Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 63
Текст из файла (страница 63)
37.8то число Г? называютплощадью поверхности вращения, т. е. площадью поверхности, образующейся при вращении вокруг оси Ох графика функции у = /(ж),а ^ х ^Ь .У т в е р ж д е н и е 7. Если функция / имеет непрерывную производную на отрезке [а, Ь], то предел (29) существует, а площадь Г? поверхности вращения выражается формулойъ_________^ =2ж J f ( x ) y / 1 + (/'(ж ))2 da;.(30)аО Из формул (28) и (27) следует, чтоп= 7Г5 1 \/СЖ,; -Z j-i)2+(t/j-t / i - l ) 2 (Уг+ Уг- l ) ,(31)где yi = f(xi).
По теореме ЛагранжаУг ~ Уг- 1 = / '( & ) Д ж * ,( 32 )§ 3 7 . Прилож ения определенного инт еграла355где £* € А* = [ж*_1 ,ж*], Аж,. = ж* —ж,_1 . Поэтому формулу (28) можно записать в видеП£РТ = п^2(У г + V i - 1 >л/ 1 + ( / '( 6 ) )2 Аж*.(33)*= 1Прибавим и вычтем в правой части равенства (33) интегральную сумму для интеграла (30), соответствующую разбиению Т и выборкеС = 6 (* = 1,те), указанной формулой (32), т. е. суммуП<тт(€,д) = 2 т г $ : / ( 6 ) 0 + (/'(Сг))2 Аж*,(34)г= 1где <?(ж) = 27г/ ( ж) ^ /1 + (/'(ж ))2. Заметим, что в силу непрерывностифункции ^ для любой выборки £ существуетьИ т о стг(6 5 )=2?г/ / ( ж ) ^ 1+ (f ' ( x ) ) 2 d x .аПоэтому для доказательства формулы (30) достаточно показать,чтош = 3?т — &т{£,,д) —^ 0 при l(T)0.Из (33) и (34) следует, чтоПШ=+ Уг-1 ~ 2 /(6 ) )У 1 + ( /'( 6 ) ) 2 Лж*.i=1(35)(36)При оценке величины со воспользуемся тем, что функция / равномерно непрерывна на отрезке [а, Ь], т.
е. для любого е > 0 существует5е > 0 такое, что для любых точек ж', ж" из отрезка [а,Ь], удовлетворяющих условию |ж' —х"\ < 6е, выполняется неравенство|/(ж')-/(ж")|<§,(37)где число С > 0 будет выбрано ниже.Пусть разбиение Т удовлетворяет условию l(T) = max Аж, < 5е;1 $Сг<Сптогда |жi —6 | ^ 1(Т) < 6е, |ж*_1 —6 | ^ 1(Т) < 6е, так как€ А*.Из (37) следует, что\Уг ~/(6)1 = If ( X i )-/(6)1 <\Уг- 1 ~/(6)1 <и поэтому\Уг + У г - 1 - 2 № ) \ < Ц .(38)В силу непрерывности функции /'(ж ) на отрезке [а, Ь] существуетчисло М > 0 такое, что 0 < у/1 + (/'(ж ))2 < М для всех ж G [а, Ь] и, вчастности,о < У1 + (/'(6 ))2 < м ,*=Т“й.(39)356Гл.
V II. О пределенный инт егралИз (36), (38) и (39) получаем следующую оценку:2=12тгМ(Ъ - а)г.С(40)Возьмем С = 27тМ(Ь — а) в условии (37); тогда из (40) следует, чтодля любого г > 0 существует 6£ > 0 такое, что для каждого разбиения Т, мелкость ЦТ) которого удовлетворяет условию ЦТ) < 6£, выполняется неравенство \оо\ < г. Это означает, что и —>•0 приЦТ) —>• 0. Формула (30) доказана. •П р и м е р 5. Пользуясь формулой (30),вычислить площадь 2? поверхности сферического пояса высоты ft, если радиус сферыравен R.Д Сферический пояс высоты ft можно получить вращением дуги полуокружности,заданной уравнением у = /(ж) = д/Д 2 —ж2,а ^ ж ^ Ъ, где [а, Ь] С [—Д, Д], Ъ— а = ft,вокруг оси Ож (рис. 37.9). Так как/(ж )д/ l + (/'(ж ))2№ ) = - 7 l f e ? ' TOl + </' W ) ! = S = ъ= Л, и по формуле (30) получаем ^ = 2ттJ R d x =а= 2irR(b —а) = 2тгДЛ.
