Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Ряды с нео т рицат ельны м и членам и391Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (1) ограничена сверху, и в силу теоремы 1 ряд ( 1 ) сходится.Если ряд (1) расходится, то ряд (12) также должен расходиться,так как в случае сходимости ряда ( 12 ) сходился бы ряд (1 ). •З а м е ч а н и е 1. Т ео р е м а 3 о с т ае т ся в силе, если условие (11) вы п олняет с я при всехгде гп — зад ан н ы й номер.it(3 + 2 ( - l ) n ) ( l + si n3 n)П р и м е р о2.
Доказать,что ряд m(1), где ап = -------—Пл/Псходится.А Так как 1 ^ 3 + 2( —1)” ^ 5, 0 ^ 1 + sin3 те ^ 2 при всех те € Л/, тоттСЮп ^ ап ^ —j-,10 ииз сходимости ряда >Uте3/ 2ооЕ ап. А■“п —110 г по теореме 3о следует—те3 / 2п= 1С л е д с т в и е 1. Если ап > 0 и Ъп > 0 для всех п 1+ щ и ап ~ Ъппри те -+ оо, т. е. lim ^ = 1 , то ряды ( 1 ) и ( 12 ) либо оба сходятся,П—^ОО Ъплибо оба расходятся.О Это утверждение доказывается по аналогии с соответствующимутверждением для несобственного интеграла (§ 38, следствие из теоремы 2 ).
•СЮП р и м е р 3. Исследовать на сходимость рядесли:п= 171=1a rc s in fl/n )а) ап = /| ^е<“—“w v - 11 1 ;- Iе“ Ч 1„о) ап= з /2 пб) ап ~ у+ 1- 1/InП —_ у ^П+ 1 'А а) Так как arcsin £ = t + o(t2), е* — 1 = t + o(t), earcsm* _= t + o(i) при t -+ 0, то an ~1 =при те -+ oo. Поэтому ряд сходится при а > 1 и расходится при а ^ 1 .б) Используя асимптотическую формулу (1 + £)“ = 1 + a t + o(t)при t—¥ 0 , получаем, 1 ^ = (2п —1 V1п+1V+2 у ;з = 1 +2 ^ + от= 1 + 1 +2п —1 /3(2п —1 )\nJ3nп + 1/2V п+1/\п )п/1Vn\п4°°при те —^ оо, откуда а„ ~ — при те —^ оо.
Поэтому ряд ^ а„ расходится. ▲П=1Гл. VIII. Числовые ряды392С л е д с т в и е 2. Если члены рядов (1) и (12) удовлетворяют привсех к ^ то условиямак > 0, Ък > О,(13)аккто из сходимости ряда ( 12 ) следует сходимость ряда ( 1 ), а из расходимости ряда ( 1 ) следует расходимость ряда ( 12 ).О Полагая в (13) к = то, то + 1,—1 и перемножая соответствующие неравенства, получаемй т + 1 (1т + 2& т +1(In — 1 П п^(ln —2 ( I n —1Ьт+1 Ь т + 2Ьт& т +1Ьп — 1ЬпЬп —2 Ь п —1&п ^^ —Ьп , откуда следует, что при всех n ^ т +. 11 выполняетсяили —йщЬтнеравенство ап V АЬп, где Л => 0. Для завершения доказательстваЬтследует применить теорему 3.
•4. Признак Д ’Аламбера.Т е о р е м а 4. Пусть дан рядСЮгдеап > 0для всех п € N.(14)га=1Тогда:а) если существует число q € (0 , 1 ) и номер гп такие, что длявсех п ^ то выполняется неравенство^ ^ q ,(15)йггшо ряд (14) сходится-,б) если существует номер гп такой, что для всехгп выполняется неравенствоO n+ l ^j,16чапто ряд (14) расходится.О а) Из условия (15) следует, что а т + 1 ^ qam, а т + 2 ^ gaTO+i ^^ Ч2 ат, и поэтомуОго+р ^ ЧРатДЛЯ любого р € N.(17)СЮТак как ряд ^amqp, где 0 < q < 1, сходится (§ 39, пример 1) и ап > 0p=iпри всех п € А/, то по теореме 3 сходится рядСЮУ^(18)р=1откуда следует сходимость ряда (14), получаемого из ряда (18) добавлением конечного числа членов(§ 39, п. 3, свойство 2).§40.
