Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. / " ( ж ) > 0 или / " ( ж ) < 0 для любого ж G Us(xo)По теореме 8 функция / ( ж ) либо строго выпукла вниз на интервале Usixo) (если f i x ) > 0 ), либо строго выпукла вверх на интервале Usixo). Но тогда Жо не является точкой перегиба. Следовательно,должно выполняться условие (28).
•Гл. IV . П роизводная и ее прилож ения188в) Достаточные условия наличия точки перегиба.Т е о р е м а 10 (первое достаточное условие). Если функция / непрерывна в точке Хо, имеет в этой точке конечную или бесконечнуюпроизводную и если функция /"(ж) меняет знак при переходе черезточку Хо, то Хо — точка перегиба функции f(x).О Пусть, например, функция /"(ж) меняет знак с минуса на плюспри переходе через точку Хо (в точке Хо вторая производная может ине существовать). Это означает, что существует 6 > 0 такое, что наинтервале Ai = (жо ^ 5 , х о) выполняется неравенство /"(ж) < 0 , а наинтервале Д 2 = (хо,Хо + 5) — неравенство /"(ж) > 0 .Тогда по теореме 8 функция /(ж) выпукла вверх на интервале Aiи выпукла вниз на интервале Д 2 .
Следовательно, точка Хо удовлетворяет всем условиям, указанным в определении точки перегиба. •Например, для функции f ( x ) = arctg ж точка ж = 0 — точка пе2хрегиба, так как /"(ж) = —у------ ^ меняет знак при переходе через(1 + х~)~точку ж = 0 (рис. 12 .6 ).Т е о р е м а 11 (второе достаточное условие). Если / ( 2 Цхо) = 0,/ {3](х0) ф 0 , то Хо — точка перегиба функции /(ж).О Так как / ( 3^(жо) ф 0, то по теореме 4 функция / ( 2^(ж) либо строговозрастает, либо строго убывает в точке Жо- По условию /^ (ж о ) = 0,и поэтому / ( 2^(ж) имеет разные знаки на интервалах ( жо^фжо) и(жо,Жо + $) при некотором 6 > 0 , откуда, используя теорему 10 , заключаем, что Хо — точка перегиба функции /(ж). •Например, для функции /(ж) = sin ж (рис.
14.2) точка ж = 0 —точка перегиба, так как / ^ ( 0 ) = 0 , / ^ ( 0 ) = —1 .6 . А сим птоты .а) Вертикальная асимптота. Если выполнено хотя бы одно изусловийгiimf t\vf t\/(ж)= оо,iim /(ж)= оо,х — —0х—^жоН“0то прямую ж = Хо называют вертикальной асимптотой графикафункции у = /(ж).Например, прямая ж = 0 — вертикальная асимптота графиковфункций у = — (рис. 10.6), у = \g x 2 (рис. 10.7), у = — (рис. 10.8),у = сЙж (рис. 12.17), прямая ж = —1 — вертикальная асимптота гра2 2сс7Гфика функции у = —-j—j- (рис. 9.4), прямые у = — + пк (к € Z) —вертикальные асимптоты графика функции у = tgж.б) Асимптота (невертикальная асимптота). Прямуюу = кх + Ъназывают асимптотой (невертикальной асимптотой) графика функ§ 2 0 .
И сследование ф ункций с помощ ью производных189ции у = /(ж) при ж —1 +оо, еслиlim (/(ж) - (кх + Ъ)) = 0.(29)X —> + (Х>Если к ф 0, то асимптоту называют наклонной, а если к = 0, то асимптоту у = Ъ называют горизонтальной.Аналогично вводится понятие асимптоты при ж -+ —оо.Например, прямая у = 0 — горизонтальнаяасимптота графиковфункций у = — у = — при ж -+ +оо и ж- > —оо, графикафункции у =XX2= ах , а > 1, при ж -+ —оо. Прямая у = 1 — асимптота графиков функций у = е}/'х (рис.
