Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Н есобст венные инт егралыПоэтому для379£" € [$е, +оо) из (45) и (46) следует, чтоС"J f ( x ) g ( x ) d x < 2 М ( ^ + ^ ) = е>ет. е. функция /<? удовлетворяет на промежутке [а, +оо) условиюКоши (27), и по теореме 3 интеграл (40) сходится. •З а м е ч а н и е 8. У словия (3 7 )-(3 9 ) о зн ачаю т, что ф у н к ц и я д ( х ) монотон но с т р е м и т с я к нулю при х —¥ + о о .С л е д с т в и е (признак Абеля).
Если функция / непрерывна на про+ оомежутке А = [а, +оо), интеграл J = j f ( x) dx сходится, а функцияад(х) ограничена на А. и ее производная д'(х) не меняет знака на А(удовлетворяет условию (37) или (38)), то интеграл (40) сходится.О По теореме о пределе монотонной функции существует конечныйlim g(x) = g( +оо), и поэтому функция gi(x) = g(x) —g(+oo) монотонно стремится к нулю при х -А +оо. Из сходимости интегралаJ следует, что функция / имеет ограниченную первообразную.
Потеореме 6 интеграл от функции f ( x) gi ( x) по промежутку А сходится. Так как f ( x) g( x) = f ( x ) g ( + оо) + f ( x) gi ( x) , то интеграл (40) сходится. •П р и м е р 16. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость интеграл+ СЮJ = J (ех + х) cos е2х dx.оА Положим е2х = t. Тогда х = - Int, dx = —, и поэтому+ 00+ СЮJ = ^d t + \ f — costdt.(47)лД4J tyJllОба интеграла в формуле (47) сходятся по признаку Дирихле, так2Jкак функция cost имеет ограниченную первообразную ^ J co std t ^1^2 ^, а функции —р и+ оомонотонно стремятся к нулю при t -А +оо.1 11Покажем, что J — j ip(t)\cos 1 1dt, где ip(t) = 2 () ’ Pacxo_l/j.\ \11 “Р c o s 2 ^,дится.
DВ самом деле, ip(t)^ —при 4-t ^\ l1 ,l | cost, I| ^\ cos2 4t- = ----/,\ I, , . 1 + cos2t ™откуда следует неравенство (p(t)\cost\ ^ ---- —---- . 1 ак как интегралГл. VII. Определенный интеграл380+ооГ 1 + cos 21 ,,41-------(расходится(это следует из сходимости по признаку1+СЮ+СЮ„f cos 21/*\Дирихле интегралаat и расходимости интеграла—) , то11по теореме 2 интеграл J расходится. Таким образом, интеграл J сходится условно. ▲П р и м е р 17.
Исследовать на сходимость интеграл+ оотJ —СJах.л / х — sm х4А Теорему7sin х—=6 применить нельзя, так как д(х) =^------ не являл/х — sin хется монотонной при х ф 4. Запишем функцию <?(ж) в следующем.ч„ице: <,(,;) =11 / ,s i n x \\ _ 1(_! -jл /х \л/ XJгдеs in *л/хV i , так как х ф 4. Положимip(t) = (1 —t))- 11,, \t\ЩфФ -\ -. По формуле Тейлора с остаточным членом вформе Лагранжа получаемip(t) =1 + t + ^ p - t 2,где |С| «С \t\ ф 1 , у,"(О = 2(1 —С)- 3 ) |у>"(01 ^Отсюда следует, что если х ф 4, то,sinx\11 ------ = 1 +,, s in *V* 1где \h(x)\ ф.
8232 4., , , ч+ /II,Vхг,^ —. Поэтомуsin a:sin х, sin2 хVх+ Slnf h(x), где функция ф(х) = Slly д(х \ не влияет на сходимостьVхVх+ооинтеграла J (теорема 5), так как \ф(х)I ^ — i - , а интеграл—г dxх-^ х—sin х+оо _сходится. Из сходимости интеграла+оо . ,X 3/ 2—J4J4X 3/ 2dx (пример 15) и расхо-л/Хдимости интеграла J Sm х dx (пример 14) следует, что интеграл Jрасходится. ▲4У П РА Ж Н Е Н И Я К ГЛАВЕ V II1. Д о к азать, что если ф у н к ц и я <f(x) и н т е гр и р у е м а на о т р е зк е [а, Ь] и длявсех х € [а, Ъ] в ы п о л н яется условие с<р(х) Ф<1, а ф у н к ц и я / н еп р еры вн а нао тр е зк е [с, d], то слож н ая ф у н к ц и я f(<p(x)) и н т егр и р у е м а на о т р е зк е [а, Ъ].Упражнения к главе V II3812 .
