Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Пусть структурная схема системы может быть сведена к схеме, изображенной на рис. 7-6. Передаточная функция звена Ш 1 т,р+~. Передаточная функция звена 11: ру,(р) =-. 1 Уравнение звена 111: Т.„-;+в=у=1(л). (7-57) Уравнение звена 11: — -+- и (7-58) Пусть нелинейный управляющий элемент представляет собой релейный элемент, осуществляющий реверс сервомотора при отклонении величины з от ее экстремума на величину е: и=+ Й, (7-59) где й = сопзь ) О. Подставив (7-59) в (7-58),перенеся г в правую часть и разделив (7-57) на (7-58), получим уравнение фазовой траектории в виде 2=- —,', [л.)- ] (7-60) 202 го 0 Рис.
7-8 Зто линейное относительно переменной г дифференциальное уравнение с правой частью. Его общее решение: г = Ае — "~от + х' — 2йТ,х+ 2й'Т,'. (7-63) Пусть х„г, — неиавестные пока нам координаты крайней точки цикла (рис. 7-8). Подставляя эти значения в (7-63), находим ов г = (г — х,'+ 2йТохо — 2й'Тв) е "тв +х' — 2йТ„х+ 2йоТо, поскольку наша система работает но принципу аапоминания экст- ремума, то условие реверса, соответствующее крайней правой точке предельного цикла (так как в ней г, пройдя минимум воз- растает), будет го=го+е, где через г* обозначено минимальное значение г.
Построим фазовую плоскость, приняв за ось абсцисс ось х, а за ось ординат ось г. Нанесем в фазовой плоскости статическую характеристику, которая, учитывая (7-57), имеет вид: г,„, = у — — 7' (х) . Характеристика покааана на рис. 7-8. Пусть в начальный момент мы находились в точке М,. Так как точка Мо лежит ниже статической характеристики, то 7 (х) ) г. Знак правой части в (7-60) при этом может быть любым. Допустим, что он положителен, т.е. — )О. Тогда движение будетпронсходить в сторону увеличения г и х (кривая МоМг).
При пересечении кривой МоМ, со статической характеристикой Игах обращается в нуль и в дальнейшем меняет знак (кривая М,М,). Последовательное построение приводит в конце концов к предельному циклу (обведен на рисунке г жирной линией). Фактически мы имеем дело с двулистной плоскостью, поэтому при из- яо ображении на одном листе появились взаимные пересе- в чения фазовых траекторий. Перенесем начало координат в точку экстремума. Если кривая у = 7 (х) симметрична, то достаточно для определения предельного цикла рассмотреть лишь одну половину цикла.
Рассмотрим пример аналитического определения параметров предельного цикла для случая, когда у = х'. Уравнение фазовой траектории (7-60), выбрав произвольный знак, например верхний, перепишем в виде йТ,— +г=х'. (7-62) 203 Величину ээ найдем, приравняв производную пхlсЬ нулю: — = — — (ха — хо+ 2йТвхо 2йэТвв)Х х' — хв Х а "т +2тэ — 2йТэ= О (7 64) Подставив в уравнении (7-63) г* + е вместо э, и х, вместо х, а в уравнении (7-64) гэ + е вместо гю получаем два трансцендентных уравнения, содержащих два неизвестных г* и х,. Решая их численно или графически, найдем эти величины. 7-6. Приближеииое определение периодических режимов методом Галеркииа ҄— +9=6; ку и $ ст2.
(7-65) х=хвв + й1. В системе испольэуется сервомотор с постоянной скоростью, переключение которого осуществляется с помощью реле, либо в те моменты, когда р, пройдя экстремум, возрастает на величину Л (в системах с запоминанием экстремума): ух=рюш+А, (7-66) либо, когда после прохождения экстремума проиэводная у примет эначение Л (в системах с намерением проиаводной): (7-67) Примем интервал времени между двумя переключениями ва полупериод искомого периодического движения и обозначим его через Т,)2. Введем переменную 2 ' (7-68) тогда в интервале времени, соответствующем возрастанию х, будем иметь: х = х„+ И = ив + й — '+ йи = х„+ йи, (7-69) Задача, аналогичная рассмотренной в предыдущем параграфе, была решена в (58) с помощью метода Галеркина.
