Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Для рассмотрения управляемых систем удобно ввести понятие пространства состояний или фазового пространства Х, которое следовало бы х (Т) = Ф (Т, х (ОЦ = О. (8-18) Если каждое состояние управляемо, то система называется полностью управляемой. Но для установления факта, будет данная система управляемой или нет, удобнее сформулировать несколько иное определение управляемости (61, 171). Пусть дана система (8-15) с базисом е. Введя некоторое неособое линейное преобразование х=Вх, (Л(=АО, (8-19) где Л вЂ” числовая матрица, мы преобразуем систему (8-15) в другую систему гс —— Ах + Вп, у=Сх (8-20) с другим базисом е.
Матрицы А, В и С связаны с матрицами А, В и С соотношениями .4 =Л.4Л '. представляет собою совокупность всех возможных значений векторов х(-Х. Выберем в пространстве Х такой набор векторов е = (е„ е, ..., е„), чтобы любой вектор х можно было выразить через его компоненты следующим образом: х = е,х, + еэхз +... + е„х„.
(8-16) Совокупность векторов е = (е, ..., е„) образует базис пространства Х. Так, например, если е есть совокупность векторов единичной длины, направленных по взаимно перпендикулярным осям и-мерного пространства Х, т. е. совокупность ортов, то мы имеем дело с обычным эвклидовым и-мерным пространством. Выбрав другой базис е = (е„..., е„) так, чтобы имело место равенство х =- е,х, + ... + е„х„, получим новое пространство Х, Зададим в пространстве состояний Х два множества Г, ~ Х и Г ~ ' Х.
Система будет управляемой относительно множеств Гг и Г, если существует такое управление и (1), определенное на конечном интервале 0 = г -.: Т, которое переводит изображающую точку в фазовом пространстве Х из подобласти Г„в подобласть Г, за конечное время ~ = Т. В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда исходной точкой может быть любая точка пространства Х, т. е. область Г, совпадает со всем пространством Х, а конечной точкой является начало координат, т. е. Г, вырождается в точку, лежащую в начале координат.
Для этого случая состояние х объекта считается управляемым, если имеется управление и (1), определенное на конечном интервале 0 ( 1 =- Т, такое, что из интеграла движения х(() =Ф[~, х(0)) (8-17) Перейдем к изображениям переменных ь (х) и Л (и) по Лапласу при нулевых начальных условиях.
Мы получим l (х) — — (Ьр- А) 'В,й где Š— единичная матрица. Для некоторой компоненты вектора г (х,) получим А(х,.) =- — (Лпи, +Ьми, +... + Ьии,), (8-22) где а = ((Ер — А)~ — определитель системы; Ьа, й,.„..., аи— миноры определителя присоединенной матрицы. Может оказаться, что все Л,;, ~ = 1, 2, ..., 1 обращаются в нуль, тогда х,.
совершенно не будет зависеть от управлений и,, ..., и,. В этом случае говорят, что координата х, полностью инвариантна по отношению к воздействиям и, или неуправляема по этим воздействиям. Если все координаты х, при всех возможных базисах е управляемы по всем воздействиям, то система будет полностью управляемой. Может оказаться, что при некотором базисе е какая- либо из координат х,.
будет неуправляемой по одному из воздействий изч но управляема по другим воздействиям, остальные же координаты управляемы по всем воздействиям. В этом случае система также будет полностью управляема, поскольку можно выбрать вектор п, переводящий систему в заданное состояние, но она будет частично инвариантной по координате х,. и управлепию и,. Если же при некотором базисе е некоторая координата х,. оказывается совершенно неуправляемой, то система будет неполностью управляемой. В неполностью управляемой системе уравнения (8-20) можно разбить на следующие группы г!х1 а — = Амх + Амх +Вп; — = А,х', (8-23) у =Сх.
Для упрощения черточки над буквами, указывающие на произвольный выбор базиса, опущены. х' — это совокупность тех х,, которые оказываются полностью не зависящими от управлений п ни непосредственно, ни через компоненты векторов х'. Проиллюстрировать полную независимость х' от п можно на следующем простейшем примере. Пусть система — двухмерная, и х' = х1 и х' = х, с одним управляющим воздействием и. Из уравнений х =а„х1+а, х,+ Ьи, (8-24) х =а,зх, находим Ьи — адд О р — ада Ь (р — ада) и ! р — адд — адд1 рд — (ам+ада)р+аддадд ' Π— а 1 р — адд Ьи Х (хд) = -- =О, рд — (адд+ адд) р+ аддадд (8-25) т.
