Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Таким образом, предельнаяфункция/(ж) = 0, х € R.Так как при х ф 0 справедливо неравенство 1 + теа ж2 2теа/ 2|ж|,причем это неравенство обращается в равенство лишь в случае, когдатеа ж2 = 1, т. е. |ж| = те- 0 / 2, тоIf n( x) — /(ж)| ^ 2WwJ W l ^ 2п“/ 2|ж|=— j— ,n“/ 2- 2х ф 0.TСледовательно, sup |f n(x) —f ( x )| = — \------ У 0 при те —^ oo, еслиxe ena/- и поэтому /„(ж) 14 0, x € R.a> 4,б)Если x € [0,1), то x n —У 0 при те —у о о , и поэтому /„(ж) - А 0 прите -А о о .
Если ж = 1, то /„(1) = 0, и поэтому /(1 ) = 0. Следовательно,/ (ж) = о, ж е [0,1].Чтобы вычислить sup |/ п(ж) —/(ж)] = sup |/ п(ж)|, найдем точкихеЕхеЕэкстремума функции /„(ж).Уравнение f'n(ж) = теж”-1 —(те + 1)ж” = ж”-1 (те —ж(те + 1)) = 0 имеет внутри отрезка [0,1] единственный корень х п = —пРичем/\ ^1f n( x n) = ( — у ) - • Заметим, что Д(ж) > 0 при ж G (0, жп) и Д(ж) < О\ ТЬ"Т" J. / ?!Гл. I X . Ф ункциональны е ряды412при ж € (хп, 1). Поэтому sup f n ( x ) = max /„(ж) = f n ( x n ) < — Д л я всехxeEnn € N и, согласно теореме 1, /„(ж) 14 0, x € [0,1].в)Учитывая, что teXai —¥ 0 при t -X +oo (если a > 0), находимlim f n ( x ) = f ( x ) = 0 , x G [ 0 ,+ o g ].П —¥ OO2_Так как f'n{x) = nxeXnx{2 —xn) < 0 при x > —, то функция /„(ж)является убывающей на промежутке, +ooj , и поэтомуs u p /„(ж) ^ / п ( ^ ) = ^ е-2 -1 0прип -1 оо.По теореме 1 последовательность { /п(ж)} равномерно сходится к/(ж) = 0 на множестве Е = [2, +оо).
▲Т е о р е м а 2 (критерий Коши равномерной сходимости последовательности). Д л я того чтобы последовательность функций { /п(ж)}сходилась равномерно на множестве Е, необходимо и достаточно,чтобы выполнялось условие КошиVe > 0 3 N e : Vn > N e Ур GNУхО Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть /„(ж)лению равномерной сходимостиVe > 0 3 N e : Ук ':> X УхGGE -> \fn+p(x) - f n(x)\ < e. (6)/(ж), ж € Е.
Тогда по опредеЕ -> \fk(x) - / ( ж)| < | .В частности, (7) выполняется при к = п, еслидля р € N, т. е.|/«(ж) - Дж)| < | ,(7)N e, и при fc = п + р|/„+ р(ж) - /(ж)| < | ,откуда следует, что|/п+р(ж) - / п(ж)| = |(/п+р(ж) - /(ж)) - (/„(ж) - /(ж))| «С^ Ifn+P(x) - Дж)| + |/ п(ж) - /(ж)| < | + | = е,т. е. выполняется условие (6).Д о с т а т о ч н о с т ь . Заметим, что числовая последовательность{/п(жо)}, где Хо — фиксированная точка множества Е, удовлетворяетусловию Коши (6) и в силу критерия Коши для числовой последовательности (§ 8) существует конечныйlim /„ ( ж0).(8)П —¥ ООТак как предел (8) существует для каждого Xq € Е, то на множестве Еопределена функция (обозначим ее /(ж)), которая является предельной функцией для последовательности { /п(ж)} на множестве Е.§ 4 2 .
