Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Подставляя (7-39) в (7-38), получим ахд — =(а„Ь,+ а„Ь„)х, +(а,дЬ +а„Ь )х; Ыхд — — = (амЬд+ аз,Ьдэ) х, + (а дЬм+ а Ь )х . (7-39) (7-40) для которой полуоси эллипсоида совпададот с координатными осями, получается автономное экстремальное регулирование, при котором процессы во всех каналах протекают в соответствии с независимыми друг от друга уравнениями первого порядка вида —; — „",д+ х, = О. (7-36) Условия автономности получаем в виде: а„Ь„+а„Ь, =0; а„Ь, +а„Ь„=О; а,»Ь1 +аыЬм - — - — а; а„Ьм+а„Ь, = — а, (7-41) где а — некоторая произвольно выбираемая положительная постоянная.
Решая четыре уравнения (7-41) с четырьмя неизвестными а,;, находим а„= — сЬ.,; (7-42) а, =ам =сЬсб а = — сЬ, 22 — 1 7-4. Определенно пернеднчееких режимое методом гармонического баланоа В конечном результате действия релейных и щаговых систем экстремального регулирования в системе устанавливается при неизменных возмущающих силах периодическое движение вблизи экстремума, получившее название «рысканье». В процессе рысканья точка экстремума периодически проходится системой, среднее же значение показателя оптимальности будет при поиске минимума больше, а при поиске максимума — меньше экстремального значения.
Среднее (а иногда средне-квадратическое) установившееся отклонение величины показателя качества от экстремума называется потерей на рысканье. Очевидно, так как нижняя (при поиске минимума) граница р = уаав фиксирована, то потеря на рысканье будет тем больше, чем болыпе будет верхняя граница у в процессе рысканья, т. е. тем больше, чем больше амплитуда колебаний. Частотные характеристики линейной части системы дают воаможность установить свяаь между амплитудой и частотой. В большинстве случаев в рабочей зоне с возрастанием частоты колебаний их амплитуда уменьшается. Поэтому на первый взгляд представляется, что с точки зрения уменьшения потери рысканья выгоднее увеличивать частоту и уменьшать амплитуду рысканья.
До известных пределов это действительно так. Но в процессе 1бб а »1»2 — »'-;2 ' Уравнения (7-40) принимают внд: т'+ 2=0. (7-43) Движение по-прежнему будет совершаться в плоскости, проходящей через ось у. При учете инерционностей задача соответственно усложняется. В ряде случаев при этом на систему могут быть наложены более общие условия динамической автономности, которые будут рассмотрены ниже, в гл.
8. рысканья система все время осуществляет поиск экстремума. Это означает, что параметры периодического режима должны быть такими, чтобы система могла надежно и четко отличать полевный сигнал от помехи, т. е. чтобы амплитуда и частота полезного сигнала (рысканья) отличались от амплитуды и частоты помехи примерно на порядок. Определение параметров рысканья представляет собою важную задачу исследования, которой в литературе было уделено достаточно много внимания. Трудность исследования обусловлена тем, что уравнения системы экстремального регулирования, из которых могут быть найдены параметры рысканья, существенно нелинейны. Точное решение этих уравнений удается выполнить лишь в простейших случаях. Естественно обратиться к приближенным методам определения параметров рысканья, в первую очередь— Р~ к методу гармонического баланса.
Х При применении метода гармонического баланса ис- 77 7 Ш следователь сталкивается с характерной особенностью, г отличающей экстремальные яэ системы от обычных нелинейных систем регулирования, а Рис. 7-6. именно: характер нелинейности в этих системах таков, что при периодическом движении регулирующего органа с частотой Я показатель качества в идеальном случае будет совершать движения с двойной частотой и определенной фааой, в более общем случае кривая у будет иметь постоянную составляющую, составляющие с частотой Я и 211 и фазу, зависящую от й.
Конечно, движение будет содержать и высшие гармонические, ко в первом приближении они могут быть отброшены, упомянутые же выше составляющие существенны: двойная частота в кривой у наиболее характерна и существенна, постоянная составляющая определяет потери рысканья. Необходимость одновременно учитывать две частоты усложняет применение метода гармонического баланса и он оказывается достаточно эффективным лишь для простейших идеализированных систем. Начнем с рассмотрения упрощенной схемы, довольно широко используемой в литературе [116, 219) и др. Объект в этой схеме расчленяется на две части: нелинейную безынерционную с характеристикой р = 7' (х), имеющей экстремум (звено Х на рис.
