Учебник - Курс математического анализа - Тер-Крикоров (1238757), страница 64
Текст из файла (страница 64)
e.несобственныйV 3 V2V 2J)^3ч^+оо27rинтеграл сходится, причем J = —=. кнечныйC ^ -o oП р и м е р 3. Исследовать на сходимость интеграл4 -0 0dxА Пусть а ф 1, тогдаГ dx _ х 1 - < *3 ха1- а11 — аЕсли а >1,то существует конечный11 — аlimf; dx[ — = —-— , т. е. ин-C-s-+oo J х а1а —1i dxтеграл (4) сходится, причем J(a) = ----. Если а < 1,то lim — =(X 1£—^-f-oo J X1= + 00 , и поэтому интеграл (4) расходится.
При а = 1 интеграл такжерасходится, так как / — = 1п£ -+ +оо при £ -+ +оо.J х1Таким образом, интеграл (4) сходится при а > 1 и расходитсяпри а ^ 1 . ▲§38. Н есобст венны е инт егралыУпражнение361dx1. П о казать, что и н тегр ал------- — , где а > с,Jсх оди тся при а > 1 и р асх о д и тся при а ^ 1 .( х — с) ааб) Интеграл на конечном промежутке.
Рассмотрим функцию1у/1 — х. Эта функция непрерывна на промежутке [0,1), но не ограни-чена на этом промежутке. При любом £ Е [0,1) функция^1ин-у/1 - хСdx= -2 у /1 ^ ,тегрируема на отрезке [0 ,£], причем «/(£) = Jо л /Г ^= 2(1 —v^l —£)? откуда следует, что существует конечный^l i m^F(£) = 2. В этом случае говорят, что несобственный интегралот функции^у/1 — хна промежутке [0 , 1 ) равен2 , т. е.
[^ХJу / 1 — х=2.оЧисло 2 можно интерпретировать как площадь заштрихованной нарис. 38.2 фигуры G.Обратимся к несобственному интегралу наконечном промежутке. Пусть функция /(ж) определена на конечном промежутке [а, 6), интегрируема на отрезке£] при любом £ Е [а, Ъ).СЕсли существует конечный lim J /(ж) dx =[а,^а= А , то говорят, что несобственный интеграл отфункции /(ж) на промежутке [а, 6) равен А. Егоъобозначают символом J f (x) dx. Таким образом,по определениюаСJ f ( x ) dx = Hm о J f ( x ) dx.ъа(5)Рис.
38.2аВ случае существования конечного предела (5) несобственный инътеграл / / (ж) dx называют сходящимся, в противном случае — расъъходящимся; символ J /(ж) dx употребляют как в случае сходимости,атак и в случае расходимости интеграла.Аналогично, если функция /(ж) определена на конечном промежутке (а, Ь], интегрируема на отрезке [£,6] при любом £ Е (а, Ь], то362Гл. VII. Определенный интегралUсимвол J f ( x ) dx называют несобственным интегралом от функции /ана промежутке (а, Ь].ьЕсли существует конечныйlim/ f ( x ) dx = А, то говорят, чтоСнесобственный интеграл сходится и равен А, т. е.ььdx = lim / f ( x) dx.(6 )С—ю+о JС—ю+о Jь°сЕсли функция J f ( x ) dx не имеет конечного предела при £ -А а + 0, тоСнесобственный интеграл называют расходящимся.З а м е ч а н и е 2.
О пределение (5) н есо бственн ого и н тегр а л а на конечномп р о м е ж у т к е [а, Ъ) я в л я е т с я со дер ж ател ьн ы м лиш ь в сл у чае, к о гд а ф у н к ц и я/ н ео гр ан и ч ен а на и н тер вал е (Ъ — S, Ъ) при лю бом S > 0. В сам ом деле, еслиф у н к ц и я / и н т егр и р у ем а на о т р е зк е [а, £] при лю бом £ е [а, Ъ) и огр ан и чен а на [а, Ь), то, доопределив э т у ф у н к ц и ю в т о ч к е Ь, п олуч и м ф у н кц и ю ,к о то р ая и н т егр и р у ем а по Р и м а н у на о т р е зк е [ а ,Ъ].
