Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Математическое описание объекта управ л е н и я. Состояние объекта в любой момент времени выражается либо через существующие физически, наблюдаемые и измеряемые координаты, либо с целью упрощения нли унификации уравнений — через абстрактные координаты — величины, не всегда 214 ~~ ~ам(Р) У;=- ~ Ьдз(Р) и + ~~ с;;(Р) Лп д = д, 2, ..., п, (8-5) д=! где Р =- дд(г)д, а„(Р), 6п (Р), сд, (Р) — полиномы от Р. Совокупности коордийат у = (у„у„..., у„), управлений п = (ид, из, ..., и„) и возмущений Л= (Л„Лд, ..., Л„) можно рассматривать как векторы, соответственно, состояния системы, управления и возмущения, и уравнения (8-1) записать в более компактной матричной форме (8-6) А (Р) у (д) = В (Р) и (д) + С (Р) Л (!), где А, В н С вЂ” операторные матрицы: ~адд(Р) адд(Р) ...
а,„(Р) 4 (Р) / дддд(Р) адд (Р) ° ° ° ад~ (Р) дхиЗ < , а„д(Р) а„,(Р) ... а, (Р) ~ В(Р) =- с х.! С(Р) = ! хх! (8-7) с,д (Р) ... с,д„(Р) ~ с,(Р) ... с „(Р) ~ имеющие 'физический смысл, но являдощиеся функциями физических координат. Обозначим реальные координаты объекта через уд, абстрактные координаты — через хд. На основании изучения физических процессов, протекающих в многосвязных объектах, получают математическое описание объектов посредством уравнений, связывающих реальные координаты уд объекта с управлениями и; и возмущениями Лю Будем считать, что число координат равно числу управлений. Это не снижает общности, так как если число управлений меньше числа координат, то мы просто полагаем в уравнениях часть управлений тождественно равными нулю.
Если же число управлений оказывается ббльшнм числа координат, то задача становится неопределенной и для определенности необходимо либо объединить управления в группы, либо ввести в уравнения дополнительные координаты. Ниже рассматриваются линейные многосвязные объекты, описываемые обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. В общем случае уравнения таких объектов могут быть приведены к виду: у, и и 1. — матрицы-столбцы (е) Р) „(,) 12Х1Л У1 У2 у„(С) ) и1(й) и, (~) и„(~) у(О= ~2Х 0 Иы И'„И', ...
И',„ Ии1 И 22 . И22 (8-10) Элементы этой матрицы И'1, = У1/С, представляют собою передаточные функции для различных координат по соответствующим управлениям. Аналогично, заменяя В и С, можно получить передато ую матрицу для координат по соответствующим возмущениям. В те рии многосвязных систем вводится также понятие весовой или импульсной переходной матРицы С2(г, т), элементами которой являются весовые или импульсные переходные функции е„1; (~, т), равные реакциям координаты у1 на управляющее воздействие типа дельта-функции и; = б (г — т) в момент 8 = т при нулевых пред- начальных условиях: 216 Расширим понятие передаточных функций, введя понятие передаточной матрицы системы. Уравнение для изображений по Лапласу при нулевых началь- ных условиях, полученное из (8-6), будет А (р) У(р) =В(р) У(р)+С(р) Л(р), где У, С и Л вЂ” лапласовы иэображения функций у, и и Х соот- ветственно.
Умножая слева на обратную матрицу А ' (р), получим У (р) = А ' (р) В (р) С (р) + А ' (р) С (р) Л (р). Матрицу С (р), равную С(р)=А '(р)В(р)= — А(р)В(р), (8-9) в которой А (р) = (А1, (р))т — присоединенная матрица для мат- рицы А и А1, — алгебраические дополнения элементов аи. назо- вем передаточной матрицей объекта по отношению к управляющим воздействиям. Условием существования передаточной матрицы является линейная независимость исходных уравнений А (р) ~0. В результате выполнения операций умножения над матрицами, получим С (р) в виде матрицы В этой матрице 1-й столбец есть частное решение неоднородной системы (8-6) при и, = б (Ь вЂ” т) и при всех остальных ид, равных нулю.
Частное решение системы (8-6) можно найти следующим образом: у (д) е = $ С'и (д т) " (т) "т (8-10') Для любой реальной системы весовая матрица удовлетворяет условию С„(( — т)=0, при т ьЕ. (8-11) Физический смысл условия (8-11) состоит в том, что движение в системе не может предшествовать вызвавшей его причине. Условие (8-11) называют часто условием физической реализуемости. Весовая и передаточная матрицы связаны соотношениями дд(р) =Х,(С,(С)) = ада (() е "'ЫВ о с+д со а„(()=~- (()(р))= —,'. ~ С(р)е"'1р. (8-12) Пример. Рассмотрим систему регулирования двух величин уд и у, исходные уравнения которой имеют вид: а д (В) уд + ада (В) уд = Ьдд (В) ид + Ьдд (В) из + сдд (В) ад + с„(В) Хд; ам (Р) уд + адд (В) уд — — Ьдд (В) ид + Ьдд (В) ид + сдд (В) Х~ + сдд (В) )д.
