Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 70
Текст из файла (страница 70)
е. справедливо равенстп—>оово (6 ). •С в о й с т в о 5. Если ряды (1) иООЕь»( 13)"<• bi ■( 14)п= 1абсолютно сходятся, то и рядООЕS— 1Гл. VIII. Числовые ряды398составленный из всевозможных попарных произведений членов рядов (1) и (13), абсолютно сходится, причем сумма ряда (14) равнапроизведению сумм рядов (1) и (13).О а) Докажем, что сходится рядСЮЕ I"'-h! I-(15)S— 1Пусть тт — гп-я частичная сумма ряда (15), А и В — суммы ряДОВсюсюп= 1п —1Е l&nl И Е \Ьп\ соответственно. ТогдагпттТт = У ] |а г»bja| ^|а,а | £ IbjB| ^ А В ,S=1S=1S=1т.
е. частичные суммы ряда (15) ограничены сверху и по теореме 1из § 40 ряд (15) сходится,б) Докажем, чтот = Sa,(16)где т, S, и а — суммы рядов (14), (1) и (13)соответственно. Заметим,что все члены ряда (14)содержатся в следующей таблице:12510aibiClobia3bia4&i43611CllboагЪгазboафз98aihaobg7афзафз161514(l\bi<l2&4a3&41213о ib 1Занумеруем элементы этой таблицы, присваивая им номера, указанные в таблице (такой метод перечисления называют “методомквадратов”). В этом случае получается рядaibi + (a2bi + a 2 b2 + aib2) + (a3bi + a 3 b2 + agbg + a2bg + a 3b3) ++ (0461 + 0462 "T (i4.bg + 0464 + (ig64 + o 2 64 + 0164 ) + ...,(17)образованный из всевозможных попарных произведений членов рядов (1) и (13), т.
е. ряд вида (14).По доказанному выше всякий ряд вида (14) и, в частности, ряд (17),абсолютно сходится и, значит, сходится (свойство 1 ), а сумма ряда (14) не зависит от порядка расположения его членов (свойство 4).Поэтому ряд (17) сходится, а его сумма равна т.Пусть Sn, ап, тп — п-е частичные суммы рядов (1), (13) и (17) соответственно; тогда тп2 = S nan. Так как Sn -б- S и ап —1 а при п -б- оо,§ 4 1 . А бсолю т но и условно сходящ иеся ряды399то тп2 —£ Sa при те —£ оо. С другой стороны, { т п 2 } — подпоследовательность сходящейся к числу т последовательности { т п } , и поэтомутп2 —£ т при те —£ оо.
Отсюда следует, что т = Sa. Равенство (16) доказано. •2. Зн акоч еред ую щ и еся ряды . РядСЮ^ ( ^ 1 )”+ 1 а„, где ап >0 при всехте € Л/,(18)п= 1называют знакочередующимся.Т е о р е м а 1 (Лейбница). Если последовательность {ап} монотонно стремится к нулю, т. е.а-п ^ а„+ 1 для всехте G А/,(19)lim ап = 0 ,(20 )П —¥ ООто знакочередующийся ряд (18) сходится.ПОПусть Sn = ^2(-l)k+1ak.Тогда S2(n+i) - S2n — 0-2п+1 — 0-2п+2 Оk= 1в силу условия (19), т. е.
{S2n} — возрастающая последовательность.Кроме того,S2n = O i — ( 0,2 — а з ) — . . . — (а2п-2 — 0,2п-1 ) _ 0-2п < Й 1 ,так как ап > 0 для всех те £ А/ и {ап} — убывающая последовательность (условие (19)). По теореме о пределе возрастающей иограниченной сверху последовательности существует конечныйlim S 2n = S. Отсюда и из условия (20) следует, что lim S n = S,п —>ооп —tooт.
е. ряд (18) сходится. •С л е д с т в и е . Для знакочередующегося ряда (1) при всех те G А/справедливы неравенстваS2n ^ S ^ S2n+1,\S- Sn\4: Оп+1.(21)(22 )О Заметим,что^ n + i= S 2 n - i ~ ( а 2 п — а-2 П + 1 )• Откудав силуусловия(19) следует, что ^ n + i ^ S 2 n- ъ т- е-{SW -i} — убывающаяпоследовательность. Так как S является пределом возрастающейпоследовательности {S2n} и пределом убывающей последовательности {S2n_i}, то справедливо неравенство (2 1 ), которое можно записатьв виде52п-1 —а-2п ^ S ^ S2n + Й2П+1 -Отсюда следует, что S 2 n- 1 —S ^ а,2 П, S —S 2 n ^ a 2n+i- Это означает,что при всех те G N выполняется неравенство (22). •Гл.
