Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Найти радиус сходимости R степенного рядабj)kв!Аа)Так как*П5п=0если:\ п =— —«" ., и,а с^Па ^> 0;находим R =cnzП(! + *)" :,сп —= ±пбп= п ^ -++ооов)\ сп=ппе~в:при те -+ оо, то по формуле (9)+оо.«о nI Iб) В этом случае |с„|=так как Vjn -+1при(л/2)”^ , и поэтому „/]у |сп|г -+ -У2— при те -+ о о ,зПо формуле (8) находим Д = —р .те - + о о .\m/П + 1 \ 1Спе,в) 1ак как cn+i = сп I- , т о ------= —----- — ^ -+ 1 при те —^ о о ,С?7,+1 ( 1 + 1и по формуле (9) находим R = 1.
▲СЮП р и м е р 2. Найти радиус сходимости R степенного ряда2nz5n.п =ОсюА Обозначим 2г"' = t. Тогдасю2”z5” =П=Осюt n, причем рядП=Оt n схоП=0■>п ^ 5 п2nz5дится, если |£| < 1, и расходится, если |£| > 1. Поэтому рядп =Осходится, если 2|r|"' < 1, т. е. при< -jr=, и расходится при \z\ > -гр=.у2у2Итак, радиус сходимости R = тгр. Тот же результат следует из фор\z\мулы (10), так какП т ^ / j + = lim 5л / ¥ = л/2,п —>сюп —tooДля степенного рядаК = {z:\zкcn(z —а)п круг сходимости К имеет видп=0У— а\ < R}. Например, степенной ряд V J n2(z —1)” сходитсяп=0в круге К = {z: |г —1| < 1} и расходится вне этого круга.Для степенного ряда видаСЮ^ 2 ап(х - х 0)п,(11)п=0где ап (те = 0,1,2,...), Xq — заданные действительные числа, х —действительное переменное, существует, согласно теореме 2, та430Гл.
IX . Функциональные рядыкое R (R ф 0 — число или +оо), что при R ф 0,+оо ряд (11) сходится, если |ж —Жо| < R, и расходится, если |ж —Жо) > R. Интервал(жо —R, Хо + R ) называют интервалом сходимости, a R — радиусомсходимости ряда (11). Радиус сходимости ряда (11) совпадает с раСЮдиусом сходимости рядаan(z —хо)п, где г — комплексное переп=0менное. При R = 0 ряд (11) сходится лишь в точке х = X q , а при= +оо — на всей числовой прямой.2.Р е г у л я р н ы е ф у н к ц и и .
Введем понятие функции комплексного переменного. Пусть каждой точке z £ Е, где Е — множествоточек комплексной плоскости, поставлено в соответствие комплексное число w. Тогда говорят, что на множестве Е определена функциякомплексного переменного, и пишут w = f (z) , где символом / обозначено правило (закон), определяющее это соответствие.Понятия предела, непрерывности, производной для функции комплексного переменного вводятся по аналогии с соответствующими понятиями для функции действительного переменного. ЕслиRVe > О 3 6 = 5е > 0: Vz: \z —а\ < 5е ^|/(z)—f ( a) \ < е,то функцию f ( z ) называют непрерывной в точке а.СЮОтметим еще, что понятие равномерной сходимости рядаun(z)п= 1с комплексными членами формально вводится так же, как и для рядовс действительными членами, а сумма равномерно сходящегося ряда,составленного из непрерывных функций комплексного переменного,есть непрерывная функция.Введем важное для функций комплексного переменного понятиерегулярности.Функция комплексного переменного f ( z ) называется регулярной(однозначной аналитической, голоморфной) в точке а, если она определена в некоторой окрестности точки а и представима в некоторомкруге |z —ct\ < р, р > 0, сходящимся к f ( z ) степенным рядомСЮf ( z) = ^ c „ ( z ^ a ) ”.п =ООтметим, что любой многочлен, т.
е. функция вида P(z) =(12)пЕ ayzk,k= Оявляется регулярной функцией в каждой точке комплексной плоскости.Рациональная функция f ( z ) =где Рп и Qm — многочленыQm\Z)степени п и гп соответственно, регулярна в каждой точке а, в которойQm(o.) Ф 0. Если многочлены Рп и Qm не имеют общих корней и если§43. Степенные рядыг = Zq — корень многочлена Qm(z), то431limf ( z ) = оо, а точку ZqZ —!-Z 0называют полюсом функции f (z). Полюсы — один из типов особыхточек функций комплексного переменного (см.