В частности, площадь поверхности сферы радиуса Д равна 47гД2. А5.Применение определенного интеграла при решении физических задач. Определенный интеграл широко применяется прирешении различных физических задач. С помощью определенного интеграла можно вычислять: путь, пройденный материальной точкой,если известна скорость движения; работупеременной силы (см. § 34, п. 1,6)); силудавления жидкости на плоскую фигуру;статические моменты и координаты центра масс плоской кривой и плоской фигуры и т. д.Пусть плоская пластинка G, имеющаяформу криволинейной трапеции, определяемой условиями ( 1 ), погружена вертикально в жидкость с плотностью р так,что ее боковые стороны параллельны поверхности жидкости и удалены от уровняжидкости на расстояния а и b (рис.
37.10).Требуется найти силу давления жидкости на пластинку.§37. Прилож ения определенного инт еграла357Из курса физики известно, что если пластинка погружена в жидкость и расположена горизонтально на расстоянии h от поверхностижидкости, то сила давления £? на одну из сторон пластинки равна9 = gphS,где S — площадь пластинки, g — ускорение силы тяжести. Такимобразом, сила давления — линейная функция от глубины погружения пластинки. Поэтому естественно разбить пластинку G на частипрямыми, параллельными поверхности жидкости (оси Оу).Пусть Т = {xi, i = 0, гг} — разбиение отрезка [а, Ь\.
Прямыми, проведенными через точки xi (i = 1 , гг —1 ), разобьем фигуру Gна п частей (полосок) Gi (i = 1, п). Выделим полоску Gi , ограниченную прямыми х = Xi - 1 и х — Xi (рис. 37.10). Площадь этой полоски приближенно равна площади прямоугольника с основанием A Xiи высотой f { x i ), глубину погружения всех точек полоски Gi можносчитать равной Х{. Поэтому сила давления жидкости на полоску Giприближенно равнаgpXif(xi)Axi,а сумма2=1приближенно равна силе давления жидкости на пластинку G.Если ЦТ) —>• 0, где ЦТ) — мелкость разбиения Т, а функция /непрерывна на отрезке [а, Ь], тогде(41)^ — 9 J p x f ( x ) dx.аЧисловыражаемое формулой (41), называют силой давленияжидкости на пластинку G.П р и м е р 8 . Вычислить силу давления 2? жидкости с плотностью р навертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса R и погруженнуюв жидкость так, что диаметр полукруга расположен на поверхности жидкости(рис.
37.11).Д Выберем систему координат так,как указано на рис. 37.11. Пользуясь формулой (41), где f (x) = л/ R 2 —ж2, а — 0, Ъ — R. получаемR__________22 — 2gp J х л / R 2 — х 2 dx = —^ др (R2 —ж2)3//2R_~2Р 9 о з^ R •АГл. V II. О пределенный инт еграл358§ 38. Несобственные интегралы1.Определение несобственных интегралов. Интеграл Римана был введен для ограниченных на отрезке функций.
Естественнопоставить вопрос о распространении понятия интеграла на случайбесконечного промежутка, а также на случай, когда подынтегральная функция является неограниченной.а) Интеграл на бесконечном промежутке. Рассмотрим функцию-. Эта функция непрерывна на отрезке [0,£] при любом £ ^ 0, и1 + ж2‘^ dxпоэтому существует интеграл J(£) = f —= arctg £, откуда следуJ 1 ~\~ хО+ооdx7Го = - . а симх2’+о°Оf dx^,1вол——- называют несобственным интегралом от функции. + ж21+х2она бесконечном промежутке [0 , +оо).Число ^ можно интерпретировать как площадь фигуры, ограниет, чтоlim J(£) = Ц-.
В этом случае пишут^+оо2ченной графиком функции у =J-11 , х ^ 0 , и координатными ося1 + ж2ми (рис. 38.1).Рассмотрим несобственный интеграл на бесконечном промежуткеот функции / .Пусть функция /(ж) определена при х ^ а, где а — заданноечисло, и интегрируема на отрезке [а, £] при любом £ ^ а. Тогда сим+ооволJ /(ж) dx будем называть неасобственным интегралом от функции / на промежутке [а,+оо).