VIII. Числовые ряды400°°^ / 1 \П+1П р и м е р 1. Доказать, что ряд > -—пС---к , где а > 0, сходится.71=1А Так как последовательность { — }, где а > 0, монотонно стремитI па )ся к нулю, то по теореме 1 ряд сходится. В частности, сходится рядсю^_Д^п+1V— = i-± + ±^п23тг=1а для его суммы S из неравенства (2 1 ) при п = 1 следует оценка2^^ g- В дальнейшем (§ 44) будет показано, что S = In 2 . ▲3. Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов.Т е о р е м а 2 (признак Дирихле). РядV апЬп(23)тг= 1СЮсходится, если последовательность частичных сумм рядаЪп ограJn71=1ничена, т. е.ЗМ > 0 : VnG N -7(24)Х А ^ М,к= 1а последовательность {ап} монотонно стремится к нулю, т. е.а „ + 1 ^ а„ для веет п € N(25)илиа „ + 1 ^ а„ для веет п € N(25')иlim а„ = 0 .(26)71—>СЮО Покажем, что для ряда (23) выполняется условие Коши. Введемследующие обозначения:71Jn=п+ра = ^(27)k= 1o-febfe,п G А/,р £ N.(28)&= п+ 1Преобразуем сг, учитывая, что Ъи = В^ — В ^~i при fc > 1, согласноформуле (27).
ПолучимП+р^^77+ рл^p:=n+l1,p=n+lгдеп+ р^п+ р—1^ ^ &k^k —1 — ^ ^ ^-р+ l^ P Тр:=П+1р=П+1^ п+ 1^ п-§ 4 1 . А бсолю т но и условно сходящ иеся ряды401Поэтомуп + р —1сг — cinjrpBnjrp —(injr\B n ~f" ^ ^ (о+ —(29)k=п+1Если справедливо неравенство (25), то из формулы (29) и условия (24)следует, чтоп+ р—1|<т|ГДеМ Qcin-j-p\ + |&п+х|) 4” М ^ ^ (вр —ep-j_i),&=п+1п+р-1^ ^ (ар —<zp_|_i) = dn+i —&н+р ^ [о-п+ i| 4” |а?7+р|р —п +1Таким образом, для всех ri £ N и для всех р £ N выполняется неравенство|ег| 2Af(|an+ i| + |an+p|).(30)Нетрудно показать, что неравенство (30) остается в силе, если заменить условие (25) условием (25').
Условие (26) означает, чтоVe > 0 3Ne : Vn > N e -> \ап\ < - щ ,(31)а из (28), (30) и (31) следует, чтоп+рVe > 0 3Ne : Vn > N e Vp G NYаФк < £,р —П+1т. е. ряд (23) удовлетворяет условию Коши. Следовательно, этот рядсходится. •З а м е ч а н и е 1. Признак Лейбница можно получить из признака Дирихле, полагая Ь„ = (—l)n+1. Прием, использованный при преобразованиисуммы (28) к виду (29), называют преобразованием Абеля, которое можнорассматривать как дискретный аналог метода интегрирования по частям.Уп р а жн е н и е 1.
Доказать, что если ряд (23) удовлетворяет условиям (25) и (26), а S' и Sn — соответственно сумма и n-я частичная сумма этого ряда, то для всех п £ N выполняются неравенства а п ^ 0 и|S —Sn\ 5$ 2Man+i, если а„+1 / 0.П р и м е р 2. Доказать, что рядСЮ+ап s m n x(32)П— 1сходится при всех х £ R, если последовательность {ап} удовлетворяетусловиям (25), (26).А Если х = 2пгп, где то £ Z, то все члены ряда (32) — нули, и поэтомуряд (32) сходится.пПусть х ф 2тгт, где то £ Z. Обозначим В п (х) = У + i n кх. В § 3к= 1Гл. VIII. Числовые ряды402. (пsm'(пример 2, формула (50)) было доказано, что В п(х) =+ Г )х2.х.
пхsm—2_'S1I1 -2откуда \Вп(х)\ ф.Xдля любого ri £ N, т. е. последовательностьS1I1 -2{ В п(х)} ограничена. По теореме 2 ряд (32) для каждого х ф 2пт, гдето € Z, сходится. Следовательно, ряд (32) сходится при любом х £ R.В частности, рядsm п хЕ-п= 1а >п0,сходится при любом х £ R. ▲СЮП р и м е р 3. Доказать, что ряд ^ ^ a n cosnx, где последователь12= 1ность {ап} удовлетворяет условиям (25), (26), сходится при любомх ф 2пт, где то G Z.А Воспользуемся формулой.пх( п + Г)хs m — cos ------- —2 _. coskx = ------------^—.х -----,х ф 2ттт, m £ Z ,S1I1 -к=12которую можно получить способом, указанным в § 3 (пример 2 , б)).Так как1cos кххk=iпри х ф 2-пт,, где то G Z, а последовательность {ап} монотонно стремится к нулю, то рядап cos пх12= 1при х ф 2пгп, то G Z, сходится (теорема 2). ▲В частности, рядЕп= 1cos 2 п хпа > 0,сходится при любом х ф nrn (т £ Z).Т е о р е м а 3 (признак Абеля).
