Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 58
Текст из файла (страница 58)
ПоэтомуьJ x d x = - (b2 —а2).▲аТ е о р е м а 4. Если функция определена на отрезке и монотонна,то она интегрируема на этом отрезке.О Пусть, например, функция / является возрастающей на отрезке[■а,Ь]; тогда для всех ж G [а, Ь] выполняется условиеД а ) ^ / Д ) SC f(b),и поэтому функция / ограничена на отрезке [а,Ь].Рассмотрим произвольное разбиение Т = {ж,, i = 0, те} отрезка [а,Ь]. Тогда /(ж*_ 1 ) = то,, /(ж,) = А/,, где то, = inf /(ж), М* =ЖЕAf= sup /(ж), Д* = [ж*_1 ,ж*]. Следовательно, получаем S t — «т =жеД;пп= 5^(М *-ш *)А ж * = Е ( / ( ж г) - / ( ж г- 1 ))Джг, откуда ST - sT ^г=1г=1Гл. VII. Определенный интеграл326п^ КТ )г—1" / ( ж*-1 )) = 4 T )(f(b) - /(« )), так как/(ж ,) —f ( x i - 1 ) ^ 0,Axi ^ max Дж* = 1(Т).1 $Сг<СпОтсюда имеем, что S t ^ St ^ 0 при 1(Г) —^ 0.
По теореме 2 функция / интегрируема на отрезке [а,Ь]. •§ 35. Свойства определенного интегралаЗаметим сначала, что если функция / интегрируема на отрезке [а, Ь], то интеграл от этой функции является числом, не зависящимот того, какой буквой обозначен аргумент подынтегральной функции,т. е.666J f ( x ) d x = j f ( t ) d t = J f(z)dz.aaabИногда бывает удобно вместо записи J f ( x ) dx использовать записьJ f ( x ) dx, где Д = [а, Ь].“дПерейдем к рассмотрению свойств определенного интеграла. Всеотмеченные ниже свойства доказываются в предположении, чтоподынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому онаинтегрируется.1. Свойства, связанные с операциями над функциями.С в о й с т в о 1.
Если функции f u g интегрируемы на отрезке [а,Ь],то для любых чисел а и (3 (а (=R, (3 G R) функция (р(х) = a f ( x ) + (3g(x)также интегрируема на отрезке [а, Ь] и справедливо равенство666J ( a f ( x ) + (3g(x)) dx = a J f ( x) dx + (3j g{x) dx.aaa(1 )О Пусть <тт(£; У5)) 0 t(C; / ) ,g) — интегральные суммы для функций ip, f и g соответственно при заданном разбиении Т отрезка [а, Ь]и фиксированной выборке £. Тогда имеет место равенствоот(£; Г>) = а а тЦ; / ) + f3aT (f;g).Если мелкость разбиения Т стремится к нулю (1(Т) —>■0), то праваячасть этого равенства в силу интегрируемости функций / и g наотрезке [а, Ь] имеет предел, а поэтому существует предел и в левойчасти и при этом справедливо равенство ( 1 ).
•С в о й с т в о 2. Если функции f u g интегрируемы на отрезке [а,Ъ],то функция р(х) = f (x)g(x) также интегрируема на этом отрезке.§35. Свойст ва определенного инт еграла327О Из интегрируемости функций / и g следует, что эти функции ограничены на отрезке [а,Ь], и поэтомуЗ С > 0: Уж € [а, Ь] —^ |/(ж)| ^ С,|<?(ж)| ^ С.(2 )Следовательно, функция tp ограничена на отрезке [а,Ь].Пусть ж', ж" — произвольные точки отрезка [а,Ь]; тогда из равенстваф ' ) - ф " ) = (/(ж") - f(x' ))g(x") + f(x' )(g(x") ~ </(*'))и условий (2 ) следует неравенствоМ ж') - ф " ) \ «С С ( | / ( ж " )+ \д(х") - д(х')\).- / ( ж ') |(3)Если Т = {ж,, i = 0, те} — разбиение отрезка [a,b], Д j = [ж,_1 ,ж,],ж' € Aj, ж" € А*, сс,(/) и сс,(<?) — колебания на отрезке Д* функций f u g соответственно (см. § 34, замечание 2), то согласно формуле (21), § 34uj i ( f ) =sup|/(ж") - /(ж ')|,uji(g) =х ':supх ':\д(х") - д(х')\.iПоэтому из неравенства (3) следует, что\ф " ) - ф’)\ ^+uji(g)),откуда получаем неравенствосOi(ip) ^ C(aJi(f) + Ui(g)),i = Tfn.(4)Умножая i-e неравенство (4) на A Xj и складывая все получившиесянеравенства, находимпппУУг(<Р)Дж* ^ С ( $ > ( / ) Д ж г + У Ь’гЫДж*).(5)i=1i= 1i=1Так как правая часть (5) стремится к нулю, если мелкость разбиения Т стремится к нулю (§ 34, замечание 2), то и левая часть (5)стремится к нулю, откуда следует интегрируемость функции tp наотрезке [а,Ь].