7-6), и линейную инерционную с передаточной функцией И', (р) (звено П). В схеме учитывается также Тогда у = ах'- — А' (1 — соз 2юр) . 1 2 (7-45) Так же как и в методе гармонического баланса, удобно перейти к комплексной форме записи переменных: — 1екм . сс аАс .2 — 2— вррре 2 и 2 (7-46) где через у, обозначена переменная составляющая у. Постоянная 1 составляющая у,р — — — аА2 и переменная составляющая у,, ср пройдя череа линейное авено 111, приводят к появлению на выходе этого блока величины $ = асср + $2„: срср =усрс'р (О)~ ~ь, = — аА2РУ (2!гэ) езкме 2 (7-47) Обе эти составляющие поступают на нелинейный блок НЭ, осуществляющий переключение регулирующего органа.
Уравнение блока НЭ зависит от способа экстремального регулирования. В качестве примера рассмотрим способ с запоминанием экстремума, при котором реверс регулирующего органа происходит тогда, когда величина $, пройдя минимальное значение, начинает возрастать и достигает порога е, т. е. при $ = з,кр + е и $ ) О. Пусть НЭ генерирует прямоугольные импульсы постоянной высоты )2) ~ = В = сопэс, частота которых вдвое меньше частоты З (рис.
7-7). Сдвиг по фазе этих импульсов, измеренный относительно $, но выраженный по отношению к основной частоте ю, равен ср„с. 200 инерционность линейного измерительного устройства передаточной функции И'2 (р) (звено 111). Характеристика 1 аппроксимируется параболой у = ах' (при поиске минимума), т. е. считается симметричной.
Для некоторых систем такая модель дает удовлетворительное приближение. Исследование этой модели методом гармонического баланса было выполнено И. С. Моросановым (116]. Хотя наличие колебаний двойной частоты и существенно для схемы, но симметричность функции ~ и безынерционность центральной части объекта 1 дают воаможность считать, что для входной переменной х существенна только первая гармоника, а для выходной переменной у — только вторая (для нее мохрно отбросить не только выппие, но и первую гармонические).
Эти обстоятельства существенно упрощают исследование. Положим в соответствии с методом гармонического баланса х — А э(п юр. (7-44) поэтому сдвиг по фазе, выраженный относительно частоты е, равен ~р„, = еу = — агссоз ~1 — — ~, 1 У е~ (7-49) где через М обозначена амплитуда переменной составляющей М = — ~ И",(2уе) ) аАе. (7-50) Будем отсчитывать все фазовые углы относительно кривой х. Угол сдвига р„, относительно р, выраженный по отношению к частоте 2а, равен — лУ2, по отношению же к частоте е он будет в 2 раза меньше: фо = 4 ' (7-51) Угол сдвига фазы ~з„по отношению к р равен: ф,= 2 агКИ',(2уе).
1 (7-52) Рис. 7-7. Основная гармоника $, пройдя через звено П, получает дополнительный сдвиг ~р, = агя И', (уе). (7-53) Амплитуда на выходе звена 11 в разомкнутой системе будет равна проиаведению амплитуды основной гармоники Вг импульсов на модуль И~„(уа). С другой стороны, в замкнутой системе она должна равняться амплитуде х, т. е. величине А. Фаза же выход- ного колебания в разомкнутой системе должна быть равна, в соот- ветствии с методом гармонического баланса, — 2я. Итак, уравне- ния гармонического баланса в рассматриваемом случае будут А = Вг ! И~~ (уе) ); (7-54) где углы ф определяются из уравнений (7-49) — (7-53), а В, связана с высотой В прямоугольной волны зависимостью В = —, 4В я ' (7-55) 201 1 Переменная составляющая вектора $ равна — — И', ~ (2уа) ~ аА х х сов 2е1; срабатывание элемента НЭ происходит при выполнении равенства — ~И",(2уе) ~аА'(1 — соз2еу) =е, (7-48) Из уравнений (7-54) с помощью любой из разновидностей метода гармонического баланса можно найти ю и А, а следовательно, и амплитуду аАЧ2 основной (частоты 2в) гармоники рысканья.
Необходимые, но недостаточные условия устойчивости [$86] найденных автоколебаний определяются условием г"[ '(-)[],-о (7-56) Для случая, когда звенья 11 и 111 являются звеньями первого порядка, т. е. 1 $ р (т,л+ 1) ' (р) ~т,р+1 в [х(6] построены графики, позволяющие определить вТг и потери на рысканье, а также дано сравнение результатов, полученных по методу гармонического баланса и точным методом. 7-6. Определение периедичееинх реинмев течнымн метедвми Первые работы в этом направлении были выполнены В. В. Казакевичем [57]. В наиболее простых случаях удается получить точное решение на фазовой плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