ЕслиСсуществует конечныйlim/ /(ж) dx = А , то говорят, что несобст-£ —>-+оо Jа+оовенный интеграл J /(ж) с?ж сходится и равен А, а функцию / называемют интегрируемой в несобственном смысле на промежутке [а,+оо).Таким образом, сходящийся несобственный интеграл от функции /на промежутке [а, +оо) определяется равенством+оо[ /(ж) dx =JСlim^+ о о[ /(ж) dx.J(1 )§38.
Н есобст венные инт егралыЕ сли ф ункция359J f ( x ) d x н е и м е е т к о н е ч н о г о п р е д е л а п р и £ —^ + о о ,а+ СЮJ f ( x ) d x расходится.то го в о р я т, ч то н е со б с тв е н н ы й и н те гр а лаЗ а м е ч а н и е 1. С ходи м ость и н т егр а л а (1) р авн о си л ьн а сх о ди м ости ин-+00т е гр ал а/ f ( x ) d x , где с — лю бое число и з п р о м е ж у т к а (а, + о о ), т а к к акZссZJ f ( x ) dx = J f ( x ) dx + J f ( x ) dx.aacИ н т е г р а л н а б е с к о н е ч н о м п р о м е ж у т к е в и д а ( — оо, а) о п р е д е л я е тс яа н а л о ги ч но :ааjf ( x ) dx =2J f ( x ) dx.lim—OO( )£0П ри м ер1.и н теграл J = JП оказать, чтов ы ч и с л и ть это т и н те гр а л .x e ^ xd x с х о д и т с я ,и- °°оАО бозначим F (£ ) =J х е ^ х dx.
Т о г д аСПО = \ f e ~ x2d(-x2) == i ( e ^ 2 - 1).ОТ а к как сущ ествует конечны йl imF(£) = — i то со гл а сн о опреде-£ -> —сю2л е н и ю (2 ) и н т е г р а л J с у щ е с т в у е т , п р и ч е м J = — i .▲О пределим , наконец, н е со б стве н н ы й и н те гр а л на п р о м е ж у т к е+ ооJ f ( x ) dx =—ooR:пlimJ f ( x ) dx .(3)^ -> - 1-00 £В э т о м с л у ч а е п р е д п о л а г а е т с я , ч т о ф у н к ц и я / и н т е г р и р у е м а (п о Р и м а +оон у) на л ю б о м о тр езке де й стви те л ьн о й оси , а и н тегралJ f ( x ) dx на— СЮз ы в а е т с я с х о д я щ и м с я в с л у ч а е с у щ е с т в о в а н и я к о н е ч н о г о п р е д е л а (3 ),п р и ч е м э т о т предел не д о л ж е н за в и се ть о т то го , к а к и м сп о со б о м £иг/ с т р е м я т с я с о о т в е т с т в е н н о к ^ о о и к + о о . И н а ч е г о в о р я , и н т е г р а лГл.
VII. Определенный интеграл360сходится тогда и только тогда, когда существуют конечные предеоплы lim / f ( x) dx = Ji и lim / f ( x) dx = J 2 , где a € R, и при этом£ —►— ОО J»J—S-+ 0 0 JСQнесобственный интеграл по определению равен Ji + J 2 , т. е.+ 00а+СЮJf ( x ) d x = J f ( x ) d x + J f ( x ) dx.—oo— ooa+00dxП р и м е р 2. Показать, что интеграл J = f ----- -— ? сходится, и1 ”"i" X "t" XJвычислить этот интеграл.- °°nА Обозначим F(g,q) = f l + *+ x , , тогдаJ d(x + - j2x + 1 4„F K ' " , = / ( I + i ) ’ + 3 = 7 I m *g + HТак как limt —s-+oo7Гarctg t = —, a2f == 7 5 ( агс,8^ Г - агс‘6 У 7 г ) ^7Гlimarctg t =——,то существует ко--—00t —s2lim F(£,ri) = ~^=(— — ( ——) ) = —7=, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
