Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Частные производные и диф ференциалы вы сш их порядков257ных перестановок индексов i\, *2 , •••, im, определены в окрестноститочки х° и непрерывны в точке х°, то все эти производные равны вточке х°. Если вспомнить, что транспозицией называется такая перестановка, которая переставляет два соседних элемента, а все остальные оставляет на своих местах, то легко понять, что две производныето-го порядка, полученные при помощи транспозиции индексов, будутравны по теореме 1 о смешанной производной. В курсе алгебры доказывается, что все перестановки можно упорядочить таким образом,что каждая последующая перестановка получается из предыдущейпри помощи транспозиции.
Упорядочивая таким же образом и всепроизводные то-го порядка, получающиеся перестановкой индексов,заключаем, что все они равны.3. Д иф ф еренциалы вы сш их порядков. Пусть функция и(х)имеет в области G С Rn непрерывные частные производные первогои второго порядков. Тогда дифференциалПг=1есть функция 2 п переменных, а именно х±,...,хп и d x \ , d x n.Если фиксировать переменные dxi , ..., dxn, то дифференциал du(x)будет функцией х, имеющей в области G непрерывные частные производные. В силу теоремы 3 из § 26 du(x) как функция х имеет вкаждой точке х £ G дифференциал d(du). Если приращения независимых переменных обозначить через Sxi, ...,6хп, тоd(du(x)) = ^"k= lя—— (du(x)) Sxp =kппk= l i= lя2 ( \kdxiSxp.(4)*Выражение d(du(x)) есть билинейная форма относительно приращений dxi,Sxi, ...,dxn,Sxn.
Полагая в этой билинейной форме dxi == Sxi, ..., dxn = Sxn, получаем квадратичную форму, которая называется вторым дифференциалом функции и(х) в точке х и обозначается через сРи(х). Таким образом,(5)Аналогично, предполагая, что все частные производные третьего порядка непрерывны, можно вычислить первый дифференциал отсРи(х), после чего положить Sx, = dx, и полученную однородную форму третьего порядка назвать третьим дифференциалом функции и(х).Третий дифференциал обозначается через d3u(x).
Таким образом,Гл. V. Ф ункции м ногих перем енны х258По индукции определяется дифференциал т-го порядка в предположении, что все частные производные то-го порядка непрерывны в точке х. Если дифференциал йта_1 «(ж) вычислен как однородная формапорядка то —1 относительно dxi, ...,dxn с коэффициентами, являющимися функциями х, то, вычисляя первый дифференциал от dm^ 1u(x)и полагая затем Sx, = dx, при i = 1,п, получим, что dmu(x) есть однородная форма порядка то, т. е.ппdmu(x) =amt\...— dx^.-.dxi .' дх1г...дх1т^=1 im=1Покажем, что дифференциал второго порядка уже не обладаетсвойством инвариантности относительно замены переменных. Пустьf(x ) = f ( x i , .
. . , x n), Xi = tpi(u), и € Rm, функции f (x ) и ipi(u) имеютвсе непрерывные частные производные до второго порядка включительно и сложная функция f(ipi(u),...,ipn(u)) определена в некоторойокрестности точки и. Тогда в силу инвариантности формы первогодифференциала получаем равенствоПd f ( x (u j) =Ц - ( x)dxi(u).г= 1*Пользуясь правилом нахождения дифференциала произведения исуммы, получаемd2f(x(u)) = У - d ( j^ - ( x (u) ) dxj(u))i=1*ff+VOX a O X .iJOX;dxsdxi*=1 J= 1 ‘ J*=1Формула (6 ) отличается от формулы (5) наличием суммы(6 )df(x)Е :dxi -d"Xi8=1которая обращается в нуль, если х \, ..
., х п — независимые переменныв.З а м е ч а н и е . Если зам ен а п ер ем ен н ы х л и н ей н ая, то d2Xi = 0, i = 1 ,п.Т а к и м образом , в торой ди ф ф ерен ц иал d~f(x) и н вар и ан тен о тн оси тел ьн олинейной зам ен ы п ерем ен ны х. То ж е сам ое сп р авед ли во и для ди ф ф ер ен циалов всех порядков.Если функция и(х,у) имеет непрерывные частные производныедо второго порядка включительно, то, воспользовавшись теоремой оравенстве смешанных производных, получаемd2 „ ()=ox1dx* ++ doxoydx dy + ^Hi dy dx +oyoxy^ dy2 = uxx dx2 + 2uxy dx dy + uyy dy2.(7)§28.
Н еявны е ф ункцииЗамечание.259Если в в ес т и ф орм ально д и ф ф ер ен ц и ал ьн ы й операторПг)i =1то в ы р аж ен и я для ди ф ф ерен ц иалов м ож но зап и са ть в удобной си м во л и ч еской форме:d2и(х) = (d2)u(x) = f 'S^dxi' i =1] и(х),Xi'dmu(x) = (dm)u(x) =J и(ж).Под п р о и зведен и ем д и ф ф ер ен ц и ал ьн ы х оп ераторов п он и м ается их последовательное прим енение.
Н априм ер, если Di = d/dxi , то<аа)« = a № « ) = | r ( ^ )= 4 f e '=<9)При п ер ем н ож ен ии д и ф ф ер ен ц и ал ьн ы х оп ераторов вида (8) нуж но пользов а т ь с я правилом (9). При это м ди ф ф ерен ц иалы н езави си м ы х п ерем ен ны хdx 1 , ...,dxn п ер ем н о ж аю тся к а к вещ ествен н ы е числа.§ 28. Неявные функции1. Неявные функции, определяемые одним уравнением.Пусть функция F( x,y) определена в R2. Рассмотрим уравнениеF(x,y) = 0 .(1 )Множество G f точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), было в § 9 названо графиком уравнения. ЧерезАр будем обозначать проекцию графика G f на ось х.
Будем рассматривать такие уравнения ( 1 ), графики которых не есть пустые множества.4 1Так, график уравнения х 2 + у2 — 1 = 0х=1есть окружность (рис. 9.12), график уравнения (х — 1 ) (х + у — 1 ) = 0 есть пара прямыхх = 1 и х + у — 1 = 0 (рис. 28.1).Если график G f уравнения (1) взаимнооднозначно проектируется на Ар, то сущесто1вует единственная функция / : Ар —>■/?, граК хфик которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому х Е Ар ставит вРис. 28.1соответствие тот единственный у , для которого F( x,y) = 0.
Говорят, что уравнение (1) определяет у как неявную функцию X.Но, как правило, график уравнения (1) не проектируется взаимнооднозначно на Ар. Тогда на Ар в общем случае определено бесконечное множество функций, графики которых совпадают с некоторымГл. V. Ф ункции м ногих перем енны х260подмножеством графика G f уравнения (1).
Так, разбивая отрезок[—1 , 1 ] точками хо = —1 < xi < ... < х п = 1 и полагая на каждом изотрезков [xi-i,Xi] функцию /(ж) равной у/1 — х 2 или —у/1 — ж2, получим, что график / есть некоторое подмножество графика уравнениях 2 + у 2 — 1 = 0 , так что х 2 + ( / ( ж ) ) 2 — 1 = 0 .Пусть график уравнения G f не проектируется взаимно однозначно нано существует такой прямоугольникК = {(ж,у): а ^х^ Ь, с ^ у ^ d},что та часть графика G f , которая лежит внутри К , взаимно однозначно проектируется на отрезок [а, Ь]. Тогда определена функция/ : [а, Ь] —>• /?, которая каждому х Е [а, Ь] ставит в соответствие единственный у Е [с, d] такой, что ( х , у ) Е Gf- Очевидно, что F ( x , f ( x ) ) = 0.Говорят, что функция /(ж) неявно определяется уравнением (1) в прямоугольнике К или что уравнение (1) определяет в прямоугольнике К переменную у как неявную функцию переменной ж.Например, уравнение ж2 + у2 — 1 = 0 неявно определяет функциюу = у/ Г —ж2 в прямоугольнике —1 ^ ж ^ 1 , 0 ^ у ^ 1 и функциюу = —у/1 — ж2 в прямоугольнике —1 ^ ж ^ 1 , —1 ^ у ^ 0 .Меняя местами переменные ж и у, можно говорить о том, что уравнение ( 1 ) определяет в некотором прямоугольнике переменную ж какнеявную функцию переменной у.Уп р а жн е н и е 1.