•Упражнениео т р е зк е [а, Ь] и1. Д о к азать, ч то если ф у н к ц и я /(ж ) и н т е гр и р у ем а на3 (7 > 0 : Уж € [ а , Ь] ->• |/( ж ) | >С,то ф у н к ц и я —— и н т егр и р у е м а на о т р е зк е Га, 61./(ж)2. Свойства, связанные с отрезками интегрирования.С в о й с т в о 1.
Если функция /(ж) интегрируема на отрезке Д == [а,Ь], то она интегрируема на любом отрезке Ai С Д.О Пусть Ai = [ai,bi], тогда а ^ а\ < Ь\ ^ Ь, так как Ai С Д. Нужно доказать, что для любого разбиения Т) отрезка Ai выполняетсяГл. VII. Определенный интеграл328условие S tx — Sti = J^w *(2i)A £j —^ 0 при l(Ti)0, где l(Ti) — мелкость разбиения Ti, Wj(Ti) — колебание функции / на г-м отрезкеразбиения Т\.Рассмотрим такое разбиение Т отрезка [а,Ь], которое имеет наотрезке Ai те же точки разбиения, что и Ti, и, кроме того, мелкостьразбиения Т удовлетворяет условию l(T) sC /(Ti).Заметим, что^ \с ,А .г , ^>с(А.г(.(6 )тгттак как все слагаемые в левой и правой частях (6 ) неотрицательны,а правая сумма соответствует разбиению Т отрезка [а, Ь] и содержитвсе слагаемые левой суммы, составленной для разбиения Т\ отрезка [a-i, bi].Пусть l(Ti) 0; тогда l(T)0 и по теореме 2, § 34 правая часть (6 )стремится к нулю.
Но тогда и левая часть (6 ) для любого разбиения Ti такого, что Z(Ti) —^ 0, стремится к нулю. Используя достаточное условие теоремы 2, § 34, получаем: функция f ( x ) интегрируемана отрезке A i. •С в о й с т в о 2. Если функция f ( x ) интегрируема на отрезке [а, Ь]и а < с < Ь, то справедливо равенствоЬсЬJf(x )d x = J f(x)d x + Jf(x)dx.аа(7)сО Существование интегралов в правой части доказано в свойстве 1.Для доказательства формулы (7) воспользуемся равенствомо т ( / ; С) = О т(/; О + О т(/; О,где а 1 и сг" — интегральные суммы функции / наотрезках [а, с] и[с, Ъ]разбиения Т, причем с является точкой этого разбиения.Если l(T)0, то в силу существования интегралов существуютпределы интегральных сумм а, а 1, а" и справедливо равенство (7).
•З а м е ч а н и е 1. С праведли во у тв е р ж д е н и е , обратн о е у т в ер ж д ен и ю , док азан н о м у в св о й ств е 2 : если а < с < Ь и если ф у н к ц и я f ( x ) и н тегр и р у е м ана о т р е зк а х Га, с] и [с, Ь], то она и н т егр и р у е м а на о т р е зк е [а, Ъ] и сп равед ли вор ав ен ств о (7).Следующее свойство требует расширения понятия интегралаьj f ( x ) dx на случай, когда Ъ = а, а также на случай, когда а > Ъ.аПоложим по определениюаJ f ( x ) d x = 0,а(8 )§35. Свойст ва определенного инт еграла329если функция / определена в точке а.Если функция интегрируема на отрезке [а, Ь], то будем считать поопределению, чтоJ f ( x ) dx = —J f i x ) dx,ba <b.(9)aОпределения (8 ) и (9) естественны.
В самом деле, при а = Ь можносчитать, что длины всех отрезков разбиения равны нулю, и поэтомулюбая интегральная сумма равна нулю.аВ случае Ъ > а можно символу J f ( x ) dx поставить в соответьствие интегральные суммы, которые отличаются лишь знаком отсоответствующих интегральных сумм для интегралаьIdx.С в о й с т в о 3. Если функция / интегрируема на отрезке [а, Ь] иесли Ci, С2 , Сз — любые точки этого отрезка, тосзс 2сзJ f ( x ) d x = J f i x ) dx + J f i x ) dx.C\C\(10)C2О Пусть Ci < C2 < Сз, тогда равенство (10) справедливо в силусвойств 1 и 2 .Докажем формулу (10) для случая, когда Ci < Сз < Сз (другие случаи рассматриваются аналогично). В силу свойства 2С3dx=С1f(x) dx + I fix) dx,C\c3откуда получаем равенство (10), так как согласно определению (9)С3I dx = — fix) dx.С3С2Если Ci = Сз, то формула (10) справедлива в силу определений (8 )и (9).
•3. Оценки интегралов.У т в е р ж д е н и е 1. Если /(ж) ^ 0 для всех х € [а, Ь] и если функция f {x) интегрируема на отрезке [а,Ъ], тоьJf{x)dx^0.( 11)Гл. VII. Определенный интеграл330О Так как для любого разбиения Т отрезка [а, Ь] и при любой выборке £ = {£*, i = 1 , те} выполняется неравенствоП/ ) = Y 1 /(& )Аж* > °.i= 1то, переходя в этом неравенстве к пределу при l(T)0, получаемнеравенство ( 1 1 ). •С л е д с т в и е .