Р авном ерная сходимост ь последоват ельност ей и рядов413Запишем условие Коши (6) в видеVe > 0 3 N e : Vn > N e Ур G N V i 6 £ - 4 | f„+p(x) - f„(x) | <(9)Переходя в неравенстве (9) к пределу при р —1 оо (при каждом фиксированном n~^ Ne и фиксированном х £ £ ) и учитывая, что существуетlim fn+p(x) = f i x) , получаем неравенствор —s-ooIf i x ) - fn(x) I ^ 2 < £ ’справедливое при всех п ^ N e и для всех х £ £ .
Это означает, чтоfn{x)f{x),х £ £.•в)Неравномерная сходимость последовательности функций.Последовательность { /п(ж)} не является равномерно сходящейся намножестве Е, если условие Коши (6) не выполняется, т. е.З е 0 > 0: Ук £ N 3 п ^ к З р £ N 3 х £ Е: |f n+p(x) —/„(ж)| ^ £о- (Ю)П р и м е р 4. Доказать, что последовательность {/„(ж)}, где /„(ж) =Inпж„„не является равномерно сходящейся на множестве Е = (0, 1)./пхА Для любого к £ N возьмем р = к = п, ж = 1/к = 1/п. Тогда_\fn+pix) ~ f n i x ) \ = / 2» ( ^ ) - / n ( ^ )In 2V2V2 “ £°5т. е.
выполняется условие (10), и поэтому последовательность { /п(ж)}не является равномерно сходящейся на Е. кЕсли существует предельная функция /(ж) последовательности{/„(ж)} на множестве Е, но не выполняется условие (3), т. е.3 £о > 0: VfcG/V 3 n f / k Зж £ Е :\f„(x) - f(x)\ >£0,(11)то говорят, что последовательность { /п(ж)} сходится неравномернона множестве Е к функции fix).П р и м е р 5. Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множестве Е последовательность {/„(ж)}, если:а)/„(ж ) = ж" - ж2", £ '= [0 ,1 ];б)/п(ж) = nsin£=(0,1].а) В этом случае предельная функция /(ж) = 0, ж £ Е. Для любого к £ N возьмем п = к, ж = 1/ \/2. Тогда ж £ Е при любом п £ N иАIfnix) — f i x ) | = f n (^—j^|i.
e. выполняется условие (11), ипоэтому последовательность { /п(ж)} сходится неравномерно на множестве £ к /(ж) = 0.б) Здесь предельная функция /(ж) = ж-1 на множестве ж > 0 (пример 1, б)). Возьмем ж = 1 / п . Тогда | / п( ж) ^/ ( ж) | = | n s i n l ^ n |414Гл. I X . Ф ункциональны е ряды^ 1 —sin 1 = £о для любого те £ Л/, и поэтому {/п(ж)} сходится неравномерно на множестве Е к ж-1 .
▲Неравномерную сходимость последовательности можно установить, используя теорему 1. Если условие (4) не выполняется, т. е.SUP | fn(x) — f ( x )| 7h 0хеЕпри те —1 oo,(12)то {/п(ж)} сходится неравномерно на множестве Е к f(x).П р и м е р 6 . Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность f n(x) = п?х2еХпх, Е = (0,2).А Предельная функция f ( x) = 0, х £ Е. Так как уравнение f'n(x) == п 2хеХпх {2 ^ хп) имеет на интервале (0 , 2 ) единственный кореньх п = 2 /те, причем f'n{x) > 0 при х £ (0 , х п) и f'n{x) < 0 при х £ (х п, 2 ), тоsup f n(xn) = f n(xn) = 4 е -1 . Таким образом, выполняется условие (12),хеЕи поэтому {/п(ж)} сходится неравномерно на множестве Е к 0. ▲3.Определение и критерий равномерной сходимостифункционального ряда. Пусть функции ип(х), те £ А/, определенына множестве Е.
