Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Ряд V0/<| /6/г, +I 7У2/3ч I ^775 1Mn7,-39( bn сходится абсолютно, аn=l=§ 4 1 . А бсолю т но и условно сходящ иеся ряды405ооряд^ сходится условно (пример 5). Поэтому рядап схоП=11 ^П=11дится условно (теорема 4). ▲ООЗ а м е ч а н и е 2. Если члены ряда 'У ) а„ меняют знак и выполняетсяП~1°°°°условие а„ ~ Ь„ при п —¥ оо, то отсюда не следует, что ряды У ) а„ и ^ ( Ь„п=1п=1эквивалентны в смысле сходимости, т. е. сходятся или расходятся одновре/ -|\П+1(_1\П+1менно. Так, если а„ =— j -— -— - (пример 6, а)), то а„ ~—— приVn + (-1 )”+1л/п°°^ (_;ПП+1°° ^п —¥ оо, однако ряд } ----- —— сходится, аряд у а„ расходится.п=1' v nп=1В заключение рассмотрим свойства условно сходящихся рядов сдействительными членами.
Итак, пусть ряд (34) сходится условно,т. е. этот ряд сходится, а ряд (35) расходится. Обозначима к = <Ч+Ы'(39)Тогда из равенств (39) следует, что для всех к £ Nак >0,_ Г ак,ак ~ \ 0,если ак > 0,если ак ^ 0,13к > 0,я _ / - ак, еслиРк ~ \0, если(40)ак <0,ак > 0,.. ,1 'иак = а к - /Зк.(42)Т е о р е м а 5. Если ряд (34) сходится условно, то рядыОО(4 3 )п= 1ооЕ'»•(44)п= 1где числа а п, (Зп определяются формулами (39) или (41), расходятся,причемlim /Зп = 0.(45)lim а п = 0,П —¥ О ОП —¥ ООО Предположим, что сходится ряд (43).
Тогда из сходимости ряСЮда (43) и ряда (34), т. е. ряда J ^ ( а п —/Зп), следует сходимость ряда“п=12_^(а п + Рп), так как а п + /Зп = 2ап - (ап - /Зп).Гл. VIII. Числовые ряды406С другой стороны, из равенства (39) следует, что \ап\ = а п + (Зп,где а п 0, (3„ 0. Поэтому должен сходиться ряд (35). Это противоречит тому, что ряд (34) сходится условно. Итак, ряд (43) не можетсходиться. Аналогично доказывается расходимость ряда (44).Соотношения (45) выполняются, так как последовательности { а п}и {Рп} определяются формулами (41) и lim ап = 0. •п—>ооТ е о р е м а 6 (Римана). Если ряд (34) сходится условно, то какимбы ни было L (числом или одним из символов +оо, —оо), можно такпереставить члены этого ряда, что последовательность частичныхсумм получившегося ряда будет иметь L своим пределом при п -+ оо.Доказательство этой теоремы содержится, например, в книге [10,с.
430-433].У П РА Ж Н Е Н И Я К ГЛАВЕ V IIIОО1.ООЪп, где а„ € R, Ь„ € R (п € А/),Доказать, что если рядып=1ооп=1оосходятся, то и ряды 'У ] а„Ь„ и У ](а „ + Ь„)2 такж е сходятся.п=1п=1оо2. Доказать, что ряд У ] ап расходится, если последовательность {па„}П=1им еет отличный от нуля предел.3. Доказать, что если ап > 0 и ап+1ап для всех ппо,то из сходи-ООмости ряда У'п=1а„ следует, что lim па„ = 0.п —>оо4. Д оказать, что если апО при вООа" сходится.по и последовательность {пап}9Е?г=1оо5. Доказать, что если ряд У ] ап, где а„то рядыОО^—ОО^ л /(Ь п ,(Ь п + 1 ;^^1п=1такж е сходятся.п=О для всех п, сходится,«=1оо? ^^^п=1оо(& ? г "4" & ? г + 1 4 " ••• 4 " ( l2 n —l ) ;^^п=1\ / & п & п + 1 • ••Cl2n —1ОО6.