Первая публикация метода Галеркина для расчета экстремальных систем была дана В. В. Казакевичем в Трудах ЦИАМ № 1869, 1948. По простоте решения в данной конкретной задаче (система с сервомотором с постоянной скоростью) этот метод не уступает методу гармонического баланса, но он, не нуждаясь в гипотезах фильтра или автореэонанса, дает более точные результаты. Рассмотрим систему экстремального управления, описываемую следующими уравнениями: где х,=х„+— ато ао 2 (7-70) А, (у) = Т „—" + у — с (х, + Йи)2 = 0; — То/2(и(0; (7-72) Ло(у) = Т" — „"+у — с(х,— )аи)2=0; 0 ( и ( То!2.
/ Периодическое решение уравнений (7-72) будем искать в виде у= ~ч', с;~р,=во+ ~ч~~ (Аоя(поеи+Восоя$ви), (7-73) где 2я в= —, Со-Во, С2=А2; ао С,=А,; с =в;, с =в, В соответствии с методом Галеркина составляем равенство: о То22 Л2(у)уфи+ ~ Во(у)у2Аи=О, 2=2, 2, ... — т,и о Это равенство дает нам бесконечную систему уравнений для определения параметров периодического движения: о Таа 2.,2(у) Во22и+ ~ Во (у) Войи = 0; — Тоа о о ти2 Ь~ (у) А2 я1п еи ди+ ~ Во (у) Ат я2п еи ди = 0; — То/2 о о То/2 Т2(у) В,сояеоиди+ ~ Е,(у) В,сояви Ми=О; — ти2 о о тно Ло(у) А яш2еиди+ ~ Во(у) Аояш2еийи=О; — То(2 о о т,д Т (у) Восоя2ви 2аи+ ~ 1~(у) Восоя2вийи=О. — То!2 о (7-74) 206 В интервале же времени, соответству2ощем убыванию х, при отсчете времени от того же момента — начала периода: х = хо+ И о — И = хо — йи, (7-71) 0(и(7'о/2. Учитыван (7-70) и (7-72), уравнения (7-65) приведем к виду: Коэффициенты В„А„В„А„В„...
как постоянные множители могут быть сокращены, и мы получаем уравнения вида: (7-75) — тс/2 Выражения Х1 (у) и ЛО (у) имеют вид: Х,,(У) =~ [( — аТ/В1-[-А/) Я1п1аи+(е1ТА1+В;) совйои[+ 1-1 + Во — сх,' — скзиз — 2сх,'/си; Х, (у) = У', [( — еТ ВО+А/) в1пйои+(а2ТА1+В1) сов сеи[+ 1=1 + Во — сх,' — с722из+ 2сх,йи. Члены, общие для Хч (у) и Х,з (у), очевидно, могут интегрироваться за весь период, поэтому мы получаем т,/2 Д [( — еТ Вс+ А1) в1п мои+ (еТ А/+ В ) соя мои|-[- — тс/2 1 1 о тси1 ( О.В,— *1 — Й ')ОО О.[ ~ — 1 [[ — О,О ОО )=О.
