Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 53
Текст из файла (страница 53)
VI. Неопределенный интегралУпра жне ние . Показать, что число а € R является корнем кратности к многочлена с действительными коэффициентами Qn(x) тогда и толькотогда, когдаQn ’(a) = 0 ПРИ Р = 0,1,..., к —1 и Q ^ \a) / 0.б)Многочлен с действительными коэффициентами. Рассмотриммногочлен второй степени (квадратный трехчлен) с действительными коэффициентамиQ(x) = х 2 + рх + q.Предположим, что его дискриминант отрицателен, т. е.D = р2 - 4q < 0.ТогдаQ ( s ) = ( s + ! ) + < ? ^ = ( ж + !)ИЛИ________Q{x) = ( ж + ! ^ ^ ) ( ж + ! + * ^ ) ,откуда следует, что корнями многочлена Q(x) являются комплексносопряженные числар , . /р2р.р2~ 2 ~ 1 \ J q ~ ”| • -'у2 ^'V'•>и других корнейэтот многочлен не имеет. Это утверждение остаетсяв силе и длямногочлена любой степени п (те ^ 2 ) с действительнымикоэффициентами, т.
е. справедлива следующая теорема.Т е о р е м а 2. Если число Xq = 7 + iS — невещественный корень(5 ф 0 ) многочлена Q„(x) с действительными коэффициентами, точисло х = 7 —iS также является корнем этого многочлена.О По условию Q„(x 0) = 0, т. е.СпХо + Cn_iXo _1 + ... + С1 Ж0 + с0 = 0 ,откуда следует, что Qn(x 0) = 0, илиспхЦ + с„_ 1 Жо- 1 + ...
+ С1 Ж0 + с0 =0.(6 )В силу свойств сопряженных чисел равенство (6 ) можно записать ввидесп х ц + сп - l ^ o - 1 + ••• + С1 Ж0 + Со = 0 ,ИЛИсп(х 0)" + c „ _ i(io )"_1 + ••• + С1 Ж0 + Со = 0,(7)так как ср = ср (по условию все коэффициенты многочлена Q„(x) —действительные числа), к = 0, п. Равенство (7) можно записать так:Qn(x 0) — 0 .Это означает, что Xq — корень многочлена Qn(x). •§ 3 2 . Разлож ение рациональной ф ункции на простые дроби297Теоремы 1 и 2 доказаны в предположении, что многочлен Q„(x)имеет корень. Ответ на вопрос о существовании корня многочленадает сформулированная ниже теорема 3.в) Основная теорема алгебры.Т е о р е м а 3.
Всякий многочлен степени ri ф 1 с действительными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере одинкорень.Эта теорема, доказательство которой обычно приводится в курсетеории функций комплексного переменного (см., например, [6]), называется основной теоремой алгебры.Пусть Xi — корень многочлена Qn(x), степень которого равна п.Тогда по теореме 1 этот многочлен представляется в видеQ„(x) = (х - x 1)Qn- 1(x),где Qn- i(x) — многочлен степени п —1 .Применяя к многочлену Qn- i(x) теоремы 1 и 3, находим Q„(x) == (х —хг)(х - x 2)Qn- 2 (ж).С помощью индукции получим следующий результат:Qn(x) = сп(х - x i)(x - х2)...(х - х п).(8 )Здесь сп — коэффициент при х п многочлена Qn(x); Xi,...,xn —его корни, среди этих корней могут быть равные.г) Разложение многочлена с действительными коэффициентамина множители. Если х = а — действительный корень кратности кмногочлена степени п с действительными коэффициентами Qn(x), товыполняется равенство (4), где Q*n_k(x) — многочлен степени п —/>•с действительными коэффициентами, для которого число х = а неявляется его корнем.Пусть Хо = 7 + гб — невещественный корень (5 ф 0) многочленаQn(x); тогда число Xq = 7 —iS также является корнем этого многочлена (теорема 2 ), и поэтому правая часть (8 ) содержит множители(х —Жо) и (ж —Жо), произведение которых равно(ж —жо)(ж —жо) = (ж —7 —i6)(x —7 + iS) = (ж —7 )2+ б2 = х 2 + рх + q,где р = ^ 27 , q = 7 2 + б2, р2 —4q = ^ 4 б2 < 0.
