Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 43
Текст из файла (страница 43)
«(е (8-31) Второе уравнение приведем к виду е'аа — =а„х,+а ха+ Ь и; — + аз,хз = аазхз + Ьаи. (8-32) Приведение (см. ч. 1, стр. 58 — 60) выполним, приравнивая определители «а и «а„системы (8-32) и операторы второго уравнения (8-30): Л = ~ =(Р азз) (Р— аза) аааааа = — а„р — а, = (р+ Ь) (р+ с). Ьи — а = (Ьз (Р азз) + Ьаазз) и =(Р+ а) и. Ь,и р — а„ (8-33) (8-34) Уравнения (8-33) и (8-34) содержат пять неназестных, из которых, так как уравнений два, можно произвольно выбрать три. В простейшем варианте полагаем азз — — О, тогда иэ (8-33) можно видеть азз = — Ъ, тогда а, = — с; иэ уравнения (8-34) следует Ьа = 1; — Ьаааа + Ьаа„.= с + Ьзаза = а. Выбрав третью величину Ьа = 1, получим а„= а — с.
При таком выборе уравнения (8-32) принимают вид: — ' = — Ьх, + (а — с) х, + и; «ааа — = — схе+ и. е« (8-35) не может быть найдена из сокращенного уравнения. Последнее обстоятельство оказывается связанным с неполной управляемостью системы. Для проверки управляемости по воздействию и с помощью критерия (8-26) положим и, = 0 и приведем уравнения (8-30) к нормальной форме.
Можно попытаться привести их к форме (8-23). В данном случае это нетрудно, но в системах высокого порядка это связано с довольно громоздкими выкладками. Совершенно проиавольно положим х = хз, у = уз и и, = и. Первое из уравнений (8-30) принимает при этом сразу нормальную форму: Находим выражения матриц, входящих в (8-26): А= 0 — Ь а — с, В=1; ') )'а' — (а+ Ь) а — с АВ= а — Ь вЂ” с~, Аз=~О Ь' — (а — с)(Ь вЂ” с); — с 0 0 сз — (Ь+ с) А'В = Ьз — (а — с) (Ь + с); с' (О 1 — (Ь+ с) У = ~ 1 а — Ь вЂ” с Ь' — (а — с) (Ь + с) .
— с с' (8-36) Нетрудно убедиться, что определитель матрицы У равен нулю, что свидетельствует о неполной управляемости системы. Нетрудно также видеть, что существуют миноры второго порядка этой матрицы, отличные от нуля (в частности, Узз = 1), следовательно, ранг матрицы равен двум и порядок управляемой части равен двум. Физические величины, характеризующие полностью или частично состояние системы, которые мы можем непосредственно измерять, называются наблюдаемыми (выходными) величинами. Координаты системы, полностью описывающие ее состояние, могут не совпадать с наблюдаемыми величинами и число их может быть больше, чем число наблюдаемых величин.
Но если любая из координат системы может быть выражена через значения наблюдаемых выходов, то система будет наблюдаемой. Если же некоторые из координат не могут быть выражены через наблюдаемые выходы, то система будет неполностью наблюдаемой. В неполностью наблюдаемой системе уравнения (8-20) можно разбить на следующие группы: Нх' — =А„х +В,п; ~й — „' = А.,х'+ А хз+В,п; у= С,х'. ! (8-37) 230 Для этих уравнений характерно, что координаты х' не входят ни в выражения для у, ни в первое из уравнений, содержащее только координаты хг первой группы.
Поэтому координаты хз ненаблюдаемы. Проиллюстрировать независимость х' от у можно также на следующем простейшем примере. Пусть система двухмерная, х' = х„х' = х„а у и и одномерные. Рассматривая и как нена- вестную, а у как известную величину, составим систему: (р — ад,) хд — Ьди = О; — а,дхд+ (р — а,а) х, — Ь,и = О; сдх,=у. (8-38) Находим р — адд Π— Ьд — ад, Π— Ьд сд Х,(у) Π— адд р — адд — Ьд сд О О Ьдр + Ьдаад — Ьдадд т ( сдЬд (р — ад,) Таким образом, х, выражается через у посредством дифференциального уравнения и зависит не только от у, но и от Г. Калманом [232) установлено, что размерность т наблюдаемой части системы (т.
е. порядок первой группы уравнений) лх' ,й— --= Аддхд+ Вди совпадает с Рангом матРицы Г=~(/С~, А Ст, (Ат)дСт, ..., (А*)а-дСг||. (8-39) Ах=1 — ЬО,С=О,АС=1; а' О О (Ат)'= — (а+ Ь) Ьа О 1, а — с — (а — с) (Ь+с) сд) т т ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ !~ О (А )'С = Ь' — (а — с) (Ь+ с) У=О 1 1 — а О Ьд ΠΠ— (а — с) (д+ с) 231 Если т = и, система полностью наблюдаема; при дд ( и и т = О она, соответственно, неполностью наблюдаема или полностью ненаблюдаема.
