Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 39
Текст из файла (страница 39)
АР и с. 22.10Р и с. 22.11Если плоская кривая задана уравнением у = /(ж), то уравнения (45) записываются в виде, = /м + Ш $ !2 .,46)П р и м е р 4. Найти эволюту параболы у = аж2.Д Используя формулы (46), где /(ж) = аж2, получаем£ = ж—1s2аж 2аж = —4 а 2ж3 ,’у = аж2 + 1 + 4а ж _ 172а2аз аж 2 ^Исключая ж, получаемСледовательно эволютой параболы является полу кубическая парабола (рис. 22.11). А10.Сопровождающий трехгранник кривой. Пусть Г —дважды дифференцируемая кривая без особых точек, удовлетворяющая условию (29). Тогда выполняются равенства (28) и (31),где т — единичный вектор касательной, v — единичный вектор нормали к кривой Г в данной ее точке.Рассмотрим векторр=[т,и].( 47 )217§22.
КривыеТогда /3 — единичный вектор, ортогональный векторам г и г / :т = [и,Р\,и = [Р,т].(48)Прямую, проходящую через точку кривой параллельно вектору /3,называют бинормалью. Тетраэдр с вершиной в точке кривой, ребракоторого имеют длину, равную единице, и параллельны векторам т,г/, /3, называют сопровождающим трехгранником Френе (рис. 22.12).У т в е р ж д е н и е 7. Если Г — трижды непрерывно дифференцируемая кривая, удовлетворяющая условию (29), то справедливы формулыФренеdr7Т77ds(49)as = ~кт + xft,d/3= —XV.ds(50)О Первая из формул Френе получена в п.
6 (формула (31)). Докажемформулу (50). Дифференцируя равенство (47) с учетом формулы (31)и равенства [v,v] = 0 , получаемФds'drU s ' 1*.+dv~_т ’ d s .—dv~T ’ d s.Гл. IV . Производная и ее приложения218Так как v — единичный вектор, то он ортогонален вектору — .asКроме того, вектор v ортогонален вектору т. Поэтому вектор |V,параллелен вектору v и справедливо равенство (50). Коэффициент кв формуле (50) называют кручением кривой в данной ее точке.Пользуясь формулами (31), (47), (48) и (50), получаемж - [ * - т 1 + [А Я“ - х [ " ' Т] * m"1 = - k T + * ат. е. справедлива формула (49). •Докажем, наконец, следующее: если кривая, заданная натуральным уравнением, трижды дифференцируема, а ее кривизна k = k(s)отлична от нуля, то кручение кривой я = л(,в) выражается формулой'd r(Г гd3r \,ds ’ d s 2 ’ ds3 )ОЛ“p -------- •Используя формулы (31) и (49), находим'( Г = k{s)u,= k'{s)u + к{.з)ф- = k'(s)is - k 2 (s)r + k( 8)x(s) 0 .ds2dsJdsВычислим смешанное произведение векторов, указанных в формуле (51), пользуясь тем, что (t , v , v ) = (t , v , t ) = 0 и (t , is,/3) = 1.Тогда из равенства§ ’ ‘! ы - ё )= (Т)к ' {8)" ~ к 2 { з ) т + == к 2 ( з ) ф ) ( т , 1л,/3) = к 2 ( з ) ф )следует формула (51).
•З а м е ч а н и е 5. Из ф орм улы (50) следует, чтоd/3^= 1. П о вторяя р ассу ж д ен и я, с в язан н ы е с в ы ясн ен и ем ф и зи ч еско го см ы слак р и в и зн ы кр и в о й (п. 7), о тсю д а п о лучи м , чтоЫ = lim1 1л5-ю—As,’(52)К’где Д а — угол п оворота бинорм али к кр и во й Г при и зм ен ен и и ее п а р ам етр аот s до s + As.
В ы раж ени е в правой ч а с ти (52), к а к и в п. 7, н азовем скоростью вращения вектора бинормали. Э та ск о р о сть равна с к о р о сти вращ ени ясоп ри касаю щ ей ся п лоскости к р и в о й , т а к к а к в ек то р /3 п ер п ен ди к ул яр енэтой п лоскости.Т а к и м образом , модуль к р у ч е н и я кр и в о й равен ск о р о сти вр ащ ен и я соп ри касаю щ ей ся п лоскости.П р и м е р 5.