Ряды с нео т рицат ельны м и членам и393б) Из условия (16) следует, что ат+1 ^ ат, ат+2 ^ ат+1 ^ а то,а та+з а то и т. д. Следовательно,а-т+ра™ > 0для всех р € N.(19)Поэтомуряд (18), а вместе с ним и ряд (14)расходятся, так какв силу условия (19) ап -ft 0 при ri —Уоо (не выполняется необходимоеусловие сходимости ряда). •С л е д с т в и е (признак Д’Аламбера “в предельной форме”). Еслисуществуетlim ^= А,(20)п—>оо а пто ряд (14) с положительными членами сходится при А < 1 и расходится при А > 1.П р и м е р 4. Используя признак Д’Аламбера, исследовать на схоСЮдимость рядЕ а„, где:п= 1fjUа) ап = — ,а >п!|0;б) ап = — .ппа” +1 = —------ У0 при п —¥ о о , т.
е. вы-А а) Ряд сходится, так какапп + 1полняется условие (20) при А = 0.б) Так какап=(п\п + 1/=(\V+п/е Г 1выполняется условие (20) при А = е - 1 < 1. Поэтому5. П ри зн ак Коши.Т е о р е м а 5. Пусть дан рядпри п-Уоо,торядсходится. ▲ООЕ°»>п=1(21)где ап ^ 0 для всех п € N.Тогда:а) если существуют число q € (0 , 1 ) и номер гп такие, что длявсех п ^ то выполняется неравенствоtya,п ^ q,(22)то ряд (2 1 ) сходится-,б) если существует номер гп такой, что для всех п ^ то выполняется неравенството ряд (2 1 ) расходится.О а)Изусловия (22)следует, что привсех п ^ товыполняется неравенство ап ^ qn, где 0 < q< 1.
По теореме 3 из сходимости рядаГл. VIII. Числовые ряды394qn следует сходимость рядаап.*П* Поэтому ряд (21) также схо•ii—тп= тдится (§ 39, п. 3, свойство 2).б) Если> 1, то а„ > 1 при всех п ^ гп, и поэтому ряд (21)расходится. •С л е д с т в и е (признак Коши “в предельной форме”). Если ап О(та € Л/) и существуетlim= Л,(23)П —¥ СЮто при Л <1 ряд (2 1 ) сходится, а при Л > 1 расходится.З а м е ч а н и е 2. Если условие (20) или условие (23) в ы п ол н яется приА = 1, то р яд (14) м о ж ет к а к сх о д и ть ся , т а к и р асх о д и ть ся , т. е.
п р и зн акД’А лам бера (Кош и) при А = 1 не р еш ает вопроса о сх о ди м о сти р яд а (14).З а м е ч а н и е 3. И з су щ е с т в о в а н и я п редела (20) следует, что су щ еств у ет предел (23) и э т и пределы равны (см. [10, § 5, п рим ер 8]), а обратн оеу т в е р ж д е н и е я в л я е т с я н еверн ы м .
П оэтом у гово р ят, ч то п р и зн ак Коши приисследовании сх о ди м о сти рядов с п о ло ж и тельн ы м и член ам и си льн ее призн а к а Д ’А лам бера.ооЕП р и м е р 5. Исследовать на сходимость рядап, где ап =п + 1 ' ”2п=1П + 2'(11Vп)А ГП1ак как у а п = /( n + l \ I” = —--------^\п + 2 /А ^ 2\л/\1вто условие (23) выпол-п)няется при Л = - < 1 , и поэтому ряд сходится. ▲в6. Признак Раабе.Т е о р е м а 6 . Если ап > 0 для всех N и существуетlim п ( —П—¥ ОО\ а , п +1l ) = А,(24)/то ряд (14) сходится при А > 1 и расходится при А < 1.Доказательство теоремы 6 содержится, например, в книге [10,с. 417, 418].СЮПример-L( ™) n6 .
Исследовать на сходимость рядЕ ап, гдеап =n = 1п\\е)А Признак Д’Аламбера не позволяет решить вопрос о сходимостиряда, так как lim a” +1 = 1. Воспользуемся признаком Раабе. В данП—¥СЮ а пном примере( апOn = п I1-Л/ = та!(V(1 + еl/n)hVan+i§ 4 1 . А бсолю т но и условно сходящ иеся рядыТак как limх—>0+ х^395= - (§ 18, пример 9), то lim ап = - , и2Xп —>сюсогласно признаку Раабе (теорема 6 ) ряд расходится. ▲оо ^пЗ а м е ч а н и е 4. Р асх о д и м о сть р я д а ^— ( —J2легко д о к азать с по-11 = 1—J л/ 2 ттп (см § 77, (12)).§ 41.