При это м и н тегр ал отдоопределенной ф у н к ц и и р авен п р еделу (5) и не за в и с и т от зн ач ен и я ф у н к ции в т о ч к е Ь.П оэтом у в дальнейш ем , р а с с м ат р и в а я н есо бствен н ы й и н тегр ал (5), будем с ч и т а т ь , ч то ф у н к ц и я / я в л я е т с я н еогр ан и чен н ой на и н тер вал е(Ь — 8,Ь) при лю бом 8 > 0, а т о ч к у Ь будем н а зы в а т ь иногда особой точкойподынтегральной функции f или интеграла (5).А налогично, р а с см ат р и в а я н есо бствен н ы й и н тегр ал (6), будем с ч и т а т ь ,что а — особая т о ч к а ф у н к ц и и / , т. е. п р едп ол агать, что ф у н к ц и я / неогран и чен а на и н тер в ал е (а, а + 8) при лю бом 8 > 0.П р и м е р 4.
Исследовать на сходимость интеграл1Т_fdxJ ~ Jо1dА Обозначим F(£) = J — тогдаСF ( 0 = ( Г ^ ( 1 - ^ а )’ если a # 1 ’(, —ln£,если a = 1 .Поэтому при a < 1 существует конечный lim F(£) = ^ -— , а еслиa ^ 1, to F(a; £) —¥ +00 при £+0.Таким образом, интеграл сходится при а < 1 и расходится приа > 1. ▲§38. Н есобст венные инт егралы363У п р а ж н е н и е 2. П у сть —оо < а < Ь < + о о . П о казать, ч то интегралыъь[dxJ (х — а ) аиа[J (Ь — х ) аасх о д я тс я при а < 1 и р асх о д я тс я при а 3> 1.З а м е ч а н и е 3.
С ходим ость н есо бственн ого и н тегр а л а (5) равноси льнаь(.сходи м ости и н тегр ал а j f ( x ) d x при лю бом с С (а , Ь), т а к к а к j f ( x ) d x =с£са= J f(x) dx + J f(x) dx.aсв)Другие типы несобственных интегралов.Е сл и ф ун кц и я / опред е л е н а н а к о н е ч н о м и н т е р в а л е ( а , Ь ), и н т е г р и р у е м а п о Р и м а н у н а о т р е з к е [£,г/] п р и л ю б ы х £. Т) т а к и х , ч т о а < £ ^ г/ < Ъ, т о с х о д я щ и й с я(а, Ъ) о п р е д е н е со б стве н н ы й и н те гр а л от ф у н к ц и и / на п р о м е ж у т к еляется ф орм улойьrjJ f ( x ) dx =alim ^ Jf ( x ) dx(7)7}—*b—Q £п р и у с л о в и и , ч т о п р е д е л в п р а в о й ч а с т и (7 ) с у щ е с т в у е т и к о н е ч е н .Е сл и ф ун кц и я / определена на о тр е зкекис 6 ( а , Ь ), ит) т а к и х , ч т о aи н те гр и р уе м а на о тр езка х£ < с < г/ции / на п р о м е ж у т к е[а,Ь], з а и с к л ю ч е н и е м т о ч [а, £] и [т),Ъ] п р и л ю б ы х £.Ъ, т о н е с о б с т в е н н ы й и н т е г р а л о т ф у н к -ь[а, Ь] о б о з н а ч а е т с я J f ( x ) d x и о п р е д е л я е т с я р а авенствомьСJf(x)dx=limaь^Jf(x)dx+lima^Jf(x)dx(8)rjп р и у с л о в и и , ч т о о б а п р е д е л а в п р а в о й ч а с т и (8 ) с у щ е с т в у ю т и к о н е ч -ьны .
В это м случае и н тегр а льJ f ( x ) d x н а з ы в а ю т сходящимся и п и ш у т«сьJf(x)dx = Jf(x)dx + Jf(x)dx.аасЕ сл и ф ун кц и я / определена на ко н е ч н о м или б е ско н е ч н о м п р ом еж у т к е ( а , Ь ), з а и с к л ю ч е н и е м т о ч е кхр( к = 1 ,ш ), г д е а =х о < х± < ...ь... < х т = Ь,то н е со б с тв е н н ы йи н те гр а л/f ( x ) d x пон им ается какс у м м а н е с о б с т в е н н ы х и н т е г р а л о в по п р о м е ж у т к а м А*, = ( х р - 1 , х р ) ,к = 1 , т , и с ч и т а е т с я сх о д ящ и м ся в том и то л ько то м сл у ч ае, когд ас х о д я т с я и н т е г р а л ы по в с е м п р о м е ж у т к а м Д*.364Гл. VII. О пределенный инт еграл2.