Пусть а\ = 1, an+i =— (в Е А/). Доказать, что ряд >9— схо-в 4~ &п' пп=1дится.Т. Д оказать, что если а п > 0 для всех в Е А/ и lim а п = 4-оо, то суп-4-оощ ествует последовательность {Ьп }, где Ьп ^ 0 для всех в Е А/, такая, чтоУпражнения к главе V III407Ьп сх о д и тся, а р яд У~~^ а„Ь„(1}1 расх о ди тся.рядп=18.
Доказать, что если ряд—-a*т„ = V"4> lafcl—, ! то' xJ2У 'а„ сходится условно и ап =ГТ"""1,hm —= 1.n-4-oо <ТПУ 'lafeIак ,4=1&=1оо9. Доказать, что если ряд' а„ сходится условно, то сущ ествует такаяП=1бесконечно малая последовательность {Ьп }, что ряд У апЬ„ расходится.УчООП = 11 0.IДоказать, что ряд > —=(а„ —а„~i) сходится, если последователь“ упность {an } ограничена.п~2ОО11. Доказать, что из сходимости ряда У ' Ь„ и абсолютной сходимостиООП=1ооряда У^(а„ — a „ +i) следует сходимость ряда У~~^ а„Ь„.12 .ЕД о к азать, ч то если а„ > 0 для всех п € N и р яд У &'nа„ схо д и тся, тоn=1ап—j = , где r n = 2_^ a k, сходи тся.k— n+1Г Л А В А IXФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯ ДЫ§ 42.
Равномерная сходимостьфункциональных последовательностей и рядов1.Сходимость функциональной последовательности иряда.а)Сходимость последовательности функций. Пусть функцииfn(x), п е N, определены на множестве Е и пусть Xq е Е. Есличисловая последовательность { f n(xо)} сходится, то говорят, что последовательность функций {/„(х)} сходится в точке Xq.Последовательность {/„(ж)}, сходящуюся в каждой точке х е Е,называют сходящейся на множестве Е.
В этом случае на множестве Е определена функция /(ж), значение которой в любой точке х е Еравно пределу последовательности {/„(ж)}. Эту функцию называютпредельной функцией последовательности { /п(ж)} на множестве Е ипишутlim /„(ж) = /(ж), ж е Е,(1)П —¥ ООИЛИfn(x) -т /(ж),ж е Е,или, короче,f n V -По определению предела запись (1) означает, чтоУж € Я Ve > 0 3 N = N e(ж): Vn > N -А |/„(ж) - /(ж)| < е.П р и м е р 1. Найти предельную функцию /(ж) последовательности {/п(ж)} на множестве Е, если:а) fn(x) = П*П + X1Е = R;б) /„(ж) = n s i n — ,пхЕ = (0,+оо).1+ А а) Так как /„(ж) =то /(ж) = 1.IT -п.б) Используя асимптотическую формулу sin t ~ t при t —¥ 0, полу■ —1 ~ 1п — при п —¥ оо, если ж Ф U.чаем nsinпхпхПоэтому /(ж) =▲§ 4 2 .
Р авном ерная сходимост ь последоват ельност ей и рядов409б)Сходимость функционального ряда. Пусть функции ип(х), ri £ Л/,определены на множестве Е и пусть для каждого х £ Е существуетПконечный предел последовательности {^„(ж)}, где Sn(x) =ик(х).ЕТогда ряд1к=1СЮJ 2 un(x )(2)ТЪ—1называют сходящимся на множестве Е.Если S(x) — предельная функция последовательности {^„(ж)} намножестве Е, т. е.lim Sn(ж) = S( ж), х £ Е,П —¥ СЮто функцию называют S( ж) суммой ряда (2) и пишут' ^ и п(х) = S(x),х £ Е.п= 1Например, если «„(ж) = ж”1 —х п, Е = ( —1,1), то Sn(ж) = —------ ,СЮS( ж) = ----- . Если в каждой точке ж £ Е сходится ряд 2_^ \ип(х)\, тоП=1ряд (2) называют абсолютно сходящимся на множестве Е.2.Равномерная сходимость функциональной последовательности.а)Понятие равномерной сходимости последовательности функций.О п р е д е л е н и е .
