Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 50
Текст из файла (страница 50)
•Согласно формуле (5) знаки дифференциала и интеграла взаимноуничтожаются, если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла.С в о й с т в о 2.J dF( ж) = F(x) + С.(6 )О Равенство (6 ) следует из равенств (3) и (4). •Соотношение (6 ) показывает, что и в случае, когда знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, эти знаки также взаимноуничтожается (если отбросить постоянную С).С в о й с т в о 3.
Если функции /(ж) и д(ж) имеют на некоторомпромежутке первообразные, то для любых a € R, (3 € R таких, чтоа 2 + (З2 ф 0 , функция (р(ж) = a f ( ж) + /Зд(ж) также имеет первообразную на этом промежутке, причемj (a f ( x ) + (Зд{ж)) dx = a J /(ж) dx + (i j g ( x ) dx.(7)О Пусть F и G — первообразные для функций / и д соответственно, тогда Ф = п /•' + (3G — первообразная для функции ip, так как(aF(x) + (3G(x))' = a f ( x ) + (dg{x). Согласно определению интегралалевая часть (7) состоит из функций вида Ф(ж) + С, а правая часть —из функций вида a F ( ж) + аС\ + f3G(ж) + [ЗС-2 = Ф(ж) + аС\ + /ЗС2 Так кака 2 + (З2 ф 0, то каждая функция вида Ф(ж) + С принадлежитсовокупности функций Ф(ж) + aCi + [ЗС2 , и наоборот, т.
е. по заданному числу С можно найти С\ и Сз, а по заданным С\ и С2 — число С такое, чтобы выполнялось равенство С = aCi + (ЗС2 . •Таким образом, интегрирование обладает свойством линейности:интеграл от линейной комбинации функций равен соответствующейлинейной комбинации интегралов от рассматриваемых функций.П р и м е р 2. Найти J f ( x ) dx, если:а) /(ж) = ех + ж2;б) /(ж)^2 sin ж — | ^ 2.А а) Используя таблицу производных (§ 15) и свойство 3 интеграла,Гл.
VI. Неопределенный интеграл278получаемj ( e x + х2) dx = ех + j - + С.б) Так как (—cosx)' = sin r, (arctgж)' = ,1 „, то1 I х—2 sin х +3\г ) dx = 2 cos х + 3 arctg а: + С.1 + х 2/▲Дальнейшее расширение множества функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции, можно получить, если воспользоваться правилом дифференцирования сложной функциии правилом дифференцирования произведения двух функций.4.Метод замены переменного (метод подстановки). Пустьфункция t = ip(x) определена и дифференцируема на промежутке Аи пусть Ai = <р(А) — множество значений функции <р на А.Если функция U(t) определена и дифференцируема на A i, причем(8 )U'(t) = u(t),то на промежутке А определена и дифференцируема сложная функция F(x) = U(ip(x)) иF'(x) = [[% (*))]' = и ' ( ф ) ) ^ ( х ) = и ( ф ) ) у ' ( х ) .(9)Из равенств (8 ) и (9) следует, что если U(t) — первообразная дляфункции u(t), то U((p(x)) — первообразная для функции и((р(х)) (р1(х).Это означает, что еслиu ( t ) d t = U ( t ) + C,( 10 )тои((р(х)) г>'(х) dx = U(tp(x)) + С,(11)или( 12 )Ju(ip(x)) dip(x) = U(ip(x)) + С.Формулу (12) (или формулу (11)) называют формулой интегрирования заменой переменного.
Она получается из формулы (10), есливместо t подставить дифференцируемую функцию ip(x).Замечание4. Ф орм ула(12)дает во зм о ж н о стьн ай тии н тегралdx, если ф у н к ц и я f ( x ) п р ед с та в л я е т ся в виде f ( x ) = u(tf(x))tf'(x)и если и зв е с т н а п ер во о б р азн ая ф у н к ц и и u{t), т. е. и зв е с те н и н тегр ал ( 10 ).Отметим важные частные случаи формулы (12).а) Пусть F(x) — первообразная функции f(x), т. е.j f ( x ) dx = F(x) + С.§ 3 0 .