1 — т./2 а (7-76) Интегрируя, получаем для средних значений следующее уравнение: гХ'Т', схООО ТО Второе из уравнений (7-75) дает (А, — асТВ1) Т, = О. (7-78) Для третьего из уравнений (7-75) получаем: — (а1ТА,+В/) Тс — —,,"( — 1)1 —,, '[( — ( — $) ). (7 79) 1 ОООТ7 сх ОТХ Рассмотрим условия переключения. По условию переключения, так как характеристики симметричны и кривые у не должны иметь разрыва, у( — В=у(О) 206 Хч — т,/2 — тхе о то/2 /О/с.,- 1 с. (О/О.-О: о т /2 (у)яшиои/[и+ ~ Хз(у)вш1еи/[и=О; о т,/2 (у) сов йои/2и-[- $ Х,з (у) соя 1еи /[и =О. а Подставляя зти равенства в (7-73), получаем В,— В,+В,— В,+...=В,+В,+В,+В,+.. сссТс 2схваТсо или 4Т, 4 (7-80) Подставляя (7-80) в (7-77) — (7-79), окончательно получаем свсТс ссьсяс 48 12в' ' 2с)ссТТс 4слсТ сс (1+ аМТс) а (1 + всссТс) ' с4сТсс 4с)сс (7-81) яс( (1+ сптс) св (1+ врыт )' 1=2,4, 6, ... Таким образом, все коэффициенты Вс, А,, В; выражены через параметры системы с, й, Т и неизвестный период основной гармоники движения сервомотора Т, (или частоту е).
Чтобы определить Т„составим условия переключения. Ограничимся рассмотрением лишь низшей (второй) гармоники. Тогда 4сЫ'Т в (1+ 4асТс) ' 2сИ Вр=вс(1+4 сТс) (7-82) Экстремальные значения у,„„определяются из условия пд а'и — = 2е (А, соз 2еи* — В з(п 2еи*) = О, откуда 1 А, 1 и* = — агс(я — ' = — агс(я 2еТ; 2в Вс 2в усс„р —— В, + Ах з(п агс1я 2еТ+ В, соз агс(я 2еТ = 2сас Вс— вс )с 1 + 4а'Т' Минимуму соответствует анак минус. 207 Откуда следует, что коэффициенты В, для всех нечетных гармоник равны нулю. Тогда из (7-78) следует, что и все А, для нечетных гармоник обращаются в нуль. Отсюда следует, что при симметричных характеристиках у не содержит нечетных гармоник.
Но тогда из (7-79) получаем В моменты переключения и = — Т»~2, О, Т»~2, ..., я1п 2)аи =О, соя2юи = 1 У а,.А=В, ~В,=В,— ~.Ь: )).83) Подставляя в (7-83) выражения для В, и В„определенные из (7-81) и (7-82), получим уравнение, из которого найдется кк 2ся» (1+ )~1+ 4ю'Т») = ю» (1+ 4ю»Т») Л. Решение наиболее удобно выполнить графо-аналитически. Для системы с измерением производной момент переключения определяется из условия „—" =2е»(Л»соя 2а»и* — В,я(п2юи") =Л. При этом и* = — Т»72, О, Т»(2, ... Что дает для определения о) следующее уравнение: з«ыт-а «Т»Ь (7-84) 7-7.
Приближенное приведение нелинейных систем к простейшей модели с линейной динамической н безынерционной нелинейной частями 208 В более сложных аадачах (более высокий порядок уравнения, несимметричность кривой показателя оптимальности, неприводимость объекта к последовательно включаемым линейному звену и безынерционного нелинейного элемента) метод гармонического баланса также становится практически неприемлемым из-за его громоздкости.
Например, при несимметричных характеристиках надо вводить в рассмотрение постоянные составляющие, первые и вторые гармоники одновременно, что приводит к настолько сложным нелинейным уравнениям, связывающим параметры искомых автоколебаний, что метод гармонического баланса, сохраняя свою грубость, теряет простоту и лишается всех своих преимуществ. В (58) показано, что применение к схеме «линейное звено— симметричная безынерционная нелинейность» метода Галеркина позволяет получить линейные уравнения, из которых можно найти параметры нескольких гармонических составляющих автоколебаний, что представляет преимущества. Но если система не приводится к атой схеме, то метод Галеркина также приводит к нелинейным уравнениям и его удобство утрачивается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