[6]).В теории функций комплексного переменного доказывается, чтоСЮна границе круга сходимости степенного рядаc„(z ^ а)” лежитп=0хотя бы одна особая точка его суммы f ( z ) и что радиус сходимостиэтого ряда равен расстоянию от точки а до ближайшей к а особойточки функции f (z).В частности, если f ( z ) =причем многочлены Рп и QmQm\Z)не имеют общих корней, то радиус сходимостиRстепенного рядаСЮc„(z ^ а)” равен расстоянию от точкиадо ближайшего к этойп=0точке корня многочлена Qm(z), т.
е.R =m in\zh — а\,где zp (к = 1,то) — корни многочлена Qm(z) (предполагается, чтоа ф гк, к = 1,т).^Например, если f ( z ) = г—-тто корнями многочлена( г - 3 ) ( z 2 + 1)(z —3)(z2 + 1) являются числа Z\ = 3, Z2 = i, Zz = —г. Поэтому радиусСЮсходимостиcn(z —I)2 равен наименьп=0шему из чисел |3 —1|, \i —1|, \i + 1|, т. е. равен \[2.Rстепенного ряда f ( z ) =Т е о р е м а 5. Функция f(z), регулярная в точке а, единственнымобразом представляется рядом (12).О Пусть функция f ( z ) имеет два представления в виде степенногоряда (12) в круге К = {z: \z —а\ < р}, где р > 0, т. е.СЮСЮf ( z) = Лс»(г “ а)П = ^ C n { z - а ) п .П=0П=0Докажем, что сп = сп для п = 0,1,2,...СЮПо условию ряды(13)СЮc„(z ^ а)” иc„(z ^ а)” сходятся в круп=0п=0ге К, и поэтому (см.
следствие 1 из теоремы 1) эти ряды сходятсяравномерно в круге К\ = {z: \z —а\ ^ р\ < р}, а их общая сумма —непрерывная в круге К\ функция. В частности, функция f ( z ) непрерывна в точке а. Подходя к пределу при г - t o в равенстве (13),получаем Со = Сц. Отбрасывая одинаковые слагаемые со и со в равен-Гл. IX . Функциональные ряды432стве (13), получаем после деления на г —а равенствоci + с2(г —а) + c3(z - а)2 + ... = с\ + с2(г —а) + с3(г —а)2 +(14)которое справедливо в круге К с выколотой точкой а. Ряды в левойи правой частях (14) сходятся равномерно в круге К \ (следствие 2из теоремы 1), а их общая сумма непрерывна в круге К \.
Переходяв равенстве (14) к пределу при г -+ а, получаем С\ =С\. Справедливость равенства сп = сп при любом п устанавливается с помощьюиндукции. •3.С вой ства ст еп ен н ы х рядов.Т е о р е м а 6. Степенные рядыСЮуп=0сюУс" z n+1,П+ 1п=0У ncnz n^ 1(15)(16)(17)71=1имеют один и тот же радиус сходимости.О Пусть Д, Ri и Д2 — радиусы сходимости рядов (15), (16) и (17) соответственно, К , К \ и К 3 — круги сходимости этих рядов. Докажем,чтоR 1 = R = Д2.(18)Так как —-— < 1 < п для любого п € N, топ+ 1Сп ~п+1 ^ \z\ • \cnz n\ ^ \z\' • \ncnz n |.(19)п+ 1Неравенства (19) справедливы при любом ri € N и при любом z.а) Пусть г = Zq € К 3 и Zq ф 0.
Тогда по теореме 2 ряд (17) сходитсяабсолютно в точке Zq, а из правого неравенства (19) в силу теоремысравнения следует абсолютная сходимость ряда (15) в точке zq. Итак,если Zq € К 2 , ТО Zq € К , И ПОЭТОМУД2R■(20)б) Аналогично, если г = Zq ф 0 и Zq € К , то из левого неравенства (19) следует, что ряд (16) абсолютно сходится в точке zq. Такимобразом, если Zq € К , то Zq € К i, и поэтомуД^Дь(21)Из (20) и (21) получаем двойное неравенствоД2ДДх.(22)§43. Степенные ряды433в) Докажем, чтоR \ ^ R 2-(23)Пусть Zq £ K i и Zq ф 0. Тогда \z q \ < R i, и ряд (16) абсолютносходится вточкеZg (теорема 2).