12.12), у = t h x (рис. 12.16) и у = сЬЬж (рис. 12.17)при ж -+ +оо; прямая у = ^ — асимптота графика функции у = arctg жпри ж -+ +оо (рис. 12 .6 ), а прямая у = п — асимптота графика функции агсй^ж при ж -+ —оо (рис. 12.7).П р и м е р 8 . Найти асимптоту при ж -+ +оо и ж -+ —оо графикафункции:ОtjJb-.чJU; б )9 = у т т ? ;D) у — у .+ .т2;г) у — '----- 15^А а) Так как у = —2-1--------, то прямая у = —2 — асимптота графика3 _ 2.гфункции у = ------- (рис. 9.4) при ж -+ +оо и ж - t —оо.х+ 1б)Разделив числитель ж3 на знаменатель (ж + I )2 по правилуделения многочленов (можно воспользоваться равенством ж3 == ((ж + 1 ) —I )3 = (ж + I )3 —3(ж + I )2 + 3(ж + 1 ) —1 ), получим~3(ж + 1) 2Зж + 2= ж -2 + :, YI.(30)( ж + 1 ) 2'Отсюда следует, что асимптотой графика iфункции у = ------(ж + 1)ж -+ +оо и ж - t —оо является прямая у = ж______/1 \ i/3в) Используя равенство у = у ж3 + ж2 = ж( 1 Н— Jформулу Тейлора, получаем у = ж^1 + — + o f —Vж -+оо,Зжи локальную= ж + - + о(1) при\xJJ3откуда следует, что прямая у = ж + -1 — асимптота графика______3функции у = \/х г + ж2 при Ж -+ + 0 0 И Ж - ) —00.г) Применяя формулу Тейлора для экспоненты, получаем—-1 f l — — + o f-')') = ж —- + о( 1 ) при ж -+ж/ VприЗж\ж) )3оо,у= ^ж —откуда следует, чтопрямая у = ж —- — асимптота графика данной функции при ж -+ + о о3и ж - t —оо.
▲Гл. IV . Производная и ее приложения190Т е о р е м а 12. Для того чтобы прямая у = кх + Ъ была асимптотой графика функции у = f(x ) при х -б- +оо, необходимо и достаточно,чтобы существовали конечные пределыlim ^=1Г->+ СЮ X(31)к,lim (f(x) - кх) = Ъ.(32)X —> + (Х>ОН е о б х о д и м о с т ь .Если прямая у = кх + Ъ— асимптота графикафункции у = f ( x ) при х -б- +оо, то выполняется условие (29) илиравносильное ему условиеа(х) —1 0f (x ) = kx + b + a(x),прих—1 +оо.(33)Разделив обе части равенства (33) на х, получимМ .
=Xк. + а (ж)XX ’откуда следует, что существует предел (31).Из равенства (33) получаемf ( x ) — кх = b + а(х),гдеа(х)—1 0 при х —1 +оо,откуда следует, что существует предел (32).Д о с т а т о ч н о с т ь . Если существуют конечные пределы (31) и(32), то f(x ) —(кх + Ь) = а(х), где а(х) —¥ 0 при х —¥ +оо, т. е. выполняется условие (29). Это означает, что прямая у = кх + Ъ— асимптотаграфика функции у = f(x ). •З а м е ч а н и е 6. Для сл у ч а я го р и зо н тал ьн о й а си м п то ты т ео р ем а 12 форм у л и р у ет ся в следую щ ем виде: для того чтобы п р я м а я у = Ь бы ла аси м п тотой гр а ф и к а ф у н к ц и и у = f(x) при х —1 +оо, необходимо и д остаточ но,чтобы lim f(x) = b.х —* + о о7.
П остроение граф иков ф ункций. При построении графикафункции у = f ( x ) можно придерживаться следующего плана.1) Найти область определения функции. Выяснить, является лифункция четной (нечетной), периодической.2) Найти точки пересечения графика с осями координат и промежутки, на которых f(x ) > 0 и f ( x ) < 0 .3) Найти асимптоты графика.4) Сделать эскиз графика.5) Вычислить f'(x ), найти экстремумы и промежутки возрастания (убывания) функции.6 ) Вычислить f" (x ), найти точки перегиба и промежутки выпуклости вверх (вниз) функции.7) Нарисовать график функции.§20.
Исследование функций с помощью производных191X(* + 1 )2 Д Функция определена при ж ф —1, принимает положительные значения при х > 0 и отрицательные при х < 0, у(0) = 0. Прямые х = —1и у = х — 2 (пример 8 , б)) — асимптоты графика этой функции. ИзП р и м е р 9. Построить график функции у =2равенства (30) следует, что при х > —- график лежит выше прямой2у — х — 2 , а при ж < —- — ниже этой прямой.Вычисляем производные:х 2( х + 3)(ж +У"1)3 ’6жог + 1 )4'(34)(35)Согласно формуле (34) функция 2/(ж) имеет две стационарные точкиж = 0 и ж = —3. Точка ж = 0не является точкой экстремума этой функции, так как у' неменяет знак при переходе черезточку ж = 0.
Точка ж = —3 является точкой максимума функции у{х), так как у ' меняетзнак с плюса на минус при переходе через точку ж = —3. На27ходим у { - 3) = - — .Из формулы (35) следует,что у" < 0 при ж < 0 (ж ф —1 )и у" > 0 при ж > 0. Поэтомуфункция у(х) является выпуклой вверх на интервалах(—оо,—1 ) и (—1 , 0) и выпуклой вниз на интервале (0 , +оо).Точка ж = 0, в которой функция у(х) меняет направлениевыпуклости, есть точка перегиба этой функции. График функцииизображен на рис. 20.5. АП р и м е р 10.
