Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Под прямоугольником будем понимать множество точек видаК = {(х , у ): ai ^ х ^ Ъ\, ci2 ^ у ^ 62} или множество, получаемоеиз К удалением части границы (или всей границы) множества К.Площадью прямоугольника К назовем число (bi ^ Oi)(b2 —02 ) независимо от того, принадлежат или не принадлежат множеству Кего граничные точки, а площадью клеточной фигуры назовем суммуплощадей прямоугольников, из которых составлена эта фигура.З а м е ч а н и е 1. Можно показать (см § 45), что площадь клеточной фигуры не зависит от способа разбиения ее на прямоугольники. Нетруднотакже убедиться в том, что площадь клеточной фигуры неотрицательна иобладает свойствами:а)аддитивности, т. е. площадь объединения двух непересекающихсяклеточных фигур равна сумме их площадей;344Гл.
VII. Определенный интегралб) инвариантности, т. е. площади двух равных (конгруэнтных) клеточных фигур совпадают;в) монотонности, т. е. если клеточные фигуры G\ и Gi таковы, чтоG 1 С Gi, то площадь фигуры G\ не превосходит площади фигуры Gi.Плоскую фигуру G назовем квадрируемой, если для любого е > Онайдутся клеточные фигуры q и Q такие, чтоq c G CQ,О^ S ( Q ) - S ( q ) < e ,(1)(2)где S(Q), S(q) — площади фигур Q и q соответственно.Пусть плоская фигура G квадрируема. Тогда площадью этой фигуры назовем число S(G) такое, чтоS(q) «С S(G) «С S(Q)(3)для любых клеточных фигур q и Q, удовлетворяющих условию (1).Т е о р е м а 1.
Для любой квадрируемой фигуры G число S(G) существует и единственно, причемS(G) = sup S(q) = inf S(Q).(4)О Так как для любых клеточных фигур q и Q, удовлетворяющихусловию ( 1 ), выполняется неравенствоS(q) «С S(Q),то по теореме об отделимости (§ 2 ) существуют supS,(g) и m fS(Q)(супремум и инфимум берутся по всем клеточным фигурам, соответственно содержащимся в фигуре G и содержащим эту фигуру),причемS(q) ^ sup S(q) inf S(Q)S(Q),(5)откудаS(q) ^ sup S(q) ^ S(Q).(6 )Таким образом, число S(G) = sup S(q) удовлетворяет условию (3).Докажемединственность числа S(G).
Предположим,что наряду счислом S(G) существует еще одно число S'(G), удовлетворяющееусловию (3), т. е.S(q) ^ S'(G) ^ S(Q).(7)Тогда из (3) и (7) в силу свойств неравенств получаем, что\S(G )-S'(G)\^S(Q )-S(q)(8)для любых клеточных фигур таких, что q С G С Q. Так как G —квадрируемая фигура, то разность S(Q) — S(q) можно сделать скольугодно малой в силу условия (2), выбрав соответствующие фигуры Qи q.
Поэтому из (8 ) следует, что S'(G) = S(G). Таким образом, квадрируемая фигура G имеет площадь S(G), причем в силу (5) справедливоравенство (4). •§ 3 7 . Прилож ения определенного инт еграла345Т е о р е м а 2. Для того чтобы плоская фигура G была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовалитакие квадрируемые плоские фигуры q и Q, чтоqcGcQ,0^S(Q)-S(q)<e,(9)где S(Q) и S(q) — площади фигур Q и q соответственно.О Необходимость условий (9) очевидна, так как поопределениюквадрируемой фигуры эти условия выполняются, если взять q = q,Q = Q, где q и Q — клеточные фигуры, удовлетворяющие соотношениям ( 1 ), (2 ).Докажем достаточность. Фиксируя произвольное число е > О, найдем в силу (9) такие квадрируемые плоские фигуры q и Q, чтоqcGcQ,0^S(Q) - S(q) <§,(10)Так как q и Q — квадрируемые плоские фигуры, то существуютклеточные фигуры Q' и q1 такие, чтоq'cq,QcQ',0 ^ S ( q ) ^ S ( q ' ) < £-,0 «СS(Q') - S(Q) <(11)Из (10) и (11) следует, чтоq'СGСQ',0 ^ S(Q') - S(q') < е.Это означает, что G — квадрируемая фигура, причемS(G) = sup S(q) = inf S(Q).•З а м е ч а н и е 2.
М ожно д о к азать (см. § 45), ч то площ адь к вад ри ру ем о йф и гу р ы обладает св о й ств ам и а д д и т и в н о с ти , и н в а р и ан тн о с ти и монотонност и (см. зам еч ан и е 1 ).б)Площадь криволинейной трапеции. Одной из основных задач,приводящих к понятию определенного интеграла, является задача оплощади криволинейной трапеции (§ 34, п. 1 ), т. е. фигуры G, задаваемой на плоскости Оху условиямиG = {(ж, у ) : а ^ х ^ Ъ, 0 ^ у ^ f (x)},(12)где f ( x ) — функция, непрерывная на отрезке [а,Ь].У т в е р ж д е н и е 1. Криволинейная трапеция G — квадрируемаяфигура, площадь которой S = S(G) выражается формулойьS = Jf(x)dx.(13)аО Пусть Т={xi, i = 0, ri} — разбиение отрезка[a, b], М* и то, — соответственно наибольшее и наименьшее значения функции / на отрезкеА* = [xi-\,Xi], A xi = Xi — X j- 1 , i = l ,n (см.
рис. 34.1).Гл. VII. Определенный интеграл346Рассмотрим клеточную фигуру q, составленную из прямоугольников Qi (i = 1 , п ) , таких, что длина основания *-го прямоугольника равна Дж*, а высота равна т*.Аналогично определяется клеточная фигура Q, составленная изфигур Qi, где Qi — прямоугольник, длина основания которого Дж*,а высота М*, i = 1,п.Очевидно, q С G С Q, площади фигур q и Q соответственно равныППIи Дж,. S {С^) —Л4*Дж*.j*= 1г= 1Заметим, чтоS(q) = sT, S(Q) = ST,(14)где st vi S t — соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу дляфункции / при разбиении Т отрезка [а,Ь].Так как функция /(ж) непрерывна на отрезке [а, Ь], то в силу критерия интегрируемости (§ 34, теорема 2) для любого е > 0 найдетсятакое разбиение Т этого отрезка, чтоОSt ~st< 'S-ИНЫМИ словами (см.
равенства (14)), существуют клеточные фигуры q и Q такие, чтоqcGcQ,0 4. S(Q) - S(q) < е,т. е. выполняются условия (1), (2). Это означает, что G — квадрируемая фигура и согласно теореме 1 справедливо равенство (4), котороев силу равенств (14) можно записать в видеS(G) = sup s t = inf S t .(15)Используя следствие из теоремы 2, § 34, получаемьsup s t = inf S t =f ( x ) dx.(16)Из (15) и (16) следует, что площадь S = S(G) криволинейной трапеции G выражается формулой (13).
•З а м е ч а н и е 3. В § 34, п. 1 площадь S фигуры G была определенаПкак предел интегральной суммы ат(£) = ^ ( /(&) Аж* при 1(Т) —¥ 0 приг= 1условии, что этот предел не зависит от разбиения Т и выборки £ = {£;, i == 1, п}, где Г € Д». Для непрерывной на отрезке Га, 61 функции lim сгт(£) =ьim-rn= j f(x) dx, и поэтому оба определения площади приводят к одному и томуаже результату.§37. Прилож ения определенного инт еграла347Рассмотрим теперь фигуру D (рис. 37.1), ограниченную отрезками прямых х = а и х = Ьи графиками непрерывных на отрезке [а, Ь]функций у = f i(x) и у = / 2 (ж), где Д(ж) ^ f 2(x) при х Е [а, Ь]. Еслиf i(x) ^ 0 для всех х Е [а, Ь], то площадь фигуры D равна разности площадей криволинейных трапеций Р 2 и P i, где Di = { ( х , у ) : а ^ ж ^^ 6, 0 ^ 2/ ^ /«(ж)}, г = 1, 2.
Поэтому площадь Sd фигуры D выражается формулойS d = j ( h ( x ) - f i (x))dx.(17)аФормула (17) остается в силе и в случае, когда не выполняетсяусловие f i(x) ^ 0 для всех х Е [а, Ь]. Чтобы убедиться в этом, достаточно сдвинуть фигуру D вдоль положительного направления осиОу на уо = | min fi(x)\ и воспользоваться тем, что площади равныххЕ[а,Ь\фигур совпадают.П р и м е р 1. Найти площадь S фигуры, ограниченной эллипсом22+ »- = i.а 2 Ь2Д Искомая площадь S равна 4сг, где сг (рис.
37.2) — площадь криволинейной трапеции, ограниченной осями Ох , Оу и графиком функции у = by 1-, 0 ^ж ^ а.По формуле (13) находимсг = b1 —^ dx = ab J л/ l — t2 dt = i 7xabоо(см. § 36, пример 4). Итак, площадь, ограниченная эллипсом с полуосями а и Ь, равнаS = 7таЪ.В частности, площадь круга радиуса R равна ttR 2. к348Гл. V II. О пределенный инт егралОтсюда следует, что площадь кругового сектора (радиуса R ), соответствующего центральному углу а , равнаir R 22 тг 01_R 2а2П р и м е р 2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у == 6ж — ж2 и прямой у = ж + 4.Д Парабола у = 6ж — ж2 пересекается с прямой у = х + 4 в точках Аи В (рис. 37.3), абсциссы кото- - 'рых являются корнями уравнения 6ж —ж2 = ж + 4.
Решая этоуравнение, находим его корних\ = 1, Ж2 = 4. Согласно формуле (17) искомая площадь Sравна45 = J ((6ж —ж2) —(ж + 4)) dx =А- тг- - 4ж-(в) Площадь криволинейногосектора. Пусть кривая Г задана в полярной системе координат уравнениемр = р{ф),a^tp^f3,где р(р) — неотрицательная и непрерывная на отрезке [а , (3] функция.Тогда плоскую фигуру G, ограниченнуюкривой Г и, быть может, отрезками двухлучей, составляющих с полярной осьюуглы а и /3 (рис. 37.4), назовем криволинейным сектором.У т в е р ж д е н и е 2.
Криволинейныйсектор G — квадрируемая фигура, площадь которой S выражается формулойР5 =<2(tp)dip.(18)■иО Пусть Т = {ipi, i = 0, п} — разбиениеотрезка [ск, /3],и Mi — соответственно наименьшее и наибольшеезначения функции р(р) на отрезкег = 1,п. Обозначим через qi и Qi круговые секторы, ограниченные лучами р = p i- i,р = pi и дугами окружностей радиусов rrii и Mi соответственно(рис. 37.4). Если q — объединение фигур g i ,..., qn, a Q — объединениефигур Q i ,..., Qn, то q С G С Q.§37. Прилож ения определенного инт еграла349Так как qi wQi — квадрируемые фигуры, то q и Q также являютсяквадрируемыми фигурами, а их площади соответственно равнып5 (4> =\ ^ 2 m2i A ( P iпИ2=1S (Q ) =\ Y; M i2=1Отсюда следует, что S(q) и S(Q) совпадают соответственно с нижнейи верхней суммами Дарбу для функции i р2(р) на отрезке [а, /3].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
