Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Запишем уравнения (8-78) в гамильтоновой форме (8-80) Н=~~~~ «р!7!(х„..., х„, г, и). (8-8!) «=1 Функции же »г! удовлетворяют уравнениям (8-80) при граничных условиях: «р! (Т) = — с! (8-82) Зададим воздействию и (Г) приращение Аи (Г). В общем случае при этом получит приращение и функционал (8-79). Это приращение будет и т АУ= ~' с!Ах; (Т) = — ~ (Н(х, «р, и+ Аи, «) — Н (х, «р, и, !)) !(! — ») !=1 о (8-83) где оценка остаточного члена дается выражением !т !» ~ т) ) ( С ~~ ~ Аи (т) ~, д т) о (8-84) С вЂ” постоянная, не зависящая от Аи. 248 где гамильтониан Н выражен через специально введенные функ- ции »р! следующим образом: Если система линейна и стационарна и описывается уравнением — = Ах+ дп, Ых сч (8-85) где х — и-мерный вектор; А — квадратная; Ь вЂ” столбцовая мат- рицы, то необходимым и достаточным условием инвариантности (как сильной, так и слабой), при которой Ы = О, как показано в [159), будет выполнение соотношений (с, А"Ь) = О, (8-86) где с= (с„..., с„), !с= — О, 1, 2, ..., п — 1.
Круглыми скобками здесь обозначено скалярное произведение. Например, для системы ахА су — — =а„х,+аых,+ Ь,и, ихэ 7 — — = амх, + а„х, + Ь,и функционал У = с1х~ + сэхз инвариантен по отношению к и, если выполняются соотношения (с, Ь) = О, (с, А Ь) = О, которые расшифровываются так: сг Ь1 + сеЬ, = О; (8-87) с,(апЬд+аыЬэ)+.с,(а„Ь,+аыЬэ) =О. / Условия инвариантности, полученные обычным способом, в данном случае будут: с,д,+с,Ь,=О; (8-88 ) с,(а„Ь,— а„Ь,)+с,(а„Ь,— а„Ь,)=О. / Эти условия эквивалентны (8-87), в чем нетрудно убедиться, выполнив замену с,апЬ, = — с,Ь,а„; с,аыЬ, = — с,Ь,амс 9-- = А (Е) х+ Ь (1) и (8-89) (элементы матриц А и Ь в этой системе являются функциями времени), необходимым и достаточным условием сильной 249 Вариационный подход позволяет получить условия инвариант- ности для более широкого класса систем, чем обыкновенные линейные.
Так, для нестационарной линейной системы, описываемой уравнениями инвариантности на отрезке 0: г-=. Т является тождественное равенство нулю скалярных произведений (с(г),()~Ь(г))=0, Й=О, ..., в — 1, (8-90) где (1 — оператор, равный Д=Р-А (г), с,Ь,+с,Ь,=О; с,— +Ь1 -+с — - +Ъ - - — Ь вЂ” — Ь вЂ”вЂ” йь, кс, ньл ась эс1 ыс, 1 ь 1 гг 2 кр э аг 1 а 2Ъ вЂ” с, (и„Ь, + а„ьз) — сз (а„Ь, + амьэ) = ~ль иь, = с, (-„"-' — аыь, — а„ьэ) + с, ~-„— ' — а„ьз — амЬ,) = О. Для нелинейной системы, описываемой уравнениями — „'=~,(х„..., х„, ин ..., и„); 1=1, 2, ..., л, (8-91) необходимым и достаточным условием совершенной инварнантности от и (для всех начальных условий и Г ~ Т) функционала У (Т) =г'(х,(г), ..., х„(Г)] (8-92) будет независимость от и функций Р =Р; Р,=РЯБ„... Р„,=РЯР„ где оператор Р (О определен из условия: Р У) Р=,'~."' ,— ', ~о 1=1 (8-94) Р— оператор дифференцирования.
Так, в предыдущем примере, если а, Ь и с — функции времени, то эти условия примут вид (с, Ь)=0, (с, „— — АВ)=„--(с, Ь) — ~ —, Ь) — (с, АВ)=0. Или 8-6. Структуры многосвязных систем, допускающие неограниченное увеличение коэффициентов уоиленяя Так же как и в односвязных системах, увеличение коэффициентов усиления в отдельных контурах регулирования приводит к уменьшению статических ошибок по координатам, к уменьшению коэффициентов ошибок и к ослаблению влияния координат друг на друга.
