Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 74
Текст из файла (страница 74)
•З а м е ч а н и е 2. Р ав ен ст в о (46) о стается в силе, если за м ен и ть а на с,х на d, где асdЬ, т. е. р яд (45) м ож но при усл ови ях те о р е м ы 9почленно и н т е гр и р о в а т ь на лю бом о тр е зк е [с, d\ С [а, Ь].Т е о р е м а 10. ЕслиS n(t) 14 S(t), х G[а,Ь], а каждая из функцийSn (t ) непрерывна на отрезке [а, Ь], тоXXf s n(t)dt=t f s ( t ) d t ,XQхG[a,b],XQдля любой точки Xq G [a, b].О Доказательство этого утверждения получено при доказательстветеоремы 9. •в) Почленное дифференцирование функционального ряда.Т е о р е м а 11.
Если функции и п(х), ri G N, имеют непрерывныепроизводные на отрезке [а, Ь], рядОО^ 2 и 'п(х)ТЪ—1(48)сходится равномерно на отрезке [а,Ь], а рядОО^ 2 и п(х)П= 1(49)424Гл. I X . Ф ункциональны е рядысходится хотя бы в одной точке Xq € [а, Ь], т. е. сходится рядоо£ « „ (* „ ),(50)ТЪ—то ряд (49) сходится равномерно на отрезке [а,Ь], и его можно почленно дифференцировать, т. е.1ООS'(x) = £ < ( ж ) ,ТЪ—(51)1гдеООS(x) = £ « „!‘1п( жI ) .ТЪ—Обозначим через т(х) сумму ряда (48), т. е.(52)1ОСЮФ ) = £ < (* )•(53)п=1По теореме 9 ряд (53) можно почленно интегрировать, т. е.XОО X/ Ф ) dt = £ J u 'n(t) dt,(54)n = lX ()Ж ()где Хо, х € [а, Ь], причем ряд (54) сходится равномерно на отрезкеX[а, Ь].
Так как J u 'n(t) dt = ип(х) — ип(хо), то равенство (54) можно заХ()писать в видеXLXJсюJ T(t)dt == £ гw)„ n(жw),,Ж()(55)п= 1г деvn(x) = ип(х) - и„(х0).(56)Ряд (55) сходится равномерно, а ряд (50) сходится(а значит, и равномерно сходится на отрезке [а, Ь]). Поэтому ряд(49) сходится равномерно на [а, Ь] как разность равномерно сходящихся рядов.Из равенств (55), (56) и (52) следует, чтоX( r(i) dt = S(x) — S ( x о).(57)XQТак как функция r(t) непрерывна на отрезке [а, Ь] по теореме 7, то всилу свойств интеграла с переменным верхним пределом (§ 36) леваячасть равенства (57) имеет производную, которая равна т(х). Следовательно, правая часть (57) — дифференцируемая функция, а еепроизводная равна S'(x).
Итак, доказано, что т(х) = S'(x), т. е. справедливо равенство (51) для всех х G [а, Ь]. •§43. С т епенны е ряды425З а м е ч а н и е 3. При у слови ях тео р ем ы 11 ф у н к ц и я S ' (х ) н епреры вн а нао т р е зк е [а, Ь], т. е. 5(ж ) — н епреры вно ди ф ф ер ен ц и р у ем ая на [а, 5] ф ун к ц и я.Т е о р е м а 12. ifo/ш последовательность {5п(ж)} непрерывно дифференцируемых на [а, 6] функций сходится хотя бы в одной точкехо G [а, Ь], а последовательность {5^(ж)} сходится равномерно на [а, Ь],то последовательность {5п(ж)} также сходится равномерно на [а, 6]к некоторой функции S(x) иS'(x) = lim S fn (x), х G [а, Ь].п—^ооО Доказательство этого утверждения получено при доказательстветеоремы 11. •§ 43.