В неполностью наблюдаемой системе можно выделить полностью наблюдаемую часть с координатами хд и ненаблюдаемую часть с координатами х'. Иоявление ненаблюдаемой части также связано с компенсацией части полюсов передаточной матрицы ее нулями. Такая компенсация приводит к появлению либо неуправляемой, либо ненаблюдаемой части, либо их обеих вместе. В рассмотренном выше примере (уравнения (8-31), (8-32)], если наблюдаемой величиной является гальке координата х ==- х„ то, так как х = (х„О, 0), С = ! 1, О, О !. Имеем Определитель матрицы р отличен от нуля, поэтому система полностью наблюдаема.
Из уравнений (8-31) и (8-32), выражая х, и ха через наблюдаемую координату х„получаем х,=(р+а) х,; ха=(р+ Ь) х„ т. е. в любой момент времени эти координаты выражаются через наблюдаемую величину х, и ее первую проиаводную. Рассмотрим теперь систему, в которой звенья имеют те же передаточные функции, но поменялись местами в структурной схеме (рис.
8-6, б). Уравнения принимают вид (р + Ь) (р+ с) х = (р+ а) у; (р+а)у=и. (8-40) Способом, аналогичным рассмотренному выше, приведем уравнение к следующей нормальной форме: — „,' = — Ьх,+(а — с) х,+и; ~ ахВ А, = —,—,'- . ахВ а~ —— — СХВ+ П. (8-41) Если наблюдаемая координата х = х, и у = х„то А-[ — Ь 0 0 0 — а 0 а — с 0 — с А Ь' 0 — (а — с) (Ь+с) 0 аа 0 0 0 с' АВВ = 1 а — Ь вЂ” с Ь — (а — с)(Ь+с) 1 — а а' 1 — с сВ 232 А'=[ — Ь 0 а — с 0 — а 0 0 0 — с с'=[ АВ- [ .— Ь вЂ”;1 — а — с Ь — (а — с) (Ь+ с) а' сВ Определитель матрицы У отличен от нуля и система управляема.
— Ь Ь' 0 0 О, (А )'= 0 а' 0 а — с — (а — с)(Ь+с) 0 Ьз А тСт Ь' 0 — (а — с) (Ь+с) (Л т')'Ст 1 — Ь Ьз 0 0 $ а — с — (а — с)(Ь-/-с) Х'- а матрицы А, 8 и С принимают вид Аы Ам Азз .4ы) 0 А„О А, 0 0 Азз Аз,~ 0 О О Л,„) (8-42) Л= С=(0 С, 0 С~~. 233 Определитель матрицы У равен нулю, и система неполностью наблюдаема. Размерность наблюдаемой части равна рангу матрицы, т.
е. двум. Рассмотренные структуры, в которых имелась либо только неуправляемая, либо только ненаблюдаемая части, относятся к частному случаю. В общем случае система может быть разделена на четыре части: Часть 1 — управляемая, но ненаблюдаемая часть; часть 11 — полностью управляемая и наблюдаемая; часть Р11 — неуправляемая и ненаблюдаемая часть; часть 1У вЂ” неуправляемая, но наблюдаемая часть. Это означает, что в пространстве состояний системы существует базис, в котором можно выразить х так: Дифференциальные уравнения такой системы можно привести к виду: х'=А„х'+А, хз+ Адзхз+А, хз+В,и; хз = Аззхз+ А хз+ В и; хз= Аз х'+ Аззхз; х'=А„х', у = С,х'+ С„х'.
Характеристический определитель атой системы разлагается на четыре сомножителя: ~ Ер — Ад, — А„— А,з — Адз О О Ер -4зз Азз О О О Ер — Азз ~ = ) Ер — Адд ! х ) Ер — А зз ! х ! Ер - Азз ~ 'дс~Ер — Лз (. (8-43) ( Ер — А >~= При этом каждый из сомножителей соответствует одной из частей системы. Система устойчива, если устойчива каждая из упомянутых частей.
Но каждая передаточная функция неполностью управляемых или неполностью наблюдаемых частей содержит полюсы, компенсированные ее нулями. Отсюда следует, что при коррекции системы нельзя компенсировать нулями правые полюсы, если мы хотим, чтобы полная система была устойчивой. Если такая комбинация все же выполнена, то малейшая ошибка в компенсации, или же появление помехи в любом из звеньев, приведет к нарушению устойчивости, т. е. система будет негрубой и неработоспособной. Рассмотренные выше понятия управляемости и наблюдаемости, в том смысле как их взел Р. Калман, представляют большой интерес и расширяют наши представления о проблеме оптимального управления. Но следует отметить, что они все же не всегда полностью соответствуют практическим представлениям и не охватывадот всех практических аспектов наблюдаемости и управляемости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