Если функции /(ж) и g(x) интегрируемы на отрезке[а, Ь] и если для всех х G [а, Ь] выполняется неравенство /(ж) ^ д(х), тоььJ /(ж) dx ^ J д(х) dx.ааУ п р а ж н е н и е 2. П у сть ф у н к ц и я f ( x ) и н те гр и р у ем а на о т р е зк е [а,Ъ]и п у сть с у щ е с т в у ю т чи сла т , М т а к и е , что V* е [а, Ь] в ы п о л н яется неравен ств о т SC f ( x ) V М . Д о к азать, чтоьгп(Ъ - а) ^ j f ( x ) d x ^ M ( b - а).аУ т в е р ж д е н и е 2. Если функция /(ж) интегрируема на отрезке [а,Ь\,/(ж) 0 для любого х € [а, Ь],( 12 )существует точка Xq G [а, Ь] такая, что f ( x о) > 0 , причем функция/(ж) непрерывна в точке Xq, тоdx > 0.(13)О Пусть Хо — внутренняя точка отрезка [а,Ь], т.
е. Xq G (а,Ь). Тогдав силу свойства сохранения знака для непрерывной функцииЗД > 0 : Уж € Us(x0) С [а,Ь] -> /(ж) >(14)Обозначим Ai = [а,хо —5], А 0 = [жо — 6,хо + $], А 2 = [жо + 6,Ь]. Таккак J /(ж) dx ^ 0 для г = 1 , 2 в силу условия ( 12 ), аj/(ж) dx >jdx = / ( ж0) S>0,ДотоьJ /(ж) dx = J /(ж) dx + J /(ж) dx + J /(ж) dx ^ / ( жо) 6 > 0 .aAiД0ДгАналогично рассматриваются случаи Xq = а и Xq = Ь. •§35. Свойст ва определенного инт егралаЗ а м е ч а н и е 2.
Условие н еп р ер ы вн о сти ф у н к ц и и /f ( x о) > 0, я в л я е т с я су щ еств ен н ы м . П ример:331в т о ч к е хо, где1f ( x ) =0,0<х^1,J f ( x ) d x = 0.о/(0) = 1,У т в е р ж д е н и е 3. Если функция /(ж) интегрируема на отрезке[а, Ь], то функция |/(ж)| также интегрируема на этом отрезке и справедливо неравенствоJ f( x )d x ^ j\f(x)\dx.ООбозначим д(х)= |/(ж)|(15)и заметим, чтоУж', ж" G [а, Ь] ->■ | р ( ж " ) - р ( ж ' ) | «С |/(ж") - /(ж ')|.(16)Пусть Т = {ж,,i = 0, те} — произвольное разбиение отрезка [а,Ь],LOi(f) иWi(g) — колебания функций / и д на отрезке Д* = [ж,_1 ,ж,].Из неравенства (16) следует, чтоsupх ':|<?(ж") - <?(ж')| <Сisup|/(ж ")-/(ж ')|,х ': х П Е А iт.
е. Wi(g) ^ cOi(f), i = 1 ,п, откуда получаем неравенствоППЛ Ui(g)Axi ^ ^ u>i(f)Axi.(17)i=i*=iВ силу интегрируемости функции / правая часть (17) стремится кнулю при l(T) —1 0, поэтому левая часть (17) также стремится к нулю, откуда следует интегрируемость функции д(ж) = | / ( ж ) | на отрезке [а,Ь].Докажем неравенство (15). Так какППIY^ Y 1 1/ ( & ) 1А ж *>I1= 11= 1кт(С;/)1 ^1/1),то, переходя в этом неравенстве к пределу, получаем неравенство (15).
•З а м е ч а н и е 3. Если ф у н к ц и я / и н те гр и р у е м а на о т р е зк е с конц ам и аи Ь (а < Ь или а > Ь), то сп равед ли во н ер авен ствоъъj f ( x ) dx SC J\ f ( x) \ dxаа(18)З а м е ч а н и е 4. Из и н т е гр и р у е м о с ти ф у н к ц и и |/( ж ) | на о т р е зк е [ а ,Ъ] несл еду ет и н т егр и р у ем о ст ь ф у н к ц и и /( ж ) на это м о тр езк е. П ример:/(*)1,-1,хG Q.€ J.Гл. V II.
О пределенный инт еграл332Уп р а жн е н и е 3. Пусть функция f(x) интегрируема па отрезке [а,Ъ]и существует число М > 0 такое, что \f(x)\ < М. Доказать, что для любыха,(3€ [а,Ъ] справедливо неравенство0(19)/ / ( * ) dx ^ М \ Р - а \ .4. Интегральная теорема о среднем.Т е о р е м а . Пусть функции f u g удовлетворяют следующим условиям:1 ) f ( x ) и д(х) интегрируемы на отрезке [а,Ь];2)З т , М : Ух £ [а, Ь] -¥ т ф f ( x) ^ М;(20)3) функция д не меняет знака на отрезке [а, Ь], т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