Степенные ряды1. Радиус и круг сходимости степенного ряда. Функциональные ряды видаооЕ с4 С - « Г ,О)п=0где сп (п = 1,2,...) и а — заданные комплексные числа, ( — комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа сп — коэффициентами степенного ряда (1).Полагая в (1) z = ( — а, получим рядЕ(2)Cn Zп= 0исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимостиряда (1).Т е о р е м а 1 (Абеля). Если степенной ряд (2) сходится при z = zo ф О,то он сходится, и притом абсолютно, при любом z таком, что \z\ < \zo\;а если этот ряд расходится при z = z\ ф 0,всяком z, для которого \z\ > \zi\.то он расходится приО а) Пусть Ко = { z : \z\ < \zo\} — круг на комплексной плоскости сцентром в точке О (рис.
43.1) радиуса \zo\, и пусть z — произвольнаяточка круга АГ0, т. е. \z\ < \zq\, и поэтомуг(3)Q = zo < 1.Так как ряд (2) сходится в точке zo, то должно выполняться условиеlimcuZq= О,Гл. I X . Ф ункциональны е ряды426откуда следует ограниченность последовательности {cnZo}, т. е.3 М > 0: Vn G N -> \cn zg\ фИспользуя неравенства (3) и (4), получаемМ.(4)п\c„zn\ = |c„Zq | —■2()^ Mq n,где0 ^ q < 1.(5)СЮТак как рядM q n, где 0 ^ q < 1, сходится, то по признаку сравнеп==О0сюния сходится ряд\cn^п z n \,т.
е. ряд (2) сходится абсолютно в каждойп =Оточке круга K q.б)Пусть ряд (2) расходится в точке Z\ ф 0 . Тогда он должен расходиться в любой точке z такой, что \zi \ < \z\, так как в противномслучае по доказанному выше ряд (2) сходился бы в точке Z\ • .С л е д с т в и е 1. Если ряд (2) сходится в точке Zq ф 0 , то в кругеК \ = { z : \z\ ф р}, где р < \zo\, этот ряд сходится абсолютно и равномерно.О Если г £ К \ , то \cn z n \ ф M q ™ , где q i = X — , и поэтому 0 ^ f t < 1,Nпричем q i не зависит от z . По признаку Вейерштрасса ряд (2) сходится абсолютно и равномерно в круге К \.
•С л е д с т в и е 2. Если ряд (2) сходится в точке Zq ф 0 , то рядыСЮУ" cnz n~m,то G N,(6)и= га1(7)п= 1сходятся абсолютно в круге K q, а в круге К \ — абсолютно и равномерно.ОДля ряда (6) в кругеKqвыполняется неравенствомв круге К \ — неравенство\CnZn- m\м\щ0 ^ ft < 1и ft = X— не зависит от z . Для ряда (7) в кругах Ко и К \ справедливыЫсоответственно неравенстваIг> 1I ^ ]\Д*1_1I1I ^ ]\Д*1_1IncnzI ^ -—г nqи jncnzj ^ -—г nq{ .§4 3 . С т епенны е ряды427ооДалее следует использовать сходимость рядовооAqn иП=1B nqn~1,П=1где А > О, В > 0, 0 ^ q < 1.
•Т е о р е м а 2. Для всякого степенного ряда (2) существует R(Д > 0 — число или +оо) такое, что:а) если R ф 0 и R ф +оо, то ряд (2) абсолютно сходится в кругеК = { z : \z\ < R} и расходится вне круга К; этот круг называюткругом сходимости ряда (2), a R — радиусом сходимости ряда-,б) если R = 0, то ряд (2) сходится в одной точке z = 0;в) если R = +оо, то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.О Пусть D — множество всех точек сходимости ряда (2). Это непустое множество, так как в точке z = 0 ряд (2) сходится.Если D — неограниченное множество, то ряд (2) сходится в произвольной точке z комплексной плоскости.
В самом деле, возьмемточку Zq € D такую, что \z\ < \zo\- Тогда по теореме Абеля ряд (2)будет сходиться в точке z.Пусть D — ограниченное множество. Если D состоит из однойточки г = 0, то ряд (2) сходится при г = 0 и расходится при z ф 0. Вэтом случае R = 0. Если D содержит хотя бы одну точку, отличнуюот г = 0, то, обозначив R = sup \z\, докажем, что ряд (2) сходится вz£Dкруге К = {z: \z\ < R} и расходится в каждой точке, лежащей внеэтого круга. Пусть z — произвольная точка круга К, тогда \z\ < R.По определению точной верхней грани3 Zi € D : \z\ < \zi\ < R.Так как ряд (2) сходится в точке Z\, то по теореме Абеля он абсолютносходится в точке z.