П у сть ф у н к ц и я / н еп р ер ы вн а на о т р е зк е [а, Ь] и в ы п ол н яется нера-ьвен ств о j f ( x ) d x > 0. Д о к азать, ч то с у щ ес т в у ет о т р е зо к Д С [а, Ь] так о й ,ачто f ( x ) > 0 для всех х € Д .3 . Д о к азать, что если ф у н к ц и я / н еп р ер ы вн а при х ^ 0 и су щ ест в у етк онечны й lim f ( x ) = а, тох —У+ о о-Llim— f ( t ) d t = а.Т -4- +00 Т Jо4 . Д о к азать, что для лю б ы х ф у н к ц и й / и р, и н т е гр и р у ем ы х на о т р езке [а, 5], в ы п о л н яется н ер авен ство К о ш и ^Б у н яко вск о гоЪЬ,1 /9J f ( x ) y ( x ) d x «С ( f f ( x ) d x )аЪ1 /9iKj y \ x ) d x Jа.а5 . Д о к азать, ч то при лю бом п € N сп равед ли вы равен ства:У JоsinxJ2о\ sinx )26 . Найти lim I { leJ (It) ( еп ~dt^ +A Uо e" dt) Vо”7. Д о к азать, что для лю бой ф у н к ц и и / , непреры вн ой на о т р е зк е [0,1],вы п о л н яю тся равен ства:*/2тг/26) J x f (since) d x = ^ j f (since) dx.a) j /(sin ce) d x = j /( c o s x ) dee;ооо08 .
Д о к азать, ч то если ф у н к ц и я / и н т егр и р у е м а на о т р е зк е [а, 5], то6lim / |/(ее + £) — /(се) | d x = 0,гдеi -И) J/(ее) = 0для всехее 0 [а, 6].а9 . Д о к азать, ч то если ф у н к ц и я /д ей стви тел ьн о й оси, то ф у н к ц и яи н те гр и р у ем а на лю бом о т р е зк еЖ+<5F s (x) = — jf{t)dt,где6 > 0,х —5н еп рер ы вн а на R , а если ф у н к ц и я / н еп р ер ы вн а на R, то ф у н к ц и я F g ( x )ди ф ф ер ен ц и р у ем а на R.ъ1 0 . Д о к азать, что р ав ен ств о j f l { x ) d x = 0 для и н тегр и р у ем о й на отар езк е [а, Ь] ф у н к ц и и в ы п о л н яется т о гд а и то л ько то гд а, когда f ( x ) = 0 вовсех т о ч к а х н еп р ер ы вн о сти ф у н к ц и и / .1 1 .
Д о к азать, что если ф у н к ц и я / д важ ды н епреры вн о ди ф ф ерен ц и р уем а на о т р е зк е [0, 1 ], тоlim „Г [ №п-4 0оUоd x - ± Y f ( ^ ] = М71 <к=о\п /Jд М2.Гл. VII. Определенный интеграл3821 2 . Д о к азать, ч то если ф у н к ц и я F ( x ) ди ф ф ер ен ц и р у ем а во всех то ч к ахо т р е зк а [а,Ь], кр о м е т о ч ек Хк (к = 1, m ), F ' (х) = f ( x ) для всех х € [а,Ь],х ф Хк (к = 1 , т ) , п р и ч ем Хк — т о ч к и р а зр ы ва первого рода ф у н к ц и и F , аф у н к ц и я / и н т егр и р у ем а на о т р е зк е [а, Ъ], то сп р авед ли в а ф орм улаь_тj f { x ) d x = F ( b - 0) - F { a + 0) ОF ( x k + 0) - F { x k - 0)).k= 11 3 .
