Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Позднее было показано, что принцип инвариантности возможно реализовать в комбинированных системах. В 1067 г. установление принципа инвариантности Г. В. Щипановым было признано открытие»!. В з 8-2 мы видели, что понятие инвариантности тесно связано с понятием неуправляемости. Инвариантная в смысле Щипанова система «неуправляема» по отношению к возмущающим воздействиям и для проверки выполнения условий инвариантности могут быть использованы критерии Р. Калмана (8-26), в которых матрицы С и (7 составляются не для управляющих, а соответствующих возмущающих воздействий.
В системе, полностью ипвариантной к возмущениям, будет отсутствовать установившаяся опп|бка и в ряде случаев будет малой динамическая ошибка. При приближенном выполнении условий инвариантности («инвариантность с точностью до е») установившаяся ошибка будет существовать, но при выполнении условий устойчивости и качества она, так же как и динамическая ошибка, может быть сделана малой. Таким образом, обеспечение инвариантности является одним из способов повышения точности работы систем управления [106, 107].
Рассмотрим систему, описываемую уравнениями (8-44) и (8-45). Определитель этой системы имеет вид Обозначим элементы этого определителя через вп. Выразив У через Р, получим выражение вида У =АР. Полная инвариантность по всем возмущениям (или как ее называют — поливариантность) будет иметь место, когда все элементы матрицы А будут тождественно равными нулю. Это приводит к системе уравнений и ~с!;)У!„)=О, й, 7'=1, 2, ..., я. (8-58) В общем случае при нроизвольных с!, эта система может удовлетворяться лишь при тождественном равенстве нулю всех алгебраических дополнений У!„= 0 для л!обых !, л, т. е.
при равенстве нулю всех элементов определителя в! =О. Условия автономности систем регулировании по отклонению требовали, как это было покавано в предыдущем параграфе, равенства нулю лишь недиагональных элементов и!„, ! / Й; условия полиинвариантности таких систем, кроме того, требуют равенства нулю и всех диагональных элементов ип = — О. Таким обраэом, условия автономности являются необходимыми, но недостаточными условиями полиипвариантности.
Условия автономности давали выражения недиагональных элементов через диагональные, определяемые формулами (8-54). Присоединяя к ним п уравнений и 1+ ~,"и)„,г,с!м — О, й=1, 2, ..., и, (8-59) Зал можно найти выражения для всех коэффициентов связи в виде ",= „,,1у!. (8-60) Однако при этих значениях д!; не только сам определитель системы, но и все его элементы обращаются тождественно в нуль и система по существу перестает быть системой регулирования, теряя всякую управляемость не только по воэмущениям, но и по величинам ио. Примером такой системы является, как отмечено в [91[, уравйовешенный мост Уитстона: ток в его диагонали не зависит от напряжения источника питания, но зато мы не можем влиять на величину этого тока, не нарушая равновесия моста, т. е.
яе отходя от условий инвариантности. Осуществление принципа инвариантности в системах регулирования по отклонению с сохранением управляемости теоретически возможно при помощи введения дополнительных связей в самой системе. Так, в [70 — 71, 95, 96[ были рассмотрены си- 240 стемы, где для получения инвариантности используются внутренние обратные связи, по крайней мере одна иэ которых является положительной.
В (112) показано, что упомянутые системы часто получаются физически нереализуемыми, так как требуют для своего осуществления введения чистых производных, но даже если допустить, что это препятствие преодолено, системы оказываются зачастую либо неустойчивыми, либо негрубыми в том смысле, что при сколь угодно малых нарушениях условий инвариантности они становятся неустойчивыми. Поэтому вопрос о реализуемости условий инвариантности исключительно важен.
Но прежде чем перейти к его рассмотрению, мы сначала рассмотрим в общем виде условия инвариантности в комбинированных системах регулирования. Осуществление инвариантности становится возможным при наличии регуляторов, реагирующих на отклонения как регулируемой величины у, так и возмущений ). Пусть к объекту, описываемому уравнениями ! =И'П+СР, (8-61) подключен регулятор, уравнение которого С = — ЛПУ+ ЛСР, (8-62) где Л вЂ” матрица неизменяемой части регулятора; Й вЂ” матрица связеи по отклонениям; С вЂ” матрица связей по возмущениям. После подстановки (8-62) в (8-61) получим систему уравнений (Е -!- И'ЛП) г' = (С+ И'ЛС) Р. (8-63) Условия ипвариантности выразятся системой иа в' уравнений (Е+И'ЛП) '(С+ИЛС) =О, (8-64) из которой найдутся и' неизвестных Дг!, бгю ".