Итак, в каждой точке, лежащей внутри круга К,ряд (2) абсолютно сходится.Пусть точка z' лежит вне круга К, т. е. \z'\ > R. Тогда z' ф D (поопределению точной верхней грани), и поэтому ряд (2) расходится вточке z 1. •З а м е ч а н и е 1. На гр ан и ц е к р у га К р яд (2) м о ж ет к а к сх о д и ться, т а ки р асх о д и ться. В лю бом м ен ьш ем к р у ге К \ = { z : \z\р < R } ряд (2)с ход и тся абсолю тно и равном ерно.Т е о р е м а 3 (Абеля). Если R — радиус сходимости степенногоряда (2), причем 0 < R < +оо, и если этот ряд сходится при z = R,то он сходится равномерно на отрезке [О, R], а его сумма непрерывнана этом отрезке.Доказательство этой теоремы приводится, например, в [2].
•Т е о р е м а 4. Если существует конечный или бесконечныйlim л/\сп\, то для радиуса R сходимости ряда (2) справедливаОп —> СЮГл. I X . Ф ункциональны е ряды428формула= lim \ / j c J ,ItП—S’ооа если существует конечный или бесконечный limп —>оо(8)СпСп+1тоR = lim —(9)П—>00 Су2+1О Докажем формулу (8). Обозначим р = lim у/|сп—>00а) Пусть 0 < р < +оо и пусть Zq — произвольная точка кругаК = {z: \z\ < 1/р}, тогда |z0| < 1/р иlim \/|c „ z J | =\z q \П —¥ OOlimП —¥ OO= |z0|p < 1-OOПо признаку Коши (§ 40) рядспг/} абсолютно сходится.
Так какп=0Zq — произвольная точка круга К , то ряд (2) абсолютно сходится вэтом круге.Пусть точка z лежит вне круга К . Тогда \z\ > 1/р, и поэтомуСЮlim \ / \ c n z n \ = \z\p > 1. Следовательно, рядcnz n расходится прип —too^п=0Щ > i/pТаким образом, если правая часть равенства (8) — положительноечисло, то ряд (2) сходится в круге К и расходится вне этого круга.Следовательно, 1/р — радиус сходимости ряда (2).б) Если р = 0, то lim \ J\ cnz n \ = \z\p = 0 для любой точки г компп —tooлексной плоскости, и поэтому ряд (2) сходится при любом z. Этоозначает, что радиус сходимости ряда R = +оо.
И в этом случае формула (8) верна, если считать, что 1/оо = 0.в) Если р = +оо, то для любой точки z ф 0 имеем lim \ J \c nz n \ =п —too= \z\ lim л/\сп\ = +oo, и поэтому ряд (2) при z ф 0 расходится. Этоозначает, что R = 0.Аналогично можно доказать формулу (9), используя признакД’Аламбера сходимости рядов (§ 40). •П -Л О ОЗ а м е ч а н и е 2.
П ределы (8) и (9) м о гу т не су щ е с тв о в а ть . О днако и м еет с я у н и в е р с а л ь н а я ф орм ула для вы ч и сл ен и я р ад и у са сх о ди м ости R ст е пенного р яд а (2), а им енно ф орм ула1Rim'//} сф\,(10)кото р у ю н азы в аю т ф орм улой Ко ши Адамара (д о к а за т ел ь ст в о ф орм улы (10)с о д ер ж и тся, н апр и м ер , в [2]).Н апом ним , ч то сим волом lim х„ о бо зн ач ается т о ч н а я в е р х н я я гран ьП-+00м н о ж еств а всех ч ас ти ч н ы х пределов (см . § 7) п о следовательн ости { х п }.§43. Степенные ряды429Например, если х„ = 1 + (—1)", то lim х„ = 2.п-+оОП р и м е р 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