Вычислим кривизну к и кручение я винтовой линии(пример 1 ).Д В примере 1 получено натуральное уравнение винтовой линииг = r(s) = (a cos As, а sin As, bXs),Упраж нения к главе I V1гдеЛ=219f a 2 + У1'Поэтомут = ^ = (—aAsinAs, aAcosAs, ЪХ),as= (—aA2 cos As, —aA2 sinAs, 0),dsоткуда по формуле (30) находимdrak== aX\ 2 =dsaX+b2Используя формулу (31), отсюда получаемv = (—cos As, —sin As,0).Для нахождения x воспользуемся формулой (50), а вектор (3 найдем по формуле (47). Имеем/3 = (bAsinAs, —bXcosXs, aX),откуда^= (6A2 cosAs, 6A2 sinAs, 0) = —ЬА2(—cos As, —sin As, 0),т.
e.d/3,. 2-y- = —6A u,dsотсюда по формуле (50) находимbx = bX2 =a 2 + b2Таким образом, кривизна кривой и кручение для винтовой линиипостоянные. ▲У П РА Ж Н Е Н И Я К ГЛА ВЕ IV1 - х 2 н ед и ф ф ерен ц и ру ем а в точ1 + х21. П о казать, что ф у н к ц и я / ( * ) = a r c s inке х = 0 и f i x ) = —s i g n *2при1 + х2* ф 0.2. Д о к азать ф орм улы для п р о и зво дн ы х о б р атн ы х ги п ер бол и ческ и хф ун к ц и й (§ 1 2 , п.
6)(a rsh * )'=(a rc h + * ) ' =1VI + х1,Ух 2 —1(arth*)' = ^х е R.,* > 1,1 9, |*| < 1 .Гл. IV . Производная и ее приложения2203 . П у сть f ( x ) = \ ] \ — л/ l — х 2. П о казать, что /+ (0 ) = -^=, f' _{0) =4 . П р и в ести п рим ер ф у н к ц и и , непреры вн ой на о т р е зк е [а, Ъ], ди ф ф ерен цируем ой на и н тер в ал е (а, Ъ) и не им ею щ ей правой производн ой в то ч к е а.5 . Д о к азать, чго если ф у н к ц и я f ( x ) ди ф ф ер ен ц и р у ем а при х > а и1■ \lim j <•/<(х)= U, то 1lim f( X) = U.X—^+OOX—^+OO X6 . Д о к азать, что если ф у н к ц и я f ( x ) у д о в л е тво р я ет у сл ови ям тео р ем ыР олля на о т р е зк е [а, Ь] и не я в л я е т с я п остоян ной , то на это м о т р е зк е сущ ествую т точкии £г т а к и е , что / '( £ 1 ) > 0, / '( £ 2) < 0.7. П р и вести п рим ер ф у н к ц и и , ди ф ф ер ен ц и р у ем о й на и н терв ал е (а,Ь ),и м ею щ ей л окальн ы й э к с т р е м у м в т о ч к е хо € (а , Ъ) и та к о й , что ее п роизводн ая в лю бой о к р ест н о с т и т о ч к и хо п р и н и м а е т к ак п олож и тельн ы е, т а ки о т р и ц ател ь н ы е зн ач ен и я.8 .
П о казать, что для ф у н к ц и и f ( x ) = х 2 sin — приххф 0, / ( 0 ) = 0:а) т о ч к а х = 0 не я в л я е т с я ни то чк о й э к с т р е м у м а , ни то чк ой в о зр а стан ия или убы ван и я;б) к а с ат ел ь н ая , п р о вед ен н ая к ее гр а ф и к у в т о ч к е (0, 0), и м ее т бесконечное м н о ж еств о общ их т о ч е к с гр аф и к о м в лю бой о к р ес тн о ст и т о ч ки х = 0.9. П о казать, что ф у н к ц и я f ( x ) = х 2 ^2 + cos —^ при х ф 0, /( 0 ) = 0 и м еетстр о ги й м и н и м у м в т о ч к е х = 0, но не я в л я е т с я убы ваю щ ей в и н тер вал е( —5,0) и не я в л я е т с я во зр астаю щ ей в и н тер вал е (0 ,5 ) при лю бом 8 > 0.10 . П о казать, ч то если ф у н к ц и я f(x) н еп р еры вн а на о т р е зк е [а,Ъ], то оная в л я е т с я вы п уклой вверх на это м о т р е зк е т о гд а и то л ько то гд а, когда длялю бы х т о ч ек x i и хг о т р е зк а [а, Ь] и для лю бы х Ai и Аг т а к и х , ч то Ai ^ 0,Аг > 0, Ai + Аг = 1, в ы п о л н яется н ер авен ство / ( А1 Х1 + АгХг) ^ X i f ( x i ) ++ Аг /(х г ).1 1 .
П у сть ф у н к ц и я / ди ф ф ер ен ц и р у ем а в т о ч к е хо, и м еет вто р у ю прои зво д н у ю в проколотой 5 -о к р естн о сти то ч к и хо, п р и ч ем f " ( x ) м ен яе т зн акс м и н у са на плю с при переходе чер е з т о ч к у хо. Д о к азать, что на и н тер вал ах(хо — 5, хо) и (хо, хо + 5) гр а ф и к ф у н к ц и и у = f ( x ) л еж и т соотв етс тв е н н о н и ж е и вы ш е к асател ьн о й , проведенн ой к э т о м у гр а ф и к у вто ч к е М 0(хо, /(*(>))•1 2 . П о казать, что если ф у н к ц и я д важ ды д и ф ф ер ен ц и р уем а, то м еж д уд в у м я ее т о ч к а м и э к с т р е м у м а л е ж и т х о тя бы одна т о ч к а перегиба.1 3 . П у сть су щ ест в у ет номер п > 2 так о й , что/ (2)(*о) = ...