Таким образом, многочлен Q„(ж) в этом случае делится без остатка на квадратный трехчлен ж2 + рх + q, коэффициенты которого являются действительными числами, а дискриминант трехчлена отрицателен, т. е. р2 —4q < 0.Это означает, что существует такой многочлен Qn- 2(х) с действительными коэффициентами, чтоQn(x) = (ж2 + рх + q)Qn- 2(х).Если число Жо = 7 + г б , где 5 ф 0, является корнем многочленаQn(ж) кратности s, то число Жо также будет корнем этого многочленаГл. VI. Неопределенный интеграл298кратности s, и поэтому многочлен Q„(x) можно представить в видеQn(x) = (х - x 0)s(x - XoYQn- 2 s(x),илиQn(x) = (х2 + p x + q)sQn- 2a(x),(9)где p, q— действительные числа, p2 —4q < 0 , a Q n - 2 s ( x ) — многочлен степени n —2s с действительными коэффициентами, для которого числа Xq и Xq не являются его корнями, т. е.Qn-2s(Xo) Ф 0,Qn- 2s ( * o ) # 0 .( 10 )Пусть а\,( 1 2 , ...,ак — все действительные корни многочлена Qn(х),а их кратности соответственно равны ai,ct 2 , ...,ак.
Тогда равенство (8 ) можно записать в видеQn(x) = ( х - а О ^ . ^ х - а О ^ Щ х ) ,кгде R(x) — многочлен степени t = те —а т с действительнымит=1коэффициентами, не имеющий действительных корней.Если R(x) — многочлен ненулевой степени, то каждой паре комплексно сопряженных корней Xj и Xj кратности (3j многочлена Q„(x)соответствует множитель (х2 + PjX + qj)f3j в формуле (8 ), гдер2 —4(ц < 0. ПоэтомуQn(x) = сп(х - a i) ai ...(х - ак)ак{х2 + p i x + qQ'31 ...(х2 + psx + qsf ‘ ,<П >где У ) п„, - 2 J 2 x = n m=1j=1Таким образом, зная все действительные и невещественные корнимногочлена с действительными коэффициентами Qn(x), можно этотмногочлен разложить на множители, т. е.
представить в виде ( 1 1 ),где числа сп, оц,...,ак, Pi, ■■■,ps, Qi,--,Qs являются действительными.2. Теорема о разложении правильной рациональной дроби.Рассмотрим рациональную функцию (рациональную дробь), т. е.функцию вида f( x ) = ту4-у, где Рт(х) и Q„(x) — многочлены степеQn\x)ней т и п соответственно. В случае когда то < те, эту дробь называютправильной. Будем предполагать, что коэффициенты многочленов Рти Qn являются действительными числами.Л е м м а 1.
Если— правильная рациональная дробь и х =Qn(x)= a — действительный корень многочлена Qn(x) кратности k1,§ 3 2 . Разлож ение рациональной ф ункции на простые дроби299то существуют действительное число А и многочлен Р(х) с действительными коэффициентами такие, чтоРт(х) _АQn(x)(x-a)kР(х){х - a)k- lQ* А х ) '(12)где Q*n_k{x) — частное от деления Qn(x) на (х —а)к.Второе слагаемое в правой части равенства (12) — правильнаядробь, число А и многочлен Р(х) определяются однозначно.О Найдем такое число А, чтобы многочлен<р(х) = Рт(х) - AQ*_k(x)(13)делился без остатка на х —а. В формулах (12) и (13) Q*n_k — частноеот деления Qn(x) на (х —а)к, т. е.
многочлен, определяемый равенством (4) и условием (5).Согласно теореме 1 многочлен (р(х) будет делиться без остатка наi - а в том и только том случае, когда (р(а) = 0 , т. е.Рт,(а) ~ AQn-k(a) = О,откуда в силу условия (5) находимA = - ^ fQn-k(a)(14)Таким образом, число А является действительным и определяетсяоднозначно формулой (14).Так как многочлен (р(х), где число А определяется формулой (14),делится без остатка на х — а, то существует единственный многочленс действительными коэффициентами Р(х) такой, чтоip(x) = (х - а)Р(х).(15)Из равенств (13) и (15) следует, чтоРт(х) - AQ*n_k(x) = (х - а)Р(х).(16)Разделив обе части равенства (16) на Qn(x) =(х — a)kQ*n_k{x), получим соотношение ( 12 ).Пусть г — степень многочлена (р(х); тогда г <С т а х( т ,п — к),где то < те, п — к ^ п — 1 < те, и поэтому г < п.