Ряд (23) сходится, если сходитсярядСЮ1Е(33)12=1а последовательность {ап} монотонна, т. е. удовлетворяет условию (25) или (25'), и ограничена.О По теореме о пределе монотонной последовательности существует lim ап = а, откуда следует, что {ап —а} — последовательность,1 2 —^ ООмонотонно стремящаяся к нулю. Из сходимости ряда (33) следует,§ 4 1 . А бсолю т но и условно сходящ иеся ряды403что последовательность {-Вп} его частичных сумм ограничена. Поэоотому ряд—а)Ъп сходится по признаку Дирихле. Отсюда и изП=1сходимости ряда (33) заключаем, что ряд (23) сходится, так какбп^п — {б>пб)Ьпп +I аЬп.
®сюП р и м е р 4. Исследовать на сходимость рядТТЛ„_Е a n, гдеп = 1C0STЛ, П - "а ” ~~ Vnln(n + 1) Vп) '7ГПcosА Ряд у —=——§---- сходится (пример 3), а последовательность' л/пЪ.(п + 1 )П=1СЮ| ^1 + —^J монотонна и ограничена. Поэтому рядап сходится71=1(признак Абеля). ▲4. Условно сходящ иеся ряды.
РядЕ an(34)77,-1называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, а рядСЮla ^lрасходится.При исследовании ряда на сходимость и абсолютную сходимостьиногда оказывается полезным следующее утверждение.сюhЬпТ е о р е м а 4. Если ряд (34) абсолютно сходится, то рядып=1“и У_.(ап + Ьп) одновременно либо абсолютно сходятся, либо условносходятся, либо расходятся.О Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 5 из § 38. •П р и м е р 5. Доказать, что рядСЮЕ Smа :Х;77—1сходится условно.0 < а ^ 1,х ф пт(то £ Z),(36)Гл.
VIII. Числовые ряды404А Ряд (36) сходится (пример 2). Докажем, что рядп=1Xш*шт0<«<1,пг(m е Z),(37)расходится. Воспользуемся неравенством|sinnx| ^ sin" пхГУГг '.V,m. 9 пх =1 ак как sin.„сч>.V,V1 —2 cos 2пх , то из сходимости ряда 2_^ cos 2пх,— (при2пап= 1-V 1п=1мер 3) и расходимости ряда 2_^ ^ ’ гДе 0 < а ^ 1, х ф пт (т(rn € Z2па.п= 1сю...^...,..........9sin- пхsin/осч—, откуда в силу условия (38) слеп'п=1дует расходимость ряда (37) по теореме сравнения (§ 40, теорема 3).Это означает, что ряд (36) сходится условно. ▲П р и м е р 6 .
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимостьEСЮрядЕ аП1 если:п=1/,_ п п+1. , 2/Я11 /;б) a „ = esm”/ ” ^ c o s - .v « + (—i)пА а) Запишем ап в следующем виде:а) а п =&п —л/п(1 1Vл/пИспользуя асимптотическую формулу (1 + t ) ^ 1 = 1 —t + t 2 + o(t2)(—1)П+1\ ~ 1(—1)П+1 11 + -— 7=— I= 1 —-— 7=--------- 1— (1 + ctn),гДе'vnna n —¥0при n —¥ oo, и поэтому \an\ ^ 1при n ^ no- Тогда a„ =_ (—1)”+11— ,h ,bn, _где \bn\,, , ^. —Г)2 и поэтому слагаемое Ьп не влияет—V«пп3/ 2°°^ /_1\П+1на сходимость исходного ряда (теорема 4). Так как ряд-— ——(п= 1сюСЮсходится условно, а ряд УУ —расходится, то и рядУУап.. &П расходится.П.п= 1п= 1б) Так как е* = 1 + t+ — + o(t2), cost = 1 —— + o(t3), то esm«/«=1S in nQ.nn!n4/ 31 1 ^1 + —177 + —77, где \an\ ^ ci, cos1n=i, Pn1+n2soI ^, где \ 3n\ ^ c2, an =bn, гдеv-' p-'n\bn\ ^X nт4/3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