О пределение и свойст ва неопределенного инт еграла279ТогдаJ f ( a x + b) dx = ~F(ax + b) + С,Здесь (р(х) = ах + Ъ, f ( a xб) Используя равенство0.аф(13)+ b ) d x = - f ( a x + b) d(ax + b).f f = l n \ t \ + C,получаем/== ln 1 ^ 1в) Так как/ta dt = ^j.Ck+1^ + С,е с л и ^(х) Ф 0-+а ф —I,( 14)t > 0,J(ip(x))aip'(x) dx = J((p(x))adtp(x) =Ь С,(15)где Lp(x) > 0, а ф —1 .Приведем примеры применения формул (13)-(15).П р и м е р З .
j ( 2х + З )6 d x = -l j ( 2х + 3 f d ( 2 x + 3) =ПA fdxПример4/ у т ^In \х + а\ + С,Jк = 1,-к+1= {+ С,к / 1.Пример5 . [ -EL^L = I f d(x + а ) = I i n |ж2 + а | + (j_Пример6 . J ctg х dx = JJ х1 + аfxdxJфх2+ aГ dxJ x 2 + a2J+ С,аф0.'J2Jх1 + а2= 1° Isin x \ + C.lf d ( x 2 + a )J 2ф х 2 + a1 Г d(x/a)a .J 1 + ( x / a fdxfфа2 —x2-1f( 1 ( 1J1 2 a \ x — afdxx 2 ^ a2+ С.d(x/a)yi -(x/ayx■a + C.= - arctg - + С,aaX= arcsin — |- C,aаф0.a > 0.1 ^ dx = 2a ln * —ax +aП р и м е р 11. J = fdxа ф 0.J фх2 + а.А Пусть x + фх2 + a = t = t(x); тогдаt(x)dt = t'(x) dx = ( l H— X ) dx =Vфх2л/х2 + аФа'фх2 + aГл. VI.
Неопределенный интеграл280откудаdxл/х2 + (_ dt(x)t(x)Поэтому= In |£(ж)| + C = ln |ж + л/ж2 + a\ + С,J = JIdx= ln |ж + л/ x 2 + a\ + С.Ал/х2 + (З а м е ч а н и е 5. При вычислении этого интеграла использована подстановка Эйлера х + л/х2 + а = t.З а м е ч а н и е 6. Интегралы, рассмотренные в примерах 8-11, частоприменяю тся.
Эти интегралы обычно считаю тся табличными.Приведем таблицу интегралов, полученную из соответствующейтаблицы производных. Сюда включены интегралы, найденные в примерах 8- 1 1 .1) f х а dx = —— - + С, а ф —1.Jа+12 ) [ _*L_ = in \х + а\+ С.J х+а3) f ах dx = — Ь С, а > 0, а ф 1;Jта4) J s inxdx = —cos ж + С.[ e x dx = ex + C.J5) J cos жdx = sin ж + С.6 ) Jf ^COS2^ = t g x + C.X7>J .8 ) J sh ж dx = ch ж + С.9) J ch жdx = sh ж + С.= ^ c tg x + С.dxdx= Й ж + C.= —cth x + C.ch2*s" > / ■ h 2*dx12) ,f., = - arctg - + C, a > 0 .JJ J-'x2 + a2 aa13) / dx = arcsin — |- С , a > 0 .a- —xadx1 .С, а ф 0.14—* 2 —a T2 = Д-ш2a*+ a,/10,/I», f - ^ =; J л/Ф2^= ln \x + л/х2 + a\ + C,П р и м е р 12. J = j —аф0.24/ _ 4dxJ л / *■(1— *)А Так какж(1 —ж) = ^(ж 2х) = 4X§ 3 0 .
О пределение и свойст ва неопределенного инт егралато, используя пример 9 приа = -,281получаем12+ С,т. е. J = агсвт(2ж —1) + С. кИто, используя пример1 1 , получаемd Iх — —1J =Т______________~= In ж — 2а/ * 2 ^ Зж + 5 + С.▲Иногда бывает целесообразно при вычислении интегралаJ = j /(ж) с?ж(16)перейти к новой переменной.Пусть ж = (p(t) — строго монотонная и дифференцируемая функция.
Тогда она имеет обратную функциюt = ш( ж).(17)Преобразуя подынтегральное выражение в интеграле (16) с помощью подстановки ж = ip(t), получаем /(ж) dx = f(ip(t))ip'(t) dt. Обозначим u(t) =тогда/(ж) dx = u(t) dt.(18)Пусть U(t) — первообразная для функции u(t), тогда(19)Из равенств (16)-(19) находимJ = J f ( x ) dx = j u ( t ) dt = U(t) + С = U(uj(x j) + C.(20)Формулу (20) называют формулой интегрирования подстановкой.Согласно этой формуле для вычисления интеграла (16) достаточно подобрать такую обратимую дифференцируемую функцию ж = ip(t), спомощью которой подынтегральное выражение /(ж) dx представляется в виде u(t) dt, причем первообразная для функции u(t) известна.Гл.
