Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

Например, шар Se(x°) является окрестностью (шаровой)точки х°.Точка х° называется предельной точкой множества М С X , еслив любой окрестности точки х° есть точки множества М , отличныеот точки х°. Предельная точка множества М может принадлежатьмножеству М , а может и не принадлежать. Например, все точки ин­тервала (а, Ъ) будут его предельными точками. Концы интервала а иЪ— тоже его предельные точки, но концы не принадлежат интервалу.Точка множества М , не являющаяся предельной точкой множест­ва М , называется изолированной точкой множества М .

Если х° естьизолированная точка множества М , то существует такая окрестность0 (х°), в которой нет точек множества М , отличных от точки х°.Каждая точка множества М является или предельной точкой мно­жества М , или изолированной точкой множества М.Множество М С X называется замкнутым, если оно содержит всесвои предельные точки. Например, отрезок [а, Ь] замкнут в Я, а ин­тервал (а, Ъ) не является замкнутым множеством в R.Множество, которое получается, если присоединить к множест­ву М все его предельные точки, называется замыканием М и обозна­чается М.У п р а ж н е н и е 5. Д о к азать, ч то М — за м к н у т о е м н ож ество.У п р а ж н е н и е 6.

Д о к азать, ч то м н о ж еств о в м е тр и ч е ск о м п р о с т р а н с т ­ве за м к н у т о т о гд а и то л ько то гд а, к о гд а оно со д ер ж и т пределы всех схо дя­щ и хся п о следовательн остей своих то чек .§ 2 3 . П ространство R n229Т е о р е м а 3. Для того чтобы множество F в метрическом прост­ранстве X было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его до­полнение X \ F было открытым.О Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть множество F С X содержит все своипредельные точки. Докажем, что его дополнение G = X \ F есть от­крытое множество. Если это не так, то существует точка a € G, неявляющаяся внутренней точкой множества G.

Тогда в любой окрест­ности 0(a) точки а есть точки, не принадлежащие G, т. е. принад­лежащие множеству F. Поэтому а есть предельная точка множест­ва F. Так как F замкнуто, то a € F. С другой стороны, a € G = X \ Fи, следовательно, а F . Полученное противоречие доказывает, чтовсе точки G = X \ F внутренние, т.

е. G — открытое множество.Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть теперь X \ F = G — открытое мно­жество. Покажем, что F замкнуто. Пусть а — предельная точка F.Предположим, что а F . Тогда a € G, а так как G — открытое мно­жество, то найдется окрестность 0(a) С G. Но тогда 0(a) f ) F = 0 ,следовательно, а не может быть предельной точкой множества F.Поэтому множество F содержит все свои предельные точки, т.

е. Fзамкнуто. •Т е о р е м а 4. Замкнутые множества обладают следующимисвойствами:1 ) все пространство X и пустое множество 0 замкнуты-,2 ) пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто-,3) объединение конечного числа замкнутых множеств есть замк­нутое множество.О Свойство 1) очевидно, так как X и 0 являются друг для другадополнениями и открыты.Докажем 2). Пусть F = f | Fa , где Fa — замкнутые множества.а€ЛВ силу закона двойственности (легко проверяемого)X \ F = (J ( X \ F a).а€ЛОднако в силу теоремы 3 множества X \ Fa открыты как дополнениязамкнутых множеств. Их объединение X \ F есть открытое множест­во.

В силу той же теоремы 3 множество F замкнуто. Столь же простодоказывается и свойство 3). •6.Компакт в метрическом пространстве. Множество М вметрическом пространстве X называется компактом в X , если излюбой последовательности точек х п € М можно выделить подпосле­довательность, сходящуюся к точке, принадлежащей множеству М.Например, отрезок [а, Ь] есть компакт в Я, а промежуток [а, Ь) не яв­ляется компактом в R.Уп р а жн е н и е 7. Доказать, что неограниченное множество в метри­ческом пространстве не может быть компактом.230Гл.