Имеем ~адд(р) аде(р)1 ~бдд(р) бдд(р)1 ('Пд1 ~адд(р) адд(р)) )Ь„(р) Ьдд(р)1 (Пд) ~адд а,д ! А ( = ~ ~ = аддадд — аддадд. ~ адд адд Алгебраические дополнения Ад равны Ад,=амб Аде= — ад„Адд= — адд; А„=ад,. Здесь и в дальнейшем для сокращения записи опускаем в операторах обозначение аргумента р. Присоединенная матрица равна транспонированной матрице алгебраических дополнений А ~" Произведение матриц А и В равно аддбдд — аддЬдд аддбдд — аддЬдд АВ =.
— аддЬдд + аддЬдд — аддбдд + аддбдд ~' 217 В этих выражениях Ь есть символ прямого, а Ь ' — обратного преобрааования Лапласа. Выражение ВГГ равно произведению АВ на матрицу-столбец о', делен- ному на ~А): АВо' = — ~ ) ! (азаЬы — азтьат) Вз + (аааэ,з — а Ьзт) Уз1 ( А, )(аыааз — а~тэы) Пз+ (аыаат — а~ Ь ) Уа) ' Множители при стд и Ба называются передаточными функциями для соответствующих координат по соответствующим управлениям. Ут азтьз, — а,аьат „, У, а„܄— а,аЬ„ 11= — тата = и т.
д. )/~ а заза — оттает' о'т амата — атаааз Простейшим видом системы многосвязного регулирования можно считать систему с сепаратным подключением регуляторов. При атом нужно, для каждой регулируемой величины выделить соответствующий ей регулирующий орган, которьзй оказывает на нее наиболыпее влияние. Так, если в закрытой камере одновременно регулируются температура, давление и влажность воздуха, то регулирование температуры следует осуществлять, изменяя поступление тепла от нагревателя, давление — иаменяя подачу воздуха от компрессора, влажность — посредством увлажнителя, хотя изменение каждой из этих величин приводит к некоторому изменению всех остальных. Это означает, что в уравнении (8-6) для координаты у; отношение коэффициентов Ь„ан при и, должно быть ааметно больше остальных отношений коэффициентов Ь„/аы, 1о ), 1~)с.
На рис. 8-2 изображены некоторые структурные схемы систем двухсвявного регулирования. На этих схемах 0 — объекты регулирования; ут и ре — регулируемые координаты; Р7 и Р2 — регуляторы величин уз и уе соответственно; Р01 и Р02 — регулирующие органы в каналах уз и ую Общая структурная схема раздельного подключения двух регуляторов изображена на рис. 8-2, а. Связи мезкду регулируемыми величинами в данном случае осуществлнются только через объект. Раздельное подключение регуляторов эффективно, например, когда постоянные времени процессов достаточно сильно отличаются друг от друга, и регулятор в одном из контуров успевает осуществить процесс регулирования практически еще до того, как начал действовать регулятор второго контура.
Так, долгое время раздельно осуществлялось регулирование частоты и напряжения синхронных генераторов, так как контур регулирования частоты, включающий медленно действующие сервомотор и регулятор скорости, обладал постоянными времени, на порядок большими, чем контур регулирования возбуждения. В настоящее время, когда постоянные времени этих двух контуров сближаются, начинают прибегать к введению связей между регуляторами частоты и напряжения !62, 161, 198].
Уже давно было вамечено, что такая схема с сепаратным внлючением регуляторов не наилучшая и что наиболее простой путь 218 улучшения качества регулирования состоит в наложении дополнительных связей между каналами для отдельных координат. Связи можно накладывать в различных местах; так, например, в зависимости от конструктивных или схемных особенностей можно связывать между собою либо входы регуляторов (рис.
8-2, б), или же их выходы (рис. 8-2, в), или непосредственно регулирующие органы (рис. 8-2, г); могут применяться также и смешанные связи; например, на рис. (8-2, д) показана схема, где дополни- Ро~ Р07 Р0~ Руг Р02 Ркс. 8-2. 218 тельная связь от у, к ут выполнена на входе регулятора Р1, а от у, к у, — на выходе регулятора Р2. Связь может в одном иэ каналов отсутствовать. Так, на рис. 8-2, е изображена каскадная схема включения регуляторов, где выход регулятора у, воздействует на вход регулятора у„но связи от у, к у, нет.
Каскадная схема обычно оказывается удобной при связывании регуляторов с различающимися постоянными времени: медленно действующий регулятор одновременно с выполнением своей основной функции действует на вход быстродействующего регулятора, изменяя его уставку. На рис. 8-2 показана лишь часть возможных типов связей, на самом деле их намного больше даже для двусвязной системы, так как к изображенным на рисунке связям между и и у могут добавляться связи между возмущениями и управлениями или возмущениями и координатами входов или выходов регуляторов (в так называемых комбинированных системах).
На рис. 8-3 и 8-4 показаны примеры некоторых реализаций различных типов связывания регуляторов. Рнс. 8-3 изображает схему регулирования частоты (РЧ) и напряжения (РН) однофазного синхронного генератора Г, приводимого во вращение двигателем постоянного тока Д' [198). Измерительным злементом регулятора напряжения служит управляющая обмотка 1 магнитного усилителя, подключенная к напряягению генератора через ~27в + 27в Рве. 8-3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