В свяаи с этим представляет интерес использование в многосвязных системах структур, допускающих неограниченное 260 "~ох« д«~ох« Р«(р) М;,,(Р) (М«-, (Р) Р «(Р)+К«-,Ро«(р)]+ + К«оойт«(Р)] ~ (Р) К«о«Рт1(Р) ~ «о (Р) К«]М«охв (Р) Рхо«(Р) + К«охвРо«(Р)] Х и )(М«,„р(Р) ~ч', а,д(Р)Уд(Р)+/д(Р)], 1=1, 2, ..., п, (8-95) д=1 где К,„о = К,,„,К;о„ К; — общий коэффициент усиления рассматриваемой (некорректированной) цепочки; ~д(р) — вовмущающее внешнее воздействие; У„(р) — задающее воздействие.
Введем обозначения: П, (р) = )р«(р) М;,, (р) М; „, (Р) Рт; (р); В~ (Р) =.~~«(Р) М1втр (Р) Ро«+ К~К1вырРт~ (Р) (8-96) с, (р) = К,м,.„, (Р) рт, (Р). 261 увеличение коэффициента усиления без нарушения устойчивости системы. Этот вопрос детально исследован в [111], Для одноконтурных систем он был рассмотрен в ч. 1, стр. 228 — 233. Рассмотрим один из типов таких структур, допускающих во многих случаях наиболее простую реализацию (рис. 8-8), в частности, не требующих введения идеальных производных. На рис. 8-8 изображена схема регулирования 1-й координаты. Основная цепь в этой схеме состоит из трех последовательно включенных частей. Средняя часть охватывается корректирующей обратной связью с дробно-рациональной передаточной функцией ро, (р)/ро,«(р), где р„и рок — полиномы от оператора р, Без коррекции передаточная функция этой части обозначена К«,„,!М«„, (индекс «охв» означает — «охватываемая» часть), где К;„, — коэффициент усиления охватываемой части по 1-й координате, кото- дч«тр Р« рый считается не зависящим от р.
Передаточные функции остальных двух частей показаны на схеме; М, б и Р— полиномы, К вЂ” вещественные числа. Воздействия от связей по другим координатам подаются на вход третьей части. Коэффициенты свя- Рво. 8-8. зей а,д (р) могут быть операторами, содержащими р. Уравнение системы цри такой структуре имеет вид Тогда (из(Р)+Кз,„.Вз(Р)) «з(Р)+[С!(Р)+Кз,„,КРо!(Р)) Х о Х Миар (Р),~~ «зы (Р) Уо (Р) + Л~ (Р) = К!ооР~! (Р) у !о (Р)' (8"97) о 1 о~! Полагаем, что степень Р„! (Р) не выше степени Р, (Р) и что степень аз„(р) не выше степени Р, (Р) для любых з, !о. Характеристнческин определитель системы Аз, А„, ..., Аго А„Атм .", Азо Ао! .4ом ", Аоо где Ан = П! (Р) + Кз,зоВ! (Р).
Ао„= [С! (Р) + Кз,„,К;Р„! (Р)) Мз,„р (Р) азо (Р) .-оо можно раскрыть по степеням К;,„,: К =Р,(Р)+ К!о„,р„з(Р)+ К, ','3',(Р)+ ... + КР, Р„„(Р) =О. (8-98) При принятых допущенных относительно а, Р„, (р) имеет р в наивысшей степени. Устремляя Ко,„, к бесконечности, получим (как это имело место в з 7-9 ч. 1) вырожденное уравнение и ряд вспомогательных [112).
Для того чтобы в системе с п связанными между собою через объект регулируемыми величинами можно было в каждом контуре регулирования неограниченно увеличивать коэффициент усиления без нарушения устойчивости в каждом контуре и во всей системе в целом, необходимо и достаточно чтобы: а) каждая отдельная система без учета взаимовлияния других регулируемых величин имела структуру, устойчивую при сколь угодно большом коэффициенте усиления; б) вырожденное и вспомогательное уравнения для всей многосвязной системы, каждое в отдельности, удовлетворяли условиям устойчивости. Вспомогательные уравнения при атом имеют следующий вид: аоодо+а!од""+...
(-а„=О пРи Мз=Дзо — 1 Л!з=Л'о — 2 т. д.; (8-99) ! ! ! дзо~з+лззао дз" +а одзи !+лоза дз"-о+а дз"-о ( азоа дз"-о+ ! +... +т'-а„з=О при Л!!=Л!о — 2, Х,=Л; — 4 и т. д.; (8-100) ...+а „д+а " =О, (8-101) Π— з 262 если разность степеней стоящих рядом полиномов уравнения (8-98) неодинакова. В этих уравнениях 1 Ж=; Д=ИЦ~. а1хов ()-б. Двухканаяьныв систсмы с антнснмметричнымн свяаямн Среди многосвязных систем важное практическое значение имеет один их частный вид — двухканальные системы с идентичными каналами. Примеры таких систем — следящие системы в станках с программным управлением по двум координатам, Ркс.