П усть f ( x ) = a x 2 + bx + c > 0 для всех x € [cei, сег]. Д о к азать, чтоплощ адь S ф и гу р ы G = { ( х . , у ) : x iххо, 0у/ ( * ) } в ы р а ж ает сяформулой СимпсонаS = ^{х-> - x i ) ( f ( x i ) + f ( x 2) + 4 /( ж 0)),гдех 0 = Ж1 + Ж2,1 4 . П о казать, что длина S плоской кр и во й , зад анн ой в полярн ы х коорд и н а т а х у р ав н ен и ем р = р(<р), а/3, где p(<f) — ф у н к ц и я , н епреры вноди ф ф ер ен ц и р у ем ая на о т р е зк е [а, /3], в ы р а ж а е тс я ф орм улойИ ____________s = / V p 4 v ) + (p'ivWdip.Ol1 5 . П у сть ф у н к ц и я у = f ( x ) н еп р ер ы вн а на о т р е зк е [а, Ь], где 0аЬи / ( * ) ^ 0 для всех х € [а, Ь].
Д о к азать, что объем V тела, образованногопри вращ ени и в о к р у г оси О у ф и гу р ы G = {(се, у): ахЬ, OsCj / j C /(се)},равен5V = 2w J x f (се) </.г.а1 6 . Д о к азать, ч то если ф у н к ц и я / огр ан и чен а на о т р е зк е [а, Ь] и непреры вн а во всех т о ч к а х этого о т р е зк а , к р о м е конечного чи сла то ч ек , то э таф у н к ц и я и н т егр и р у ем а на о т р е зк е [а, Ь].Г Л А В А VIIIЧИСЛОВЫЕ РЯ ДЫ§ 39. Определение и свойства сходящ ихся рядов1.Сходящийся числовой ряд и его сумма. Выражениеа-i + «2 + ... + ап + ..., где {ап} — заданная числовая последовательСЮность, будем называть числовым рядом и обозначать символомап,П= 1а числа ап будем называть членами ряда.
Сумму п первых членов ряСЮдаЕ ап будем называть п-й частичной суммой этого ряда и обознаП =1чать S ni т. е.пS} пn = ^ ^ а,/*.к= 1(1)Е 1 аП»(^)О п р е д е л е н и е . Ряд71=1называется сходящимся, если последовательность его частичныхсумм {S',,} имеет конечный предел S, т. е.lim S n = S.п —>сю(3)Число S, определяемое условиями (1) и (3), называют суммой ряда (2 ) и пишутСЮ$ > „ = S.(4)11= 1Если последовательность {S',,} не имеет конечного предела (пределне существует или бесконечен), то говорят, что ряд (2 ) расходится(является расходящимся).П р и м е р 1. Доказать, что рядСЮгде\q\ < 1,(5)11= 1сходится, и найти его сумму S.А Используя формулу для суммы п первых членов геометрическойГл.
VIII. Числовые ряды384прогрессии, получаемJfe-i _1 “ Я=Е ^ =тS,К=1_•91Я1“Я1 -9Так как qn 0прите —^ оо, если |g| < 1, то последовательность {S',,}имеет конечныйпредел, равный —-—, т. е. ряд (5)сходится и его1- qсумма S = ------ . ▲1- qП р и м е р 2. Доказать, что если при всех те € N выполняется равенствосъп — Ьп — Ьп-1-1(6 )и существует конечныйlim bn = 6,(7)П — т'ООто ряд (2 ) сходится, а его сумма S = Ъ\ — 6, т. е.сюJ 2 ( b n ^ b n+1) = h ^ b .n=1ппА Используя условие (6 ), получаем S n =а-к —Ек=1(8)Е(ь*- bk+ i) —к=1= h - Ъ2 + Ъ2 - h + ••• + Ъп- 1 - Ь п + Ьп - Ьп+1 = h - bn+1 , откуда всилу (7) следует сходимость ряда (2) и равенство (8 ). ▲П р и м е р 3. Найти сумму ряда (2), если а„ = —.-----------ррп„ ( „ + ! ) ( „ + 2)г.А Так кака„=1п ( п + 1 )(п + 2)~(те+ 2)^ тех'2 п ( п + 1 )(те + 2)~112п(п + 1 )2 (п + 1 )(п + 2) ’то последовательность {ап} удовлетворяет условиям (6 ) и (7), гдеЪп = — —!Ъ=2п(п + 1)0 , и по формуле (8 ) получаемоо11 ▲ЕП= 1п ( п + 1 )(п + 2)4'2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