Абсолютно и условно сходящ иеся ряды1.Абсолютно сходящ иеся ряды. Ряд с действительными иликомплексными членами£(1)А'Пап77,-177— 1называется абсолютно сходящимся,ш ся 1 если сходится рядСЮсю£ К10>п|1(2 )п= 1Рассмотрим свойства абсолютно сходящихся рядов.С в о й с т в о 1. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.О Пусть ряд (2) сходится. Тогда для него выполняется условие Коши(§ 39), т.
е.п+рVe > 0 3N e : Vn > N e Vp G N -+ £\ak\ < e.n+pk= n+n-\-p1£ak ^ £\ap\, то и для ряда ( 1 ) выполняется условиек=п+ 1к=п+ 1Коши, и в силу критерия Коши этот ряд сходится. •С в о й с т в о 2. Если ряд (1) абсолютно сходится, а последовательность {Ь„} ограничена, т. е.Так как3 M > 0 : V n e N ^ \ b n\ ^ М ,(3)СЮто рядапЪп абсолютно сходится.77— 1О Для доказательства свойства 2 следует воспользоваться критерием Коши сходимости ряда и неравенствомп+Рп+р£|а к Ь к \ ^ М £\ак\,к=п+ 1к=п+ 1которое выполняется в силу условия (3). •Гл.
VIII. Числовые ряды396ооС в о й с т в о 3. Если рядыЕ ап ^и Е ипЬп абсолютно сходятся, топ= 1п= 1при любых А и р, абсолютно сходится рядП—1О Для доказательства свойства 3 следует применить критерийКоши. •С в о й с т в о 4. Если ряд (1) абсолютно сходится, то и рядООЕ5 ?’(4 )j=iполученный перестановкой членов ряда ( 1 ), абсолютно сходится, причем сумма S ряда (4) равна сумме S ряда ( 1 ).О Докажем, что ряд (4) абсолютно сходится, т.
е. сходится рядСЮE fa i-(5)з= 1Так как ряд (4) отличается от ряда (1) только порядком расположения членов, тоVj £ N 3kj £ N: apj = a j.ПОбозначим <7„ =la,-I, n = max fc,-. Тогда т е с т е й для всех п £3=1выполняется неравенствоN' Пk= 1где А — сумма ряда (2). Отсюда по теореме 1 из § 40 следует сходимость ряда (5). Заметим, что сходится и ряд (4) в силу свойства 1.б) Докажем, чтоS = S.(6 )Из сходимости рядов (1) и (2) следует, что для любого е > 0 найдется номер N = N e такой, что для всех ri ^ N e и для всех р £ Nвыполняются неравенстваs - x > fcк= 1< I’(7)п+ рЕ м<§-к = п -\-1(8)§ 4 1 .
А бсолю т но и условно сходящ иеся ряды397Пусть N —наибольший из номеров,которые члены a±,0 2 , ...,амряда (1) имеют в ряде (4), т. е. N = max ( j i , jjv ,), где ар = a,jk(к = 1, N). ТогдаN ^N .(9)Обозначим те-ю частную сумму ряда (4) через S n и покажем, что длявсех те > N выполняется неравенство\ S ^ S n\ < e .(10)ПТак как для любого те > N сумма Sn = ^ ^ а р содержит члены 0 1 , 0-2 ,...J ==1..., о %ряда (1) согласно выбору числа N (неравенство (9)), то разностьПNА=- SW = Е “ * - Е а *’к=1к(11)= 1где те > N , может содержать лишь такие члены ряда ( 1 ), номера которых больше N .Пусть N 1 — наибольший из номеров, которые имеют в ряде (1)члены ряда (4), входящие в S n при те > N, т.
е. N 1 = max ( к\ , ..., кп),где apj = a.j (j = 1,те). ТогдаN' = N + p,р (г N.Поэтому разность А (равенство (11)) представляет собой сумму таких членов (не обязательно всех) ряда ( 1 ), номера которых больше N,но не превосходят N 1 = N + р. Следовательно,N+p|д кЕы < §( 12)k= N + 1в силу условия (8 ).Из равенства S — Sn = S — S n — (Sn — S n ) = S — S n — А в силу (7) и (12) следует, что для всех те N выполняетсянеравенство (10). Это означает, что lim S n = S, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