8-9. хы И кхп И п.схм~ ) х„= И'„хм + И'„,х . ) (8-102) 253 системы пространственного углового сопровождения, гировертикали и т. п. Одинаковые и одинаково расположенные на пути распространения сигналов звенья в двух идентичных каналах называются идентичными звеньями. Для повышения устойчивости и качества в двухканальных системах получили широкое распространение два вида перекрестных связей между каналами: прямые и обратные антисимметричные связи, т. е. связи, имеющие равные, но обратные по знаку, передаточные функции. Прямая связь передает воздействие со входа некоторого авена в одном канале на выход идентичного звена в другом канале (свяаи И~„, и — И~„, на рис.
8-9, а). Обратная связь передает воздействие с выхода некоторого звена в одном канале на вход идентичного звена в другом канале (связи И',, и — И',, на рис. 8-9, б) (74, 115). Выпишем уравнения звеньев с антисимметричными перекрестными связями. Уравнения прямых связей Уравнения обратных связей х„= И'кх„— И".,И'кх„; ( х„= И'кх„+ И',,И'кх„. ( (8 103) В этих уравнениях х,, лапласовы изображения соответствующих координат. Умножив вторые уравнения в каждой паре на ) = )~ — 1 и сложив с первыми, получим после несложных очевидных преобразований. Для прямых связей х = (И'„+ ) И'„с,) хз. (8-104) Для обратных связей хз = И'кхз — ) И'кИ'о. с~з или х, = .," х„(8-105) з + / И к) с о.
с где хз =хм+ ухзп хз=х,з+ /хик Ис (~с+ Л'и сз) 0уз+УЖп.сз)" 0У +7~и.сз) (8 108) з + (Н з + Жп. сз) ()Уз + т)уп. сз) "° (и з+Л и. сс) Аналогично передаточная функция замкнутой двухканальной системы с о антисимметричными ненакладывающимися обратными х, и х, могут рассматриРвс. 8-10. ваться как векторы входной и выходной величин некоторого сложного звена с двумя входами и выходами, имеющего комплексную передаточную функцию, равную Из„+ )И'„с в случае прямых и И'„/1 + )И'зИзо, в случае обратных связей. Нетрудно показать, что комплексная передаточная функция замкнутых двухканальных идентичных систем с произвольным числом д не накладывающихся прямых антисимметричных связей (т. е. таких, что точки присоединения любой связи не находятся между точками присоединения других), изображенных на рис.
8-10, а, будет равна связями будет (как видно нз рис. 8-10, 6). т Пи! !=-! Я П (!+,и'..в!таей ! =. 1 (8-107) П 5'! !+ !=! !+ П (!+И,юнй !=! Рассмотрим пример [74), иллюстрирующий влияние антисимметричных связей на динамику системы. Рвс. 8-т!. На рис. 8-11 показана структурная схема следящей системы углового сопровождения радиолокационной станции.
Сдвиг фазы ф опорного напряжения обусловливает прямые антисимметричяые связи с коэффициентами передачи ~ и!и ф, а гироскопический момент, создаваемый вращающимися частями следящей платформы, — обратные антисимметричные связи с передаточными коэффициентами -+- ар. Передаточные функции сервомотора И'э и усилителя гт!, равны т К =т,р+! р(тр+И. Уравнения систем имеют вид: И з (И !((хг! хг!) созф (хв! хв!) з!в ф( — архл!) =хвб И~, (И' ! ((х„— х,,) соз !р + (х„— х„,) а!и ф) + арх„,) = хвк (8-108) Вводя комплексные переменные лу = л„у + )л„, умножая второе из уравнений (8-108) на 1 и складывая с первым, получим после преобразований Л' — К зу Й 1 — в+ну к+ р(1+ т,р) (1+ тр) — бар(1+ тур) 1 Т (8-109) где И' = И',И',; К = К,ею — комплексный коэффициент передачи. Подстав- ляя р = ув в (8-109) к лх) Шва выполняя у)-разбиение по параметру К получим К/в(1+)Тув)(1+ +)Тв) — ав(1+)Т в) нли ТуК )вд (1 + /ву) (1 + + уе(ву) — ав, (1+ уву), где Т в =Тув, д= —, Т,' Кривые )9-разбиения Рвс.
8-12. для д = 1 и трех значений а, равных О, 10 и 100, показаны (в полулогарифмическом масштабе) на рис. 8-12. Мы видим, что по сравнению со случаем а = 0 (отсутствие анти- симметричной обратной связи) два другие случая дают резкое расширение области устойчивости. Эффективное повышение устойчивости достигается именно при комплексных значениях К (когда изображающая точка имеет достаточно большую мнимую ординату).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