Последовательность функций{fn(x)}называется равномерно сходящейся на множестве Е к функции /(ж),еслиVe > 0 3 N e : Vn > Ne Ух £ Е ^ |/„(ж) - /(ж)| < е.(3)В этом определении существенно, что номер N e не зависит от ж.Если справедливо утверждение (3), то пишутfn(x)/(ж),ж е Е,ИЛИfn^fЕЕоворят, что последовательность { /п(ж)} равномерно сходится намножестве Е, если существует функция / , удовлетворяющая условию (3).Если существуют числовая последовательность {ап} и номер щтакие, чтоVn > п0 Ух £ Е\fn(x) - f (ж)| ^ ап,Гл.
I X . Ф ункциональны е ряды410причем lim ап = 0, топ—»ооfn{x) =} f{X),X £ Е.П р и м е р 2. Доказать, что последовательность { /п(ж)} равномерно сходится на множестве Е, и найти ее предельную функцию /(ж),если:______а) /"(*) = ДДЕД’ Е = t- 1 »Ч;В ) Ш= ЩЬДп + Xб) /» (ж) =+ I ; Е = R;Е=[0,+ооУ,r) fn(x) = nsin — , Е = [1, +оо).пхА а) В этом случае /(ж)1 — ж2г <1=п + х1п=1(пример 1, а))—,так как |ж|< 1. Следовательно,'П+ 1 —1 ж е^ г—11,1 1.114k 1,п + Ж-1Vг уж2^ |ж| Н— 1-= —|ж| =”ГпДп\J x 2 + ^ i4 |ж|,1{б) Используя неравенство ж2 Н—/^ л/ж2Ни |/ п(ж) —/(ж)| =\ ^( |ж| Н— = ) , получаем 0^откудаследует, что1Дпх £ R.в) Так как 0 ^ arctg те2ж ^ ^ и ^/п + ж ^ ^/п при ж > 0, то 0 ^^ /»(ж) ^откуда получаем /„(ж) =4 0, х £ Е.1уПг) Вэтом случае/(ж) = - (пример 1,б)).
Используя неравенство| sin i — t\^ЕХ—,t£ R(§18, пример 1, а)), получаем. 11пIfn(x) - /(ж)| = п s m ---------- <пхпх<—2 (п ж )2 ' ' 2 п ’так как х ^ 1. Следовательно,nsin— =4-,пххж е [1,+оо).▲б)Критерии равномерной сходимости последовательности функций.Т е о р е м а 1. Для того чтобы последовательность функций{/„(ж)}, определенных на множестве Е, сходилась равномерно на этоммножестве к функции /(ж), необходимо и достаточно, чтобыlim sup \fn(x) - / (ж)| = 0.п^ ° ° хее(4)§ 4 2 .
Р авном ерная сходимост ь последоват ельност ей и рядовО411Обозначим ап = sup \f n(x) — /(ж ) |. Тогда условие (4) означает, чтохеЕVe > 0 3 п е : Vn ^ п £ —¥ ап < е.(5)Если /„(ж)14 f (x) , х € E, тоV" > 0 3.Y : \/n2>Ne ^ |f n(x) - f(x)\ < | ,£откуда следует, что an ^ - < e для те ^ N e. Поэтому неравенство an < eвыполняется при всех те ^ Ne, где пе = Ne.
Обратно, если выполняетсяусловие (4) или равносильное ему условие (5), то, используя неравенство |/„(ж) —/(ж)| ^ ап для х € Е, те € N, получаем \f n(x) —/(ж)| < едля х € Е, п пе, т. е. /„(ж) 14 f(x), х € Е. •П р и м е р 3. Доказать, что последовательность { /п(ж)} сходитсяравномерно на множестве Е, и найти предельную функцию /(ж),если:9а) /»(*) =а > 4 ’ E=R;б) /„(ж) = x n ^ x n+1, Е = [0,1];в) /„(ж) = п х 2е - пх, Е = [2, + о о ) .А а) Если х = 0, то /„(0) = 0 для всех те € Л/, и поэтому lim /„(0) =2ггЫ2= /(0 ) = 0. Если ж ф 0, то | / п{х)| «С — У =2, откуда следует,IvJLX/ vчто fn(x)0 при те -А о о , так кака >4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