Построить график функции у = \ / х 3 + ж2.Д Функция у(х) определена на /?,причем у < 0 при ж < —1, у > Опри ж > —1 (ж ф 0), у(—1) = 2/(0) = 0.Прямая у — ж + ^ — асимптота графика этой функции при ж -+ —оо и ж —у +оо (пример 8 , в)).Вычисляем производные:у ' = \ { ж + 1) 2/ 3ж 1/ 3(Зж + 2),О( 36 )192Гл. IV . Производная и ее прилож енияу" = _ £ ( ж + 1 ) - 5 / З а,- 4 / 3 _(37)Формулы (36) и (37) справедливы при х ф —1 и ж ^ 0.
Из формулы (36)согласно следствию 2 из теоремы Лагранжа (§ 17) находим / ' ( —1) == lim у'(х) = +оо, Д ( 0 ) = +оо, f'_( 0 ) = -оо.X—У—1Так как при переходе через точку х —производная меняет23знак с плюса на минус, то х = —- — точка максимума функции у{х),причем у(^~ ^Аналогично, точка х = 0 — точка минимумафункции и 2/( 0) = 0 .Из формулы (37) следует, что у" > 0 при х < —1 и у" < 0 при х > —1(ж / 0). Поэтому функция у(х) является выпуклой вниз на интервале(—оо,—1) и выпуклой вверх на интервалах (—1,0) и (0,+оо).
Графикфункции изображен на рис. 20.6. АПри построении кривой, заданной параметрически уравнениямих = x (t), у = y(t), обычно разбивают ось t на интервалы, на каждом из которых функции x(t) и y(t)монотонны. Иногда предварительно строят графики функций х == x(t) и у = y(t).П р и м е р 11. Построить криt2 + 1(t + 5)2вую X =У=tД Найдем у'х и ухх, применяя// nj \ /формулы у'х = Ц , Ухх = ( у ± \ 1Xt\x't Jt x't(§ 15, формула (29); § 16, формула (4)).
Получим (при t ф 0, t ф —1,t ф -2 )х' = ^ ~ 1*t2 ’, =УхУх ху 1 = (* + 5)(* ~ 1)Vt(t + 2)2 ’*2(г + 5){t + 1 )(£ + 2)24*3(4t + 5)(i + 1 )3(* + 2)3(i —1 )'(38)*■ '(39)(40)Разобьем ось t точками t = —5, t = —2, t = —- , t = —1, £ = 0, t = 1на семь интервалов. На каждом из этих интервалов функции ж(£),y(t) монотонны, у'х и ухх сохраняют знак. Составим таблицу значений ж, у и знаков //', у" на соответствующих интервалах, используя§ 2 0 . И сследование ф ункций с помощ ью производных193формулы (38), (39), (40).X12600, -(_ ° ° ! —5)26(-5 ,-2 )2412•’20У(—оо,0)+УОТ О ДО —0075+00 до -475 1 «Т ’ 161 « до —25ОТ 16+ОТ— , ^220-2 до —оо( - 1, 0 )У+(0, 1 )от +оо до 225 до 1219от —+(1 ,+оо)(2 , +оо)(12 , +оо)+++Найдем асимптоты.
Так как у —Ь оо и ж —1 —- при 1 -+ —2, то„ Исли„25 , поэтомух = 5 — асимптота кривой.1 —,1 О, пт о ж —1 о о и у —1 —25прямая у = — — горизонтальная асимптота кривой.Пусть t -+ оо, тогда ж -+ оо, у -+ оо. Выясним, имеет ли криваянаклонную асимптоту, пользуясь теоремой 12. Так как limlim (y(t) —ж(1 )) = limt —¥ ООt —¥ ОО(1 + 5)21+2t—^ооГ +11=..iimt —>oo81 + 241 + 2-------;------- ——l ( l + 2)х (t )== 1,08, toпрямая у = ж + 8 — наклонная асимптота.Из таблицы и формул (38) следует, что интервалу (—оо, —2) переменного 1 соответствует часть (ветвь) кривой, которая является графиком функции у = з/i (ж), выпуклой вверх, причем значению 1 = —5соответствует точка максимума Жо = —— этой функции и гу\(жо) = 0 .Интервалу (—2, —1) соответствует ветвь кривой, являющаяся графиком функции у = 2/2 (ж), выпуклой вниз при1 6 ^ - 2 , —- J и вы*/"пуклои вверх при *t € /"I — -5 , —11 ^J;\ точка этого графикаI —41 755соответствующая значению 1 = — есть точка перегиба; при 1 = —1функция ж = ж(1 ) имеет максимум, причем ж( —1 ) = —2 .Интервалу ( —1,0) соответствует график функции у = уз(х), выпуклой вниз, а интервалу (0 , 1 ) — график функции у = 2/4 (ж), выпуклой вверх.Наконец, интервалу (1,+оо) соответствует график функции у == J/5 (ж), выпуклой вниз.Отметим еще, что ж(1) = 2, у( 1) = 12 и, кроме того, правые про-194Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