е. координата хд не выражается через управление и. Чтобы установить, будет лн система полностью управляемой при всех возможных базисах, Каллманом был выведен критерий управляемости, который мы приводим беэ доказательства. Размерность т управляемой части системы [т. е. порядок первой группы уравнений (8-23)] — '=А, х'+А„х'+Вп совд)д падает с рангом матрицы У=(В, АВ, (А)дВ, ..., (А)" дВ)ила. (8-26) Если т == п, система полностью управляема; если О ( т а" и система неполностью управляема; если т = О, то система полностью неуправляема. Если система неполностью управляема, то в ней можно выделить управляемую часть с координатами х' и неуправляемую часть с координатами х'. В обыкновенных линейных системах неуправляемая часть возникает тогда, когда часть полюсов передаточной функции системы компенсируется нулями, т.
е. когда в числителе и внаменателе передаточной функции появляются одинаковые множители. Обычно эти множители сокращают, понижая тем самым порядок уравнения. Однако при этом часть информации о возможных поведениях системы теряется и описание системы становится неполным, справедливым лишь в определенных режимах. Проиллюстрируем это на некоторых примерах. Пусть система с одной координатой х и одним управляющим воздействием и описывается дифференциальным уравнением (р + а) дт' (р) х = (р + а) М (р) и, (8-27) т. е. числитель и знаменатель передаточной функции содержат одинаковый операторный множитель (р + а). Обычно этот множитель сокращают, передаточную функцию записывают в виде м (р) дт (р) (8-28) и заменяют уравнение (8-27) уравнением Х(р)х=М(р) и.
Проиллюстрируем, что подобная аамена справедлива не всегда. Применим к (8-27) преобразование Лапласа (р + а) Х (р) д. (х) = (р + а) М (р) С (и) + дт' (р, х(,',>, и0>), где Л'с — полипом от р, зависящий от начальных условий. Если предначальные значения х н и в момент приложения и нулевые, то Ус равно нулю и уравнение (8-29) оказывается справедливым для нахождения переменной х.
Однако если ищутся промежуточные координаты системы, исключенные при составлении уравнения (8-27), или же если имеются другие воздействия на систеа) му в промежуточных звеньях, р.,а < то в переходном процессе (реЬ)(рес) У реа может появиться составляющая, пропорциональная е ", которая не обнаруживается, если переходный процесс Э отыскивается с помощью только передаточной функ- а ~ у р-~а реа Он-Ы(рес) ции (8-28). Рассмотрим пример (61). Одномерная система состоит Рзс. 8-8.
из последовательно включенных звеньев с передаточными функциями еу1 (р) = (звено на входе) и гуа („з) = (р+ Ь) (р+ с) р+а (звено на выходе). Схема показана на рис. 8-6, а. Полная система уравнений имеет вид: (р+а) х= у+ и;, (р+ Ь) (р+с)у =(р+а) и,. (8-30) При отсутствии воздействия и, в промежуточном звене множитель (р + а) (если нас интересует только х) можно сократить и найти х нз решения неполного уравнения (р+Ь)(р+с)х=и,. Пусть оба воздействия (на входе системы и„= е З' и в промежуточном авене и = сопзФ) прикладываются к системе в один и тот же момент времени г = 0 при нулевых предначальных условиях.
Тогда изображение Лапласа для решения уравнений (8-30) ь (и|) ь (аа) $ ие (р + Ь) (р + с) р + а (р + 8) (р + Ь) (р + с) р (р + а) ' Решение уравнения по формуле Хевисайда е и е — ы е — се (Ь вЂ” ()) (с — Р) (() — Ь) (с — Ь) (р — с) (Ь вЂ” с) а Решение сокращенного уравнения совпадает при и, = 0 с полученным решением. 228 Величина у, равная решению второго иэ уравнений (5-18) (а — 5) е а«(а — Ь) е а«(а — с) е с« (Ь вЂ” й) (с — р) (р — Ь) (с — Ь) (р — с) (Ь вЂ” с)' Ыаз — = — ах,+х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
