Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 65
Текст из файла (страница 65)
VII. Определенный интеграл366ведлива формула интегрирования по частямЬЬо—f,0/»/ uv' dx = uv— J vu'dx.t(13)О Так как функции и'(х), v'(x) непрерывны на отрезке [а, £] прилюбом £ € (а,Ь), то справедлива формула интегрирования по частям (§ 36, теорема 6 )ССJ u v ' dx = «(£) v(£) —и(а) v(a) —J v u ' dx.(14)aaПравая часть равенства (14) по условию имеет при £ —^ Ъ—0 конечный предел, равный правой части формулы (13). Следовательно, существует конечный предел и в левой части (14), т. е. сходится интег-ьрал J uv' dx, и при этом справедлива формула (13).аОтметим, что при наличии конечного предела (12) несобственftьные интегралы J vu' dx и J uv' dx сходятся или расходятся одновреааменно.
•+ооПример6 . Вычислить несобственный интегралJ=jх е ^ х dx.оА Применяя формулу (13), получаемJ =/+т,о оx ( —e ^ x) ' d x = —x e ^ xо++СрЮе жdx.оТак как хе х = 0 при х = 0, a+ооlim хе х = 0, то J =е х dx =Ж—*-+ 00J= 1. ▲ог) Замена переменного.У т в е р ж д е н и е 4. Если функция f ( x) непрерывна на промежутке [а,Ь), а функция х = ip(t) непрерывно дифференцируема на промежутке [ск, /3), строго возрастает и удовлетворяет условиям (р(а) = а,lim tp(t) = Ь, то справедлива формула замены переменногоt^ p -oьр= —еj f ( x ) d x = j f(Lp(t))Lp'(t)dta(15)aпри условии, что хотя бы один из интегралов в (15) сходится.О Пусть т € [ск, /3), <р(т) = £. Тогда <р(т) -А Ъ при т —¥ /3 — 0. Применяя формулу замены переменного для интеграла Римана (§ 36,§38. Н есобст венные инт егралытеорема 5), получаемj367Стf ( x ) d x = j f{(p{t))(p'{t)dt.a(16)aТак как функция x = ip(t) строго возрастает и непрерывна на [а,/3),то обратная функция строго возрастает и непрерывна на [а,Ь).
Поэтому если существует конечный предел при т Ч / З - О в правой частиравенства (16), то существует конечный предел при £ —1 Ъ—0 в левойчасти (и наоборот), и при этом справедлива формула (16). •З а м е ч а н и е 4. Ф орм ула (15) о с т а е т с я сп р авед ли вой и в сл учае, когда а > /3, если ф у н к ц и я ip(t) непреры вн о ди ф ф ер ен ц и р у ем а на п р о м е ж у тк е(/3,а), стр о го у бы вает, п р и ч ем а = lim <p(t), Ь = lim <f(t).
При это м поf-4 -Q — 0t-* (3 + Оаналоги и с и н тегр ал о м Р и м а н а по оп ределен ию п олагаю т, что-j y(t) dtпри a > /3, если и н тегр алj g(t) dt/зj g( t ) dt=сходи тся.dГ.J (ж2 + 1)3/2оА Положим x = t g t, где 0 < t < —. Тогда dx = — t—, x 2 + 1 =2cos2 1П р и м е р 7. Вычислить интеграл J =cos-1ж/2(ж2 + l )-3 /2 = cos3 1, поэтому J = J cos t dt = 1 . ▲0Пример8 . Вычислить интеграл J =+ oo , ^—— - dx.J %' -f" 10+00А Преобразуем интеграл (см. § 33, пример 5, в)) J = Jхи положим х„0= t; тогдаf dt1tJ = J t2 +, п2 = л/2 arct§ л/2т*оо(1 + 1 /ж2) dx(ж - 1 /ж )2 + 27ГУ2+. о ооdxП р и м е р 9. Вычислить интеграл Ji = Jж4 + 1оА Для вычисления интеграла можно использовать первообразнуюдля подынтегральной функции f ( x) = 4 ^ ^ (см.