V. Ф ункции м ногих перем енны хУ п р а ж н е н и е 8 . Д о к азать, что к о м п ак т в м ет р и ч е с к о м п р о ст р ан ст в ее с ть за м к н у т о е м н ож ество.На пространство Я” обобщается теорема Больцано-Вейерштрасса.Т е о р е м а 5. Из любой ограниченной последовательности точекпространства Rn можно выделить сходящуюся подпоследователь­ность точек.О Ограничимся случаем пространства ЯУ В общем случае доказа­тельство аналогично.

Пусть ж ^ = (х[к\ х ^ ) — произвольная огра­ниченная последовательность точек пространства Я2. Числоваяпоследовательность {ж ^} ограничена. В силу теоремы БольцаноВейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследователь­ность {ж^г"*')}. Тогда у последовательности точек х^кт^ последова­тельность первых координат сходится, а последовательность вторыхкоординат ограничена.

Применим еще раз теорему Больцано-Вейерштрасса и выделим из ограниченной числовой последовательности{жз*"1'*} сходящуюся подпоследовательность {х ^"'1'1}. У последова­тельности точек {ж^т ^} сходится и последовательность первых ко­ординат, и последовательность вторых координат. В силу леммы 3подпоследовательность точек {ж^т ^} сходится в Я2. •С л е д с т в и е . Для того чтобы множество М С Я” было компак­том, необходимо и достаточно, чтобы множество М было ограни­ченным и замкнутым.О Необходимость следует из результатов упр. 7 и 8 .

Докажем доста­точность. Пусть множество М ограничено и замкнуто в пространст­ве Я” . Возьмем произвольную последовательность точек {ж ^} £ М.Так как эта последовательность ограничена, то из нее можно выде­лить подпоследовательность {ж^"*')}, сходящуюся к точке а. В силузамкнутости множества М точка а £ М (см.

упр. 6 ). •Справедлива следующая лемма, доказательство которой не приво­дится; для случая Я” см., например, [2].Л е м м а (Гейне-Бореля). Для того чтобы множество М в мет­рическом пространстве X было компактом, необходимо и достаточ­но, чтобы из любого его открытого покрытия можно было выделитьконечное подпокрытие.Поясним понятие покрытия, участвующего в формулировке лем­мы Гейне-Бореля. Система множеств {Ga, а £ Л} называется покры­тием множества G, если G С (J Ga. Покрытие называется конеча€Лным, если множество Л конечно, и открытым, если все множестваGa открыты.

Подмножество покрытия называется подпокрытием, ес­ли это подмножество само образует покрытие.7.Граница м н ож ества. Точка а метрического пространства Xназывается граничной точкой множества М С X , если в любой§ 2 3 . П ространство R n231окрестности точки а есть как точки, принадлежащие множеству М ,так и точки, не принадлежащие множеству М.Граничная точка а множества М может не принадлежать мно­жеству М.Совокупность всех граничных точек множества М называетсяграницей множества М и обозначается дМ . Например,д(а,Ъ) = {а,Ь}, д[а,Ь] = {а,Ь}; а,Ь € R;д{х: р(х,а) < е, х € /?” } = {х: р(х,а) = е, х € /?” }.8.П рям ы е, л учи и о тр езк и в Rn .

