Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Тогда следующий шаг делается одновременно по всем коордихс' аа 4' 49 Рвс. 6-24. зб натам так, чтобы перемещение по каждой координате было пропорционально соответствующей частной производной при шаговом поиске или же чтобы скорость изменения координаты была пропорциональна соответствующей ~„при непрерывном поиске. Шаговый поиск Ьх,=-+.а/,, 1 (6-34) непрерывный поиск рх,= Йа/„,, ~ где а ) 0; верхние знаки соответствуют поиску максимума, нижние — поиску минимума. Каждый рабочий шаг при атом методе поиска является одновременно пробным шагом для последующего рабочего шага. Совмещение пробных и рабочих движений и одновременное выполнение перемещений по всем координатам во многих случаях обеспечивает существенное сокращение времени поиска.
Однако организация движения к зкстремуму по методу градиента не всегда является самой совершенной. При непрерывном движении по градиенту траектория движения будет нормальной к линиям у .= совет (кривая 1 на рис. 6-25). При неблагоприятном Рис. 6-26. расположении поверхности н исходной точки движение будет происходить по сильно искривленной траектории (особенно заметно это при наличии гребней и оврагов на поверхности у (кривая 2 на рис. 6-25).
В природе путь по линии градиента представляется естественным: 176 так именно стекает капля воды на рельефной местности. Но при аеблагоприятном рельефе реки получаются сильно извилистыми. рационализируя движение, можно сократить путь движения к экстремуму. Один иа путей рационализации состоит в том, чтобы е зависимости от характера поверхности и от динамических свойств объекта выбирать различные коэффициенты воздействия по производным а,, осуществляя поиск по закону: при шаговом поиске Ьх,=аА,, ах, при непрерывном поиске †„ - = а,~„..
(6-35) 177 Некоторые примеры выбора коэффициентов а, будут рассмотрены ниже. 3. Метод наискорейшего спуска. Метод был предложен Л. В. Канторовичем [59) для широкого класса функционалов. В соответствии с этим методом сначала определяется направление градиента в начальной точке и затем производится прямолинейное дни>кение по этому направлению до тех пор, пока не обратится в нуль (или не станет положительной в случае поиска минимума) производная ф/й вдоль этого направления. Далее снова производится измерение градиента (которое в случае д~ остановки точно в точке — = О будет, очевидно, перпендикулярно предыдущему направлению) и снова выполняется движение до обращения производной вдоль нового направления в нуль и т. д. (рис. 6-23, прерывистая линия 8). Нетрудно видеть, что метод наискорейшего спуска представляет собой усовершенствование метода Гаусса — Зайделя в том смысле, что путь к экстремуму хотя и зависит от расположения начальной точки, но теперь он инвариактен по отношению к положению координатных осей: движение можно представить себе в новой системе координат, повернутой таким образом, чтобы одна из них (та, по которой будет совершено первое движение) совпала с направлением градиента в начальной точке.
В остальном методы сходны. Во многих случаях метод наискорейшего спуска по сравