Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 35
Текст из файла (страница 35)
IV . Производная и ее прилож енияизводные функций уз(х) и 2/4 (ж) в точке х =2 равны i .Рис. 20.7Используя таблицу и проведенное исследование, строим кривую(рис. 20.7). А§ 21. Вектор-функции1. Предел и непрерывность вектор-функции.а)Понятие вектор-функции. Если каждому значению t G Е, гдеЕ С R, поставлен в соответствие вектор г (t) трехмерного пространства, то говорят, что на множестве Е задана векторная функция г (t)скалярного аргумента t.Пусть в пространстве фиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Тогда задание вектор-функции г (£), t Е Е, означает задание координат ж(£), y(t), z(t) вектора r(t), t G E. Если i, j , k —единичные векторы координатных осей, тоr(t) = x (t)i + y (t)j +t& E ,ИЛИr(t) = (x (t),y (t),z (t)).Если z(t) = 0 при всех t E E, то вектор-функцию r(t) называют§21. В ект ор-ф ункции195двумерной.В случае когда начало каждого из векторов г (t) совпадает с началом координат (рис.
2 1 .1 ), эти векторы называют радиус-векторами,а множество их концов — годографом вектор-функции г (£), t £ Е,который можно рассматривать как траекторию точки M(t) концавектора г (£), если считать, что t —время.б)Предел вектор-функции. Вектора называют пределом вектор-функцииг (t) в точке to и пишут lim г (t) = аt —ytoили г (t) —У а при t —Уto, еслиlim \r(t) —а| = 0 ,(1 )t ytoт.
е. длина вектора г (t) — а стремитсяк нулю при t —УtoУ т в е р ж д е н и е 1. Если заданы г (t) = (x(t),y(t),z(t)) и а == (аь а 2 ,а 3), тоlim r(t) = а(2)t^toтогда и только тогда, когдаx(t) —У а \ ,y(t)—Уa2,z ( t ) —У азприt —yto-(3)О В самом деле, из равенства\r(t) - а| = л / (x(t) - ai)2 + (y(t) - a2)2 + (гД) - a3)2(4)следует, чтоИ О - a i K lr (i) - а|,|у (0 - а2\ ^ |r(i) - а|,\z{t) - a3| ^ \r{t) - а|.Поэтому если г (t) —У а при t —У to, т. е.
выполняется условие (1), товыполняются условия (3).Обратно: если выполняются условия (3), то из равенства (4) следует, что выполнено условие ( 1 ). •При доказательстве свойств предела вектор-функции удобно использовать следующее очевидное утверждение: условие (2 ) выполняется в том и только том случае, когдаг (t) = а + a ( t ) ,где ct(t) — бесконечно малая вектор-функция, т. е.ct(t) —У 0 при t —У to-в) Свойства пределов вектор-функций.С в о й с т в о 1. Если lim r(t) = а, то lim |r(t)| = |а|.t —yt оt —yt оО Это свойство следует из неравенства||г(*)| - |а|| ^ |г (£ ) - а |.•Гл.
IV . Производная и ее приложения196С в о й с т в о 2. Если г (t) —1 а при t —¥ to, а скалярная функция f ( t )такова, что f ( t ) —1 А при t —¥ to, то f(t)r(t) —1 А а при t —¥ to, т. е.hm f ( t ) r ( t ) = И т /( * ) Шпг(*).t —¥tot —¥t оt —¥t о(5)О Из определений пределов скалярной функции и вектор-функцииследует, что г (t) = а + a(t), f ( t ) = А + (3(t), где a(t) — бесконечномалая вектор-функция, (3{t) — бесконечно малая функция при t —1 to•Поэтому f(t)r(t) = Aa + j ( t ) , где 7 (t) = A a(t) + f3(t)a + f3(t)a(t) —бесконечно малая вектор-функция при t —1 to, откуда получаем равенство (5). •С в о й с т в о 3.
Если Ti(t) —1 a i, r 2 (t) —1 a 2 при t —1 to, mo ri ++ Г2 ->■ a i + a 2, (ri,r2) ->■ (a i,a 2), [ ^ ^ 2]->■ [ai,a2] при / —> /0. т . e.lim (n(£) + r 2 (t)) = lim n(£) + lim r 2 (t),(6 )lim (r i (*),r2(*)) = ( lim n ( t) lim r 2 (t)),(7)lim [r! (t), r 2 (t)] = [ lim r ! (t), lim r 2 (t)].(8 )t —¥tot —¥tot —¥t 0t —¥tot —¥tot —¥tot —¥tot —¥t 0t —¥toОПо условию Ti(t) = а* + on(t), где on(t) —¥ 0 при t —¥ to (i = 1,2).Поэтому i-| (/) + r 2 (t) =a i + a 2 + /3(t), где (3(t) =rii (/) + a 2 (t) —1 0при t —1 to, откуда следует (6 ). Докажем формулу (7). В силу свойствскалярного произведения(ri(£ ),r2(£)) - (аь а 2) = (a i(£ ),a 2) + ( a 2 (t), a i) + ( a i( £ ) ,a 2(£)),причем в правой части этого равенства — бесконечно малая функция, так как a i(t), a 2 (t) — бесконечно малые вектор-функции и|(p,q)| <1 |р| • |q| для любых векторов р и q.Аналогично доказывается формула (8 ), в этом случае следует воспользоваться неравенством )[р,q]) ^ |р| • |q|.
•г)Непрерывность вектор-функции. Вектор-функцию г (t) называют непрерывной при t = to, еслиlim г (t) = r(t0).t—>tО(9)Непрерывность вектор-функции r(t) = (x(t),y(t), z(t)) при t = to всилу эквивалентности условий (2 ) и (3) означает, что ее координаты x(t), y(t), z(t) непрерывны в точке toНазовем вектор-функцию A r = г (to + A t) — г (to) приращениемвектор-функции г (t) в точке to- Тогда условие (9) означает, чтоАг —1 0 при At —1 0.(10)Из определения непрерывности вектор-функции и свойств пределов векторных функций следует, что сумма, векторное и скалярноепроизведения вектор-функций Ti(t) и г 2 (t) являются непрерывнымифункциями при t = to, если вектор-функции Ti(t) и г 2 (t) непрерывныв точке to-§ 2 1 . В ект ор-ф ункции1972.
Производная и дифференциал вектор-функции.Дуа) Производная вектор-функции. Если существует Jim — , гдеA r = г (to + A t) —г (to), то этот предел называют производной векторфункции г (t) в точке to и обозначают г '(to) или г (to)Таким образом,r,=r(to + A t ) - r ( t 0)(п )7 и7 Д1 —s-оAtк 7Аналогично вводится понятие второй производной„( ) =г'(to + A t ) - г ' (to)v 7 At^OAtи производной порядка п > 2 вектор-функции. Заметим, что еслиr(t) = (x(t),y(t),z(t)), тог '(to) = (х 1 (to), у '(to), z'(to)).( 12 )Утверждение (12) следует из определения (11) и свойств пределоввектор-функций.Аналогично, если существует г " (to), тоr"(to) = (x"(to),y"(to),z"(to)).Из определения производной следует, что Аг = г '(to)At + a ( A t) A t,где a ( A t) —t 0 при A t —1 0, и потому Аг —1 0 при A t —1 0.
Таким образом, выполняется условие ( 10 ), т. е. вектор-функция г (t), имеющаяпроизводную в точке to, непрерывна при t = toУ т в е р ж д е н и е 2. Справедливы следующие правила дифференцирования вектор-функций:(ri + г2)' = г) + т'2,(13)(/г )' = f ' r + f r ',(14)( r i ,r 2)' = (г(,г2) + ( r i ,4 ) ,(15)[ r i,r 2]' = [г(,г2] + [гь 4 ].(16)0 Формулы (13)—(16) справедливы в точке t, если в этой точке соответствующие функции имеют производные. Ограничимся доказательством формулы (15).
Пусть Ату — приращение вектор-функции Tk(t), соответствующее приращению аргумента At, т. е. Aiy == Tk(t+ At) —Tk(t), к = 1 , 2 . Тогда, используя свойства скалярногопроизведения и свойства пределов вектор-функций, получаем(г г У = lim (r i(t + A t)’r2(t + A t)) ~ (nfflTaffl) =1 ь 27 At —>0Atтак какДу= (гь г 2 ) + (ГД Г2 ),-1 г'(Д при A t —¥ 0 (г = 1,2) и Аг 2 —1 0 при At —> 0 .
•198Гл. IV . Производная и ее приложенияП р и м е р 1. Пусть существует r'(t) для всех t € (а,Д) и пусть|r(t)| = С = const для всех t € (ск, /3).Доказать, что (r(t),r'(t)) = 0, т. е. векторы г (t) и г'(t) ортогональны.А Используя формулу |r(t )|2 = (r(t),r(t)), правило дифференцирования скалярного произведения (формула (15)) и условие |r(t)| = С,получаем (r(t),r(t))' = 2 (r'(t), r(t)) = 0 , так как (|r(t)|2)' = (С2)' = 0 .Итак,|r(t)| = С => (r(t),r'(t)) = 0. ▲б) Дифференциал вектор-функции.
Вектор-функцию г (t), определенную в некоторой окрестности точки to, называют дифференцируемой при t = to, если ее приращение A r = г (to + At) —г (to) в точке toпредставляется в видеA r = a At + A t a ( A t ) ,(17)где вектор а не зависит от At, a ( A t) —1 0 при A t —t 0.В этом случае вектор a At называют дифференциалом векторфункции r(t) в точке to и обозначают dr. Таким образом,dr = a At.Как и в случае скалярной функции, дифференцируемость векторфункции r(t) в точке to равносильна существованию ее производнойв точке to, причемr '( t0) = а.(18)Следовательно,dr = г '(t0) At.(19)Если функция r(t) дифференцируема при t = to, то, используя равенства (17) и (18), получаемA r = г '(t0) At + A ta (A t),(20)где a (A t) —¥ 0 при A t —t 0.Полагая dt = At, запишем равенство (19) в видеdr = т' dt,где опущено обозначение аргумента функции г'.
Отсюда получаем=I-<21>Г'в) Замена переменного.У т в е р ж д е н и е 3. Если функция t = t(s) дифференцируема приs = So, t(so) = to, а вектор-функция r(t) дифференцируема в точке to, то вектор-функция p(s) = r(t(s)) дифференцируема в точке so,а производная этой функции выражается формулойp'(so) = r's (t(s0)) = r't (to)t'8(s0),(22)§ 2 1 . В ект ор-ф ункции199где индекс указывает, по какому переменному производится дифференцирование.О Функция a ( A t) в формуле (20) не определена при A t = 0.
Доопределим ее при A t = 0, полагая а(0 ) = 0.Так как t = t(s) — функция, дифференцируемая при s = Sq, то A t == t(so + As) —t(so) —1 0 при A s —1 0. Разделив обе части равенства (20) на A s ф 0, получимAsv '( lo ) f- tU A l) f.у JAsуJAs(23)y’Правая часть (23) имеет при A s —1 0 предел, равный г 1 (to)t'(sq) ,так как A t —1 0 при A s —1 0 и a (At) —t 0 при A t —1 0. Следовательно,существует предел в левой части (23), и справедливо равенство (22).Формулу (22) запишем кратко в виде равенства(24)выражающего правило дифференцирования вектор-функции при замене переменного. •3.Теорема Лагранжа и локальная формула Тейлора длявектор-функции.З а м е ч а н и е 1.
Ф орм ула Л агр ан ж а, т. е. ф орм улаг(/3) - г ( а ) = г'(£ )(/3 - a) ,£e(a,f3),(25)для в е к т о р -ф у н к ц и й , вообщ е говоря, неверна.О В сам ом деле, п у сть ф о рм ула (25) верна, и п у сть г (t) = ( cost , s in t) ,то гд а r' ( t ) = ( — s i n f , c os t ) , |r '( f ) | = 1. П олагая a = 0, /3 = 2n, п о луч и м изр ав е н ст в а (25) 0 = г(2д-) — г(0 ) = г'(£)27г, ч то н евозм ож но, т а к к а к |г '(£ ) | == 1.
•Т е о р е м а (Лагранжа). Если вектор-функция г (t) непрерывна наотрезке [а,(3\ и дифференцируема на интервале (а,[3), тоЗС G (а, /3): |г(/3) - г(а)| ^ |г'(С)|(/3 - а).О(26)Рассмотрим скалярную функциюip(t) = (т(/3) - т(а), г (tj).Эта функция непрерывна на отрезке [ск, /3], так как вектор-функция г (t) непрерывна на этом отрезке. Кроме того, функция ip(t) дифференцируема на интервале (а, [3), так как функция г (t) дифференцируема на этом интервале, причем в силу правила дифференцированияскалярного произведенияip'(t) = (т(/3) —г (a), r'(t)).По теореме ЛагранжаЗС G (а, /3): ip(/3) - ip(a) = </?'(С)(/3 - а).(27)200Гл. IV . Производная и ее прилож енияПреобразуем левую часть равенства (27):<р(Р) - <р(а) = (г {(}) - т(а), т((3)) - (т(/3) - г (а), г (а)) == (г(/3) - г (а), г(/5) - г(а)) = |г(/5) - г (а )|2.Тогда равенство (27) примет вид|г(/3) -г(а)|2 = (г(/3) -г(а), г '(£))(/? - а).(28)Если т(/3) = г (а), то неравенство (26) справедливо при любом£ЕЕ ф,Р).
Если тф) ф г(а), то |г(/3) —г(а)| > 0. Тогда, используя неравенство |(а, Ь)| ^ |а| • |Ь|, из формулы (28) получим|г(/?) —г (а )|2 ^ |г(/?) —г(а)| • |г'(£)|(/3 —а),откуда, разделив обе части неравенства на |г(/3) —г(а)| > 0 , получимнеравенство (26). •З а м е ч а н и е 2. Для вектор-функции г (t) справедлива локальная формула Тейлорап(к) /j.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