До сих пор рассматривалисьтолько такие объекты в Rn, при исследовании которых используютсялишь свойства расстояния. Такая метрическая геометрия не оченьсодержательна. В ней есть точки, шары, но нет прямых, векторов,плоскостей и т. д.В этой главе ограничимся тем, что введем в Rn такие не связанныес метрикой объекты, как прямые, лучи и отрезки.Прямой в Rn, проходящей через точки а = (ai,...,an) и Ъ == (bi,...,bn), будем называть следующее множество точек:{х: ж € Rn, х i = аИ + Ь,(1 —t), t e R, i = 1, n}.Лучом с вершиной в точке а в направлении I = (h ,...,ln), гдеIf + ... += 1 , назовем множество{ж: ж е Rn, жi = а, + tk, 0 ^ t < +оо, i = 1, гг}.Отрезком, соединяющим точки а и Ь, назовем множество{ж: ж е Rn, Xi = щ + bi(l —t), 0 ^ t ^ 1, i = 1, n}.Множество в Rn будем называть выпуклым, если вместе с любы­ми двумя своими точками оно содержит отрезок, который эти точкисоединяет.У п р а ж н е н и е 9.

Д о к азать, что ш ар вRnе с ть в ы п у кл ое м н ож ество.Кривая в R3 была определена в § 22. Это определение без сущест­венных изменений переносится на Rn. Кривая в Rn задается парамет­рическими уравнениямижi = ifii(t), a ^ t ^ (i, i = 1 ,п,где (pi(t) — непрерывные функции на отрезке [а, (3\.Множество М С Rn называется связным, если любые две его точ­ки можно соединить кривой Г, лежащей в множестве М . Открытоеи связное множество в Rn называют областью. Замыкание областиназывают замкнутой областью.Кривая в Rn, являющаяся объединением конечного числа отрез­ков, называется ломаной в Rn.У п р а ж н е н и е 10.

Д о к азать, что о т к р ы т о е м н о ж еств о G С R '1 будето бластью в то м и то л ько то м сл у чае, к о гд а лю бы е две его т о ч к и м ож носоед и н и ть ломаной L С G.Гл. V. Ф ункции м ногих перем енны х232§ 24. Предел функции многих переменных1.Предел функции в точке. Напомним, что окрестностью0 (х°) точки х° в метрическом пространстве X называется любоемножество, для которого точка х° является внутренней.

Проколотаяокрестность 0 (х°) получается из 0 (х°) удалением самой точки х°,т. е. 0 (х°) = О(ж0)\{ж0}.Будем рассматривать функции / : МR, где М есть некотороемножество, принадлежащее метрическому пространству X . Если X == Rn, то функция / : М —¥ R называется функцией многих переменныхи обозначается обычно следующим образом:/(ж) = /(ж 1 ,...,х п),ж е М.Например, функция \ J \ —х\ —х\ определена в единичном кругепространства R 2 с центром в точке (0,0), а функция 1п(ж| + ж|) опре­делена в любой проколотой окрестности точки (0 , 0 ).О п р е д е л е н и е 1. Пусть функция /(ж) определена в проколотойокрестности 0(х°) точки ж0 метрического пространства X .

Говорят,что число А есть предел функции /(ж) при ж — ж0, если Ve > 0 35 >> 0 такое, что для Уж е 0 (х°), удовлетворяющего условию р(ж, ж0) < 6 ,выполнено неравенство |/(ж) —А\ < е.О п р е д е л е н и е 2. Говорят, что функция /(ж), определенная в0 (х°), имеет при ж —^ ж0 предел А, если для любой последователь­ности х ^ € 0 (х°) такой, что lim х ^ = х°, выполнено равенствок-А'ООlim / ( х (к)) = А.к-А-ооЭквивалентность двух определений предела доказывается так же,как и для функций одной переменной (§ 9).Если число А есть предел функции /(ж) при ж —>■ж0, то будемписатьА = lim /(ж).X — 'г Х °Если функция двух переменных /(ж ,у) определена в 0((а,Ь)), ачисло А есть ее предел при (ж,у)(а,Ь), то пишутА=limx-Aa,y-Ab/(ж, у)и называют иногда число А двойным пределом.Аналогично, для функции п переменных наряду с обозначениемА = lim /(ж) будем использовать обозначениеА =lim/ ( Xl,...,x n).х^х^,...,х„^хЧЛ е м м а 1.

Характеристики

Список файлов книги