Свойства и вычисление несобственных интегралов. Буьдем рассматривать несобственные интегралы вида J f ( x ) dx, предполагая, что:аа) функция / определена на промежутке [а,Ъ), где а — конечнаяточка, Ъ — либо конечная точка, либо символ +оо;б) функция / интегрируема по Риману на отрезке [а, £] при любомС е [а,Ъ).Согласно определению сходящегося несобственного интегралаьСIdx = lim ^ J f ( x ) d x , если Ь ф +оо,аа+оосJ f ( x) dx = lim J f ( x) dx, если b = + 00.aaа) Линейность интеграла.У т в е р ж д е н и е 1.
Если сходятся несобственные интегралы отфункций f ( x) и д(х) на промежутке [а, Ь), то при любых Л, р, G R сходится интеграл от функции Л/(ж) + /лд(х) на том же промежутке ивыполняется равенствоьььJ ( \ f ( x ) + р,д{х)) dx = ЛJ f ( x ) dx + р,j д{х) dx.(9)аааО Для любого £ € [а, Ъ) в силу свойств интеграла Римана справедливо равенствоСССJ (А/(ж) + р,д{х)) dx = ЛJ f ( x ) dx + р,j д{х) dx,аааправая часть которого имеет по условию конечный предел при^ —УЬ —0, откуда следует существование предела при ( -4 5 - 0 в левой части и справедливость формулы (9).
•б) Формула Ньютона-Лейбница.У т в е р ж д е н и е 2. Если функция f ( x) непрерывна на промежутке [а,Ъ) и если F(x) — первообразная для функции f (x) , то несобьственный интеграл j f ( x ) dx сходится тогда и только тогда, когдаасуществует конечный^ m _ oF(O = F ( b ^ 0 ) ,( 10 )причемь) dx = F(b ^ 0) ^ F(a).(11)§38.
Н есобст венные инт егралы365О Так как функция / непрерывна на отрезке [а, £] при любом€ [а,Ь), то справедлива формула Ньютона-Лейбница£ €dx = F(£) - F(a),откуда, переходя к пределу при £ -+ Ъ—0 и используя соотношение ( 10 ), получаем формулу ( 1 1 ), которую называют формулойНьютона-Лейбница для несобственного интеграла.ь -оПравую часть формулы (11) часто записывают в виде F(x), есали Ьф +оо. Если Ь = +оо, то правую часть формулы (11) записываютв виде F(x)П р и м е р 5.
Вычислить интегралы:+ 00+СЮа) Ji = [ arctgf dx;б) J 2 =e ^ ax cos fix dx, где a > 0 .J1 + x1Jоfол4 rparctg*ч, / ( arctg*)2\А а) 1ак как -1—+ - dx = arctgo x vd( arctgx) = d \ -----2°, to+*o y/,,,ч(arctg*)",„,чarctg*b (x) = ----является первообразной для функции j ( x ) =, ,1 +*2’7Г—, так как8’9и по формуле (11) получаем J\ = i ( arctg *)2arctg(+ oo) =lim arctg* = У arctg 0 =X —> + o c20.б) Ранее в § 30 (пример 19) было показано, что функция F(x) =(3sin (Зх —a cos (Зх _п,гявляется первообразной для функции= ----- е> /Зе>— — еf ( x) = еГах cos (Зх.
По формуле (11) находим J 2 = F(x)+ оо= F ( + оо) —о—F( 0), где F( 0) =^ а 2 + ^2 ; У + о о ) = 0, так как | sin/3*| ^ 1, | cos/Зх\ ^SC 1 для всех х €Т -2R,lim еЛах = 0 при а > 0. Следовательно,х —> + о оА°а 2 + /+в) Интегрирование по частям.У т в е р ж д е н и е 3. Пусть функции и(х), v(x) определены на промежутке [а, Ь), имеют непрерывные производные на отрезке [а, £] длялюбого £ € (а, Ь). Если существует конечный пределlim [«(£) v(£)] = u(b —0 ) v(b —0 ) = uv£->6-06£=6 -0( 12 )6и интеграл j vu' dx сходится, то и интеграл j uv' dx сходится и спраГл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