Следовательно,,Р(х)f(x)„ тдробь ---------,---------= I , , является правильной. •(X - a)k-iQ*n_k(x)Qn(x)FС л е д с т в и е . Применив эту лемму к раз, получим равенствоРт(х) _АкQn(x)(х - а)кА к_ jAi(х - а ) ^ 1х —аР (х )<3* _*.(*)’П 71Гл. VI. Неопределенный интеграл300где числа А к, ..., А к являются действительными, Р*(х) — многочленс действительными коэффициентами, дробьР*(х)является праQn-k^x>вильной, а число х = а не является корнем многочлена Q*n_k {x).JI е м м а 2.
ЕслиQn(x)— правильная дробь, а число Xq =7++ iS — невещественный корень многочлена Qn(x) кратности s, тосуществуют действительные числа В и D, а также многочлен Р(х)с действительными коэффициентами такие, чтоРт(х) _Qn{x)Вх + Р_________ Р ( х ) _(х2 +px + q)sцдч(х2 + рх + q)s- 1Qn- 2s(x)1причем второе слагаемое в правой части равенства(18)— правильная дробь, числа В, D и коэффициенты многочлена Р(х) определяются однозначно, а многочлен Q n - 2 s { x ) — частное от деления Q„(x)на (х2 + рх + q)s, где х 2 + рх + q = (х —X q ) ( x —Хо).О Найдем такие числа В и D, чтобы многочленф(х) = Рт(х) - (В х + D)Qn- 2s ( x)(19)делился без остатка на х2 + рх + q.
Это будет выполняться в силутеорем 1 и 2 тогда и только тогда, когда число X q будет корнем многочлена 'ф(х), т. е. в случае, когда 'ф(хо) = 0 илиРт(хо) - ( В х 0 + D ) Q n-2s(xo) = 0 .( 20 )Из равенства (20) в силу условия (10) получаемВхо + D =L.Qn- 2s(xo)(2 1 )Пусть с и d — соответственно действительная и мнимая частидроби, стоящей в правой части равенства (21). Тогда это равенствопримет видD + В( 7 + i8) = с + id,откуда, предполагая, что В и D — действительные числа, получаемВ'у + D = с,6В = d.,Так как 5 ф 0, то из системы уравнений (22) однозначно определяются действительные числа В и D такие, для которых выполняетсяусловие ф(хо) = 0, и поэтому при значениях В и D, удовлетворяющихсистеме (22 ) или условию (2 1 ), многочлен 'ф(х) делится без остаткана х 2 + рх + q.§ 3 2 . Разлож ение рациональной ф ункции на простые дроби301Следовательно, существует единственный многочлен с действительными коэффициентами Р(х) такой, чтоф(х) = (ж2 + рх + q)P(x).(23)Из равенств (19) и (23) следует, чтоРт(х) - (В х + D)Qn^ 2„(ж) = (ж2 + рх + q)P(x).(24)Разделив обе части равенства (24) на Qn(ж) = (ж2 + рх + q)sQn- 2 s(x),получим соотношение (18), в котором дробь-Р(ж)_x2+px + q)s 1Qn- 2s(x)■ф(х)„ „является правильной.
В самом деле, если г — степень многоQn(x)члена 'ф(х), т о г ^ ш и г ^ п —2 s + l , откуда следует, что г ^ п —1 . •С л е д с т в и е . Применив эту лемму s раз, получимРт,(х) _ Bsx + DsBs- ix + Ds-iBix + DiP*(x)Qn(x)(x2+ px + q)s(x2+ px + q)s 1x2+ px + q Qn- 2s{x) ’_" (25)где Bj, Dj (j = l,s ) — действительные числа, P*(x) — многочлен сдействительными коэффициентами, дробь Р*(x)/Qn- 2s(x) являетсяправильной, причем многочлен Qn- 2 s(x) не делится нацело на ж2 ++ рх + q.Т е о р е м а 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