Показать, что ни в одном прямоугольнике с центром и точке (1 , 0)уравнение х2 + у 2 — 1 = 0 не определяет у какнеявную функцию х. Найти прямоугольник сцентром в точке (1 , 0), в котором уравнениех + у —1 = 0 определяет х как неявную функцию у.Уп р а жн е н и е 2. Показать, что не существует прямоугольника с центром в точке (1 , 0), вкотором уравнение (ж —1 )(ж + у — 1 ) = 0 определяет у как неявную функцию х или х какнеявную функцию у (рис. 28.2).\Докажем теорему, дающую достаточные условия существования,непрерывности и дифференцируемости неявной функции, определяемой уравнением ( 1 ) в некотором прямоугольнике.Т е о р е м а 1.
Пустыа) функция F (x,y) имеет в окрестности точки (жо, 2/о) непрерывные частные производные Fx (x,y) и Fy (x,y);б) F ( x 0,yo) = 0;в) Т^(жо, уо) ф 0 .Тогда существует прямоугольникК = {(ж,у): хо - а ^ ж ^ ж0 + а, у0 - Ъ ^ у ^ у0 + Ь},§28. Н еявны е ф ункции261в котором уравнение F(x,y) = 0 определяет у как неявную функцию х. Функция у = f( x) непрерывно дифференцируема на интервале(жо — а,хо + а) и//(VI _ Fx(x,f(x)), Л}{Х)Fy(x,f(x)Y[)О Разобьем доказательство на два пункта.1)Доказательство существования неявной функции. Из условия в)следует, что либо Fy(xo,yo) > 0, либо Fy(xo,yo) < 0.
Без ограниченияобщности можно считать, чтоFy(xo,yo) > 0 .(3)Если Fy(xo,yo) < 0, товместо уравнения F(x,y) = 0можно было бырассмотретьэквивалентное уравнение F(x,y) = —F(x,y) = 0.ТогдаFy(x0,yo) = - F y(x0,yo) > 0 .Так как функция Fy(x,y) в точке (жо,2/о) непрерывна и в силуусловия (3) принимает в этой точке положительное значение, то найдется такой прямоугольник (рис. 28.3)К 1 = {(х,у): | ж - ж о | ^ а ь \ у ~ У о \ ^ Ь } ,в котором функция Fy(x,y) > 0.Рассмотрим функцию одной переменнойф(у) = F ( x 0,y),Уо ~ Ъ ^ у ^ уо + Ъ.Функция ф(у) строго возрастает на отрезке [уо — Ь, уо + Ь\, так какФ'(у) = Fy{xo,y) > 0 .Кроме того, в силу условия б)Ф(Уо) = F (%o,yo) = 0.Гл. V.
Ф ункции м ногих перем енны х262ПоэтомуФ(Уо - b ) = F ( x о, у0 ~Ь) < 0,ф(у0 + b) = F ( x 0, у0 + Ь) > 0.(4)Неравенства (4) в силу непрерывности функции F( x,y ) должны сохраняться в некоторых окрестностях точек (жо, Уо ~ Ь) и(жо, уо + Ь). Поэтому существует такое a G (0,ai), что для всех х G€ [жо —а, Хо + а] выполнены неравенстваF(x, уоЬ) < 0,F(x, уо + Ь) > 0.(5)Покажем, что в прямоугольникеК = { ( х , у ) : |ж —ж0| ^ а, \у -Уо\ф Ь}уравнение F( x,y) = 0 определяет у как неявную функцию х.Возьмем любую точку х* G [жо —а, Хо + а] и рассмотрим непрерывную на отрезке [уо — Ь, уо + Ь] функцию одной переменной (р(у) == F(x*,y).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