Выберем р так, чтобывыполнялисьнеравенства\z q \ < р < R \.(24)Запишем следующее равенство:П+1\псп г Г 1\ =п+ 1Ы Г +1 п(п + 1)р JЫ2(25)Так как р £ К i в силу условия (24), то ряд (16) сходится при z = р,и поэтомуЗ А / > 0 : Vn 6 W + cnpn+1 «С М.(26)п+1Обозначим= а. Тогда 0 < q < 1, так как Zg ф 0, и выполняетсяРусловие (24). Из равенства (25) в силу условия (26) следует, чтоInCnZ™-1] ^ , 4 n ( n + l)qn+1,\ЩooТак как ряд0< q< l.(27)м——- п(п + 1)qn+1, где 0 < q < 1, сходится по признаку„=1 N 2Д’Аламбера, то из (27) следует абсолютная сходимость ряда (17) вточке Zg. Итак, если Zg £ К i, то Zg £ К 2 , откуда получаемR i ^ R 2-(28)Из неравенств (22) и (28) следует равенство (18).
•Обратимся теперь к степенным рядам вида (11), где коэффициенты ряда — действительные числа, а переменное х принимает действительные значения.Т е о р е м а 7. Если рядОО^ 2 а к(х - х 0)к = f ( x )к(29)=Оимеет радиус сходимости R > 0, то:1) в интервале сходимости (жо — R,Xg + R ) функция / имеет производные любого порядка, получаемые почленным дифференцированиемряда (29);2)внутри интервала сходимости этот рядможнопочленноинтегрировать, т. е.
для любого х £ (xg —R, Х д + R )справедливоГл. IX . Функциональные ряды434равенство=жо(а дк=ОО Рассмотрим ряд^ 2 к а к( х - х о)*- 1 ,(31)fc=iсоставленный из производных членов ряда (29). По теореме 6 ряд (31)имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (29), а по следствию 1из теоремы 1 ряд (31) сходится равномерно на отрезке А р = [жо ——р , х о + р], где р — произвольное число такое, что 0 < р < R.В силу теоремы 11 из § 42 ряд (29) можно почленно дифференцировать на Ар, а значит, и в любой точке х G (жо —R, Xq + К), т.
е.справедливо равенствоСЮf ' (x) = ^ккак(х —жо)*- 1 ,хG (жо—R , xq + К).(32)= 1По индукции доказывается, чтоСЮ/(»)(ж) = Y , акк(к - 1)...(к- (п - 1))(ж - х 0)к~п,(33)к=пгде те G Л/, ж G (жо —R, Xq + К), т. е. ряд (29) можно почленно дифференцировать любое число раз.Справедливость равенства (30) следует из теоремы 9 из § 42. •С л е д с т в и е . Коэффициенты ряда (29), имеющего радиус сходимости R > 0, выражаются формуламиао = f(xo),ап = ^те GN.О Формулы (34) получаются из равенств (29) и (33) при х =(34)Xq.•З а м е ч а н и е 3.
Из формул (34) следует единственность разложенияфункции f ( x ) в степенной ряд вида (29).§ 44. Р яд Т ейлора1.П о н я т и е р я д а Т е й л о р а . Если функция /(ж) определена в некоторой окрестности точки Xq и имеет в точке Xq производные всехпорядков, то степенной ряд+(!)п=1называется рядом Тейлора функции / в точке Xq.435§44- Рид ТейлораПусть функция / регулярна в точке жо, т.
е. представляется внекоторой окрестности точки X q с х о д я щ и м с я к э т о й функции степенным рядомСЮf ( x ) = ^ 2 ап(х ^ х 0)п,■—ж0| < Р, Р > 0.(2)п=0Тогда по теореме 7 из § 43 функция / бесконечно дифференцируемав окрестности точки Xq, причем коэффициенты ряда (2) выражаютсяформуламиа0 = f ( x 0),ап = ^п £ N.(3)Таким образом, степенной ряд для функции /(ж), регулярной в данной точке а, совпадает с рядом Тейлора функции / в точке а.Если известно, что функция /(ж) бесконечно дифференцируемав точке а (и даже в некоторой окрестности этой точки), то нельзяутверждать, что составленный для этой функции ряд Тейлора (1)сходится при х ф Хо к функции f(x).Рассмотрим функцию /(ж) = е-1 /®2, х ф 0, /(0 ) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