= / ( п- 1) (жо) = 0 ,/ (п)/ 0 .Д о к азать, что если п — н ечетн ое число, то т о ч к а хо — т о ч к а перегибаф ун к ц и и f ( x ) , а если п — четн о е число, то в о к р е с тн о с т и т о ч к и хо ф у н к ц ия f ( x ) либо в ы п у к л а ввер х , либо в ы п у к л а вниз.1 4 . П у сть ф у н к ц и я f ( x ) ди ф ф ер ен ц и р у ем а на о т р е зк е [а, Ь] иf [ ( a ) f L ( b ) < 0. Д о к азать, что с у щ е с тв у е т т о ч к а хо € (а, Ъ) т а к а я , что/'( х о ) = 0.1 5 . П у сть ф у н к ц и я f ( x ) и м е е т н еп р ер ы вн у ю вто р у ю п ро и звод н ую на Rи с у щ е с т в у ю т ко н еч н ы е пределы lim f ( x ) = A, lim f ( x ) = В . Д ок азать,x —^ + ooчто н а й д е тся т о ч к а хо т а к а я , что f " ( x 0) = 0.х —* — ооУпраж нения к главе I V2211 6 . П усть ф у н к ц и я / ( * ) ди ф ф ер ен ц и р у ем а на о т р е зк е [0,1], /( 0 ) = 0,\f'(x)\х € [0,1].
Д о к азать , что f(x) = 0, х £Е [0,1].f(x) ди ф ф ер ен ц и р у ем а на о т р е зк е [1,2]. Д ок азать,- | / ( * ) | для всех1 7 . П у сть ф у н к ц и ячто с у щ е с т в у е т т о ч к а £ € ( 1 , 2) т а к а я , чтоД 2) - Я 1 ) = | т18 . П усть ф у н к ц и я f(x) н епреры вн а на о т р е зк е [а, Ь] и д и ф ф ерен ц и ру ем а на и н тер вал е (а,Ь ), где а > 0. Д о к азать, ч то с у щ е с тв у е т т о ч к а £ € (а,Ь)т а к а я , чтотт-ыа —о1 9 .
П у сть ф у н к ц и я / ( * ) н еп р ер ы вн а на о т р е зк е [0,1], д и ф ф ер ен ц и р уем ана и н тер в ал е (0 ,1 ) и у д о в л е тво р я е т у сл о ви ям / ( 0 ) = 5, / ( 1 ) = 3, f'(x) ^ —2для всех х € (0 ,1 ). Д о к азать, что / ( * ) — л и н ей н ая на о т р е зк е [0,1] ф у н к ц и я.2 0 . П у сть ф у н к ц и я f(x) у д о в л е тво р я е т на R усл о ви ям f(x) > 0, f'(x) >> 0, Д 2*(х ) > 0, Д 3*(х) > 0. Д о к азать, что су щ е с тв у е т число а > 0 так ое,что при лю бом х > 0 сп р авед ли во н ер авен ство f(x) > ах2.2 1 .
Д о к азать, ч то норм аль к эво л ьв ен те в т о ч к е Р я в л я е т с я касател ьнойк эвол ю те в ц ен тр е к р и в и зн ы , со о т в е тс тв у ю щ е м т о ч к е Р.2 2 . П о казать, что если к р у ч ен и е x(s) = 0 во всех то ч к а * к р и в о й Г,то Г — п лоская к р и в ая .ГЛАВА VФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ§ 23. Пространство Rn1.Метрическое пространство. Будем множество X называтьметрическим пространством, если каждой паре элементов х и у этогомножества поставлено в соответствие неотрицательное число р(х,у),называемое расстоянием между элементами х и у, такое, что длялюбых элементов х, у, z множества X выполнены следующие условия:1°) Р(х,у) = О х = у;2 °) р(х,у) = р (у,х );3°) р(х,у) ^ p(x,z) + p(z,y) (неравенство треугольника).Элементы метрического пространства будем называть точками,функцию р(х,у), определенную на множестве пар точек метрического пространства X , р — метрикой, а условия 1°)-3°) — аксиомамиметрики.Например, определяя расстояние между вещественными числами а и (3 при помощи формулы р(а, (3) = \(3 — а\, получаем метрическое пространство, которое обозначается через R.Рассмотрим множество пар вещественных чисел х = (xi, Х2 ).
Еслих = (xi,X 2 ), а у = (г/ i , г/2 ), то полагаяр(х, у) = ((Ж1 - t/i )2 + (х 2 ~ у2)2)1/2,получаем метрическое пространство, которое обозначается через RAДля проверки аксиом 1°)-3°) воспользуемся тем, что между множеством точек евклидовой плоскости и множеством пар вещественных чисел можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором евклидово расстояние между точками плоскостисовпадает с введенным выше расстоянием между соответствующимиэтим точкам парами вещественных чисел (декартовыми координатами точек).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