б!» бзю "~ бз» е»! в»»' Заметим, что в общем случае величины д!, будут зависеть от выбранных свяаей с(ы в регуляторе по отклонению. Отметим отдельно случай, когда связи !1„, выбраны так, чтобы обеспечивалась автономность системы в смысле независимости координат друг от друга. Как было показано выше, определитель системы (8-63) при этом становится диагональным: ~Е+И»ЛЛ)= — Д ~1+ У ю!,г,д;,), !=! у=! а уравнение (8-64) при этом превращается в систему уравнений » »»! +,~ ~мр!г!я!р =О, р=1, 2, ..., л, 1=1, 2, ..., п. (8-65) ! + ~ РМр!»!»!!р 4=! 241 Так как мноигители вида 1 + Х югЫ отличны от нуля (в противном случае мы получили бы тождественное обращение в нуль определителя системы и всех его адъюнктов), то должно быть ~, в,г,л,. +см — — О, 1=! р, 1 = 1, 2, ..., п.
(8-66) Для каждого фиксированного 1 получаем систему из п уравнений, регпая которую, находим ~~ ~ыПы ~=1 6'и=, 6У'~ (8-67) 242 Таким образом, в одновременно автономной и инварнанткой системе коэффициенты связи по возмущениям д выбираются, независимо от коэффициентов Ы и зависят от передаточных функций объекта неизменной части регулятора и от коэффициентов с„„указывающих в уравнении объекта на степень влияния возмущения 1, на координату у„в объекте (без регулятора). Теперь перейдем к вопросу о реализуемости условий иивариантности. Сложность многосвязных систем приводит к тому, что вопрос о реализуемости операторных тождеств, выражающих условия инвариантности, зачастую оказывается далеко не ясным «с первого взгляда» и требует дополнительных исследований.
Длительная дискуссия по работам Г. В. Щипанова, непрекращающиеся попытки предложения нереализуемых систем — наглядная иллюстрация этого положения. Пока еще трудно указать необходимый и достаточный комплекс условий, точно выражающих условия физической и технической реализуемости сложных систем через параметры описывающих их уравнений или операторов, и мы перечислим здесь те основные условия, которые обычно проверяются при практическом синтезе. Обычно условия фиаической реализуемости, т. е. непротиворечивости основным физическим законам, характеризующие принципиальную возможность построить систему, имеющую данные математические описания, выражаются через параметры передаточных функций двумя основными условиями: 1.
Степень числителя передаточной функции должна быть не выше степени ее знаменателя. 2. Коэффициент передачи должен быть конечным. Первое условие, вообще говоря, фактически недостаточно жестко: оно сформулировано с учетом некоторых условностей, допускаемых при синтезе систем, а именно — допущения в некоторых элементах безынерционности (допущение существования абсолютно жестких механических деталей, не обладающих инерцией чисто активных сопротивлений и т. д.). Хотя на самом деле таких элементов не существует, строгое выражение условий реализуемости в этом смысле должно быть дополнено условиями, выражающими невозможность мгновенных скачков всех физических координат системы.
К этим двум условиям необходимо добавить условия работоспособности системы, т. е. условия устойчивости и грубости. Условие грубости требует, чтобы при некоторых конечных вариациях параметров система оставалась бы устойчивой. (Очевидно, что физически реализовать неустойчивую и негрубую систему во многих случаях возможно, поэтому не совсем верно относить эти условия к условиям физической реализуемости.) Кроме условий физической реализуемости, приходится учитывать условия технической реаливуемости, выражающие возможность реализовать систему с помощью существующих в настоящее время технических средств. Но по мере развития техники эти условия изменяются, и их изучение выходит за рамки общей теории управления. Для практических целей представляют интерес структурные условия реалиауемости инвариантности, сформулированные Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