ОбозначимПS n ( x ) = '^2'ик(х).(13)О п р1 е д е л е н и е . Рядk= 1СЮJ 2 un(x )(14)п=1называется равномерно сходящимся на множестве Е, если на этоммножестве определена функция S(x) такая, чтоS n(x)14 S(x),х £ Е.(15)Согласно определению равномерной сходимости последовательности функций запись (15) означает, чтоVe > 0 3 N e : Vn > N e Ух £ Е -> |S„(s) - S(x)\ < e,(16)где S(x) — сумма ряда (14), a S n(x) определяется формулой (13).Пусть rn(x) = S(x) — S n(x), т.е.
rn(x) — те-й остаток ряда (14).Тогда условие (15) примет видгп(х) =4 0, х £ Е.Это означает, чтоVe > О ЗАС: Vn ^ N e Ух £ Е —1 \гп(х)\ < е.(17)В силу теоремы 1 для равномерной сходимости ряда (14) на множестве Е необходимо и достаточно, чтобыsup |г„(ж)| —¥ 0хеЕприте —¥ оо.(18)§ 4 2 . Р авном ерная сходимост ь последоват ельност ей и рядов415Если ряд (14) сходится на множестве Е, но не выполняется условие (17) или равносильное ему условие (18), то говорят, что ряд (14)сходится неравномерно на множестве Е.Следовательно, еслиЗе о > 0 : Ук £ N 3 п ^ кЗж € Е: |г„(ж)| > е0,(19)илиsup |г„(ж)| -ft 0хеЕпри п —1 оо,(20)то ряд (14) сходится неравномерно на множестве Е.П р и м е р 7.
Исследовать на сходимость и равномерную сходиСЮмость на указанных множествах ряд ^ ^ « „(ж ), если:П=1а) ип(х) = ж”- 1 , Е х = (-<?,<?), где 0 < q < 1, Е 2 = (-1 ,1 );б)= (0, +оо);= (1 + шО(1 + С. + а д - El = 16- +0!'1 гт 6 > °' Ег =в) «„(ж) = - 4 = = , Е = [0, +оо).V■п+ х1 —X^1для любого ж £ Е 2,А а) В этом случае S n(ж) = -------- , S (ж) =1 X1 Xт. е.
ряд сходится на множестве Е 2, а значит, и напДля любого х £ Ех выполняется неравенство |г„(ж)| =«С1 —хs М"I V sV ——9"<откуда следует, что sup I г„(ж), и поэтому выпол1 — 1*1хеЕг1 - 9няется условие (18). Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве Е\.На множестве Е2 ряд сходится неравномерно. В самом деле, возь~1~/•1\ ”мем ж = 1 -----. Тогда ж £ Е для любого п £ N и гп(ж) =n i l ----- -+п\п)-+ +оо при ri -+ оо, откуда следует, что выполняется условие (20).——б) Так как «„(ж) = —-------- ——— —— , то S n(ж) = — -----1 + пх11 + (п + 1)х11+ ж,t \J =и поэтому гп(ж), UywXX1 + (п + 1)ж1+ж.
Если ж £ Е2, то S n(ж) -+ S (ж) при п -¥ оо, где S (ж) =X X W ^ X W 1 ,X J,1,1 \1 + (п + 1)ж•На множестве Е\ ряд сходится равномерно, так как |г„(ж)| ^<1’ и П0ЭТ0МУ выполняется условие (18), а на множествеЕ2 — неравномерно, так как гп ( —-— ) = - , и поэтому выполняется\п + 1/условие (20).2Гл. I X . Ф ункциональны е ряды416в) При каждом ж У О последовательность { ^ } монотонноI Дп + х )стремится к нулю, и поэтому по признаку Лейбница (§ 41, теорема 1)rvr-1 Г сходится на множестве Е, причем |г„(ж)| <1 |«„+1(ж)| =Дп + х11________ ^«С,откудаследует,что выполняется условие (18).Дп + 1 + * Дп + 1Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве Е.
▲Т е о р е м а 3 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Длятого чтобы ряд (14) равномерно сходился на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, т. е.ряд71=1п+рVe > О 3 N e : Vn > N e Ур G N V i e T - 4^2u k( x)<£■(21)k=П+1О По определению равномерная сходимость ряда (14) на множестве Е означает равномерную сходимость последовательности {^„(ж)}на Е.Согласно теореме 2 S n(x) 14 S(x) на Е тогда и только тогда, когдаVe > 0 3 Ne : Vn > N e Ур G N Ух G E -+ |S„+p(a:) - Sn(x)\ < e.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
