ас то за п и с ы в а ю т в видеПS t — St =.с, А х , —>• 0при 1{Т) —>• 0.(20)г=1З а м е ч а н и е 3.
При д о к а за т е л ь с тв е св о й ств и н те гр а л а (§ 35, п. 1) будетиспользовано следую щ ее р авенство:< * (/)=su pх ', х " G\f(x")-f(x')\.(2 1 )Гл. VII. Определенный интеграл324О Согласно определению точн о й верхней гр ан и р ав ен ств о (21) озн ачает,что в ы п о л н я ю тся следую щ и е условия:— /( * 0 1 ^ Af; — п н для лю бы х ж', х " € А»;(22)Ve > 0 Зх ' е € А» 3 х " € А ; : М{ — т,{ — е < \ f ( x " ) — f ( x ' e)\.(23)З а м е т и м , что ф орм ула (21) сп р авед ли ва, если М{ = тщ, т а к к а ксл учае f i x ) = М{ = тщ для всех * С А». П усть М{ > тщ, т о гд а длях', х " € А ; сп равед ли вы н ер а ве н с тва тщ ^ / ( * ')М», тщfix")о т к у д а следует, ч то вы п о л н яется условие (22).Для д о к азат ел ь ст в а усл о ви я (23) за д а д и м п р оизвольное числоу д о в л етво р яю щ ее условию е < М» — тщ.
В си лу определен ия т о ч н ы хнайдутся точкие А ;, ж” С А ; т а к и е , чтов этомлю бы х5$ Mi ,/(*() < m + | <е > О,граней- | < fix"),Miо т к у д а следует, ч то в ы п о л н яется условие (23). •З а м е ч а н и е 4. М ожно д о к а зат ь , ч то если для лю бого е > 0 су щ ес тв у ет та к о е разбиен и е Т = Т (е ), что S ~ — s ~ < е, то н ай д ется число S > От ак о е, что для лю бого разб и ен и я Т , м ел к о сть к оторого 1{Т) < 8, вы п олняе тс я н ер авен ство S t — S t < £ (см ., н апри м ер, [1 , т. 1 ]).
П оэтом у к р и т ер и йи н т егр и р у ем о ст и м ож но с ф о р м у л и р о в ать та к : для то го чтобы о гр ан и ч ен н ая ф у н к ц и я / бы ла и н т егр и р у е м а по Р и м а н у на о т р е зк е [а,Ъ], необходимои достаточ н о , чтобы для лю бого е > 0 су щ ествовал о т а к о е р азбиен и е То т р е зк а [а,Ъ], чтоS t — S t V £•6. Классы интегрируемых функций.Т е о р е м а 3. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.О Пусть функция / непрерывна на отрезке [а,Ь].
Тогда по теоремеКантора она равномерно непрерывна на этом отрезке, т. е.Ve > О 3<5 = <L>0: Уж', ж" € [а, Ь]: | ж' —ж"| < 5 ^-Ч/(*')-/(*")1<^-(24)Докажем, что для функции / выполняется условие (13). ПустьТ = {ж, , i = 0, те} — произвольное разбиение отрезка [а, Ь] такое, чтоего мелкость 1 { Т ) = max Дж* < 5 , где Дж, = ж, —ж,_1 .
По теореме1 г<СпВейерштрасса существуют точки СОО” € Д , = [ж,_1 ,ж,] такие, что/(СО = Шг, /(С' о = м г; где тоj = inf f i x ) , Mi = sup f i x ) , i = l,n.xe& iх € д .Поэтому из условия (24) следует, что= М* —то, = /(£ ") —/(СО << ----- , так как |£" —Ci I / Д x i / ЦТ) < 6. Отсюда получаемППсOi A Xi < ---- > А х г = - 1- - - - - - (Ь — а) = г.b —а 'b —аЕг= 1г= 1Итак,Уе > 0п35 =6е> 0:VT:1 {Т )<6->S T-s TДж* < е,=1=1§34■ О пределение и условия сущ ест вования определенного инт егралаи по теореме3252 функция / интегрируема на отрезке [а,Ь].
•Уп р а жн е н и е 1. Доказать теорему 3, используя понятие модуля непрерывности функции.П р и м е р 2. Доказать, пользуясь определением интеграла и теоремой 3, что:ьь,,a) J d x = Ъ—а;б) J x d x = —ааА Функции /(ж) = 1 и /(ж) = х непрерывны на отрезке и в силутеоремы 3 интегрируемы. Пусть Т = {xi, i = 0 ,те} — произвольноеразбиение отрезка [а,Ь].ППа) Если /(ж) = 1, то <тт(£) =1 • Аж* = ^ ( ж , —ж*_i) = х п — xq =i= i*=iь= Ъ— а, откудаlim <тт(£) = b —а, и поэтому1(Т )^0б) Пусть (, = Х%+ х%~1; тогда £,пи, следовательно,GД* = [ж*_1 ,ж*] для i = 1,п,\0 т(С) = ^ 6 ' Дх* = 2г= 1п~ X "i-1) = ^= \dx = Ъ—а.)аП— x*_i) =г= 1" ° 2) ’ 0ТКУДа Д Д Д Д Д 'й =~ ° 2)-г=1Так как функция /(ж) = ж интегрируема на отрезке [а,Ь], то изопределения интеграла следует, что предел интегральной суммы независит от выбора точек £* на отрезках Д*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