§ 33, пример 4).Рассмотрим другой способ вычисления, не требующий нахожденияпервообразной для функции f(x). Полагая х = - , получаемОЛ = - /J+«>+оо,+,+оол. = Idt= [J l +tJ\1 T H0о,1 + ж4dx.Гл. V II. О пределенный инт еграл368Ьоо+ оо,-----dx, откуда, используя при) ах*:4 + 11 J аa:4r ++ 110о+ СЮ9+СЮ1 f Х~ + 1 ,1 т7Гттfdxмер 8 , находим J 1 = - ( х + dx = - J = -Д=. Итак, [,Р ’2 J х4+ 122лДJ 1 + *4ооТаким образом,J\ == ДД' кд) Интегрирование неравенств.ъъУ т в е р ж д е н и е 5. Если сходятся интегралы J f ( x) dx и j g(x) dxaaи для всех x G [a, b) выполняется неравенствоf ( x) «Сg(x),mobIdxbf g(x) dx.(17)О Неравенство (17) получается из неравенстваС(ж) d x ^g(x) dx,а ^ t; <b,с помощью перехода к пределу при £ —^ Ъ—0 .
•3.Несобственные интегралы от неотрицательных функций. В пп. 3-5 все утверждения формулируются и доказываются дляинтегралов того же типа, что и в п. 2 .Теорема1. Если для всех х G [а,Ъ)выполняется неравенство0,(18)ьто для сходимости несобственного интеграла J f ( x ) dx необходимо иf ( x) >достаточно, чтобы функция j f ( x) dx была ограничена сверху, т. е.осЗС : V£ G [a,b)-t j f ( x ) dx «С С.С(19)“О Заметим, что F(£) = J f ( x ) d x — возрастающая функция. В самомаделе, из условия (18) и свойств интеграла Римана следует, чтоСгV£b£2 G [a, b): £2 > £i ^ F f a ) - F ( ^ ) = j f ( x ) d x > 0.Ci§38. Н есобст венные инт егралы369ЬЕсли интеграл J f ( x ) dx сходится, т.
е. существует конечныйlim F(£) = J f ( x ) dx = J, то по теореме о пределе монотонной функации (§ 10) J = sup F(£), откуда согласно определению точной верхa5C£<ftней грани следует, что для всех £ € [а, Ь) справедливо неравенство€ьj f ( x) dx ^ J f ( x ) dx,aaт. e. выполняется условие (19).Обратно: если выполняется условие (19), то в силу теоремы о пределе монотонной функции (F — возрастающая функция) существуетконечныйlim F(£) = F(b —0) = sup F(£),€ -> o -0a iC « bVт. e. интеграл J f ( x ) dx сходится. •Т е о р е м а 2 (теорема сравнения).
Если для всех х € [а, Ь) выполняется условие0 sC f ( x) «Сд(х),(20 )то:а) из сходимости интеграла J->=g(x) dx следует сходимостьГf ( x) dx;ааб) из расходимости интеграла Ji следует расходимость интеграла J 2.Оа) Из условия (20) в силу правила оценки интеграла Римана следует, чтоССj f ( x ) dx ^ j g ( x ) dx, £ G [a,b).(21)aaинтеграла J i =bЕсли сходится интеграл J g(x) dx, т. e. существует конечныйiailimg( x) dx = J 2, где J 2 = supg(x) dx (теорема 1 ), то из (2 1 )a<C<b->a-s a€следует, что для любого £ € [а, Ъ) выполняется неравенство J f ( x) dx €€Гл.
VII. Определенный интеграл370V J i- Таким образом, для неотрицательной функции f ( x ) выполняется условие (19), и по теореме 1 интеграл Ji сходится.б)Если интеграл Ji расходится, то интеграл J i тоже должен расходиться: в случае сходимости интеграла Ji сходился бы по доказанному выше интеграл J i. •П р и м е р 10.
Исследовать на сходимость интеграл+ СЮГ cos Зх ,..ах.,Jcos^ ЗхА1л/Г^Г^1Так как 0 ^ .<С —— при х1, то по теореме 2 из схоу 1 + хе+оодимостиинтеграла— jz (пример 3) следует сходимостьинтеграJ хала J. к1С л е д с т в и е . Если для всех х £ [а, Ь) выполняются условияf ( x ) > 0,д(х) > 0 ,(22 )и, кроме того,f ( x) ~ д(х) при х —УЬ —0,(23)ььто интегралы Ji = J f ( x) dx и Ji = J g( x ) dx сходятся или расхоaaдятся одновременно.f(X)О Если выполнены условия (22) и (23), то lim ^7—г = 1, т.
е.ж—s-ь—о д(х)Ve > 0 3 6 (e) £ [а, Ь): Ух £ [д(е),Ь) ^Полагая здесь е = i , найдем число1 <Ш< ^/(*)д(х)< е.= с такое, чтоже[с’ь)’а ^ с<ь-(24)Неравенство (24) в силу условия д(х) > 0 равносильно неравенству\ д(х) < f ( x) < \ д(х),X £ [с, Ь).(25)Так как функции / и д не имеют особых точек на промежутке [а, Ь),то интегралы Ji и Ji сходятся тогда и только тогда, когда сходятсяинтегралы соответственно от функций / и д на промежутке [с, Ь), гдеа ^ с < Ъ (см. замечание 3).ьЕсли сходится интеграл Ji ^а значит, и интеграл J д(х) dx^ , то изСправого неравенства (25) по теореме 2 следует сходимость интеграла§38. Н есобст венные инт егралы371от / на промежутке [с, Ъ), а это равносильно сходимости интеграла Ji.Аналогично из левого неравенства (25) заключаем, что из сходимостиинтеграла Ji следует сходимость интеграла J 2 .Если же один из интегралов Ji или J 2 расходится, то расходитсяи другой (это доказывается методом от противного на основе теоремы 2 ).
•В частности, если функция /(ж) интегрируема на отрезке [а, £] прилюбом ( ) й и если/(ж) ~ —при х -+ +оо,гдеА ф О,+ СЮто интеграл J f ( x ) d x сходится при а > 1 и расходится при а ф 1 .аП р и м е р 11. Исследовать на сходимость интеграл+ ооJ= [dx ,(26)Jх а \w х2А Рассмотрим три возможных случая: а > 1 , а = 1 , а < 1 .а) П е р в ы й с л у ч а й : а >1 .Если а > 1 , т о а = 1 + 26, где 6 > 0. Представим подынтегральнуюфункцию f ( x) в следующем виде:/(* ) = ^ ( * ) ,гда=Так как lim x s In'3 х = +оо при а > 0 и любом (3 (см. § 19, пример 5),X —> + ( Х >то существует число Xq > 2 такое, что 0 < д(х) < 1 при всех х ф Xq.Поэтому 0 < f ( x) < — при х € [жц, +оо), и из сходимости интеграла+ оо— j , где Хо > 2 , 6 > 0 , по теореме 2 следует сходимость интегралаJжо* 1+дот / на промежутке [жо,+оо), а это равносильно сходимости интеграла J.
Итак, если а > 1, то интеграл / сходится при любом (3.б) В т о р о й с л у ч а й : а = 1.+ 00В этом случае J =J2+ СЮх li+ х.ПоэтомуприаJIn 2= 1 интгсходится, если (3 > 1 , и расходится при (3 ф 1 (пример 3).в) Т р е т и й с л у ч а й : а < 1.Если а < 1, то а = 1 - 26, где 6 > 0. Запишем подынтегральнуюфункцию /(ж) в виде /(ж) =ж 1 -0где д(ж) = жг (1пж )-/3 -+ +оо приж -+ +оо, откуда следует, что д(ж) > 1 при ж/ ( ж) >Жо > 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