VI. Неопределенный интеграл282П р и м е р 14. Вычислить интегралJ = j V а2 —х2 dx,а > 0.А Подынтегральная функция определена на отрезке [—а, а]. Положимх = ip(t) = a sin t; тогда t = ш(х) = arcsin —, \/а 2 —х 2 = Vа2 cos2 t == a cost, так как t € ^^], а > 0. Следовательно,J = jacostacostdt =j(1 + cos 2 t)dt =+ sil^ ^ + С.Так как. , хsm t =то,1. x 2л/а2 —х2cos t = \ 1 ---- = ---------{ 11 . „.хл/а2 - x2- sm 2t = sm t cos t =2a2Поэтомуоn ,a2. x , x-Jd2 —x2 , „a1 — x 2 dx = — arcsin — Ih6.а.▲5.М етод и н тегр и р о в ан и я по ч астя м . Пусть функции и(х)и v(x) имеют непрерывные производные на промежутке А. Тогдафункция uv также имеет непрерывную производную на А и согласно правилу дифференцирования произведения выполняется равенствоuv' = (uvУ vu'.Интегрируя это равенство и учитывая, что—J (uv ) 1dx = uv + С,получаемJ u v ' dx = uv + С — J vu' dx.Относя произвольную постоянную С к интегралу J vu' dx, находимJ u v ' dx = uv — J vu' dx,(21 )илиudv = u v — vdu.( 22 )Формула (21) (или (22)) называется формулой интегрирования почастям.
Она сводит вычисление интеграла J u d v к вычислению интеграла J v du.§ 3 0 . О пределение и свойст ва неопределенного инт еграла283П р и м е р 15.J x cos х dx =х d(sin x) = x sin x — J sin x dx = x sin x — cos x + C.jП р и м е р 16. Вычислить интегралJ = J v x 2 + a dx.А Полагая и = \ / x 2 + a, v = x, по формуле (21) находимJ = хл/х л / xx22 + a —— JI - xdx,л/х2 + aгдеС,x~,f x* + a —a ,тdx = I —dx = J — aС..dx_.
Отсюда получаемуравнение относительно J:dxJ = х л / x 2 + a —J + a j л/х2 + aИспользуя результат примера 11, находимх 2 + a dx = ^ л/ х 2 + а + ^ In \х + л]х2 + а\ + С.▲П р и м е р 17. ПустьJn = I (х2+ а2)» ’тееЛ/ ’а ^°-Выведем рекуррентную формулу для вычисления интеграла Jn.А Пусть и = (х2 + а2) ^ п, v = х. Тогда и' = —2пх(х2 + a2)- ”- 1 , v' = 1и по формуле (2 1 ) получаемXJn = (х2 + а2)п +9СX”2 n J (х2+а2)п+1 d x >гдеfJх~9, _(х2 + а 2)"+1/99\9/Ч аг+ а-)-а - , _У(*2 + а2)»+!“2Тт”“”+1’Следовательно,X= (ж2 + а2)77,^П'^п9^Н-ЬоткудаJ ” +1 = 2па2(х2 + а2)п + ~1M d f Jn' к^Гл. VI.
Н еопределенны й инт еграл284_„rтЗ а м е ч а н и е 7. 1ак к а к J\ =гdx1хаа„—----- - = - a r c t g — Ь О , то и з ф орм у-,1 х 1+а1лы (23) находимr=гdxх1,х„у-у- угу = 2- а ,,- ( х 9- +,а ~ ) + д-уarctg -а +С.2а3J (х~ + а - ) -З а м е ч а н и е 8. П овторное п рим енен ие ф орм улы (21) п озво л яет получ и т ь обобщенную формулу интегрирования по ч а стямJ u v (n+1) d x == u v {n) - u ' v {n- v>+ u ”v {n--> + ...
+ ( - l ) " « (n)v + ( - 1 )n+1J u {n+1)v d x(24)в п редполож ении, ч то су щ е с т в у ю т н еп р ер ы вн ы е п рои зво дн ы е u l,n+1\ Ф п+1*на р ассм атр и ваем о м п р о м еж у тк е. При п = 1 ф о рм ула (24) п р и н и м ае т видj u v " d x = u v — u v + j и v dx.(25)П р и м е р 18. Вычислить интегралJ = j x 2ex dx.А Полагая и = x 2, v = ex и учитывая, что «' = 2.г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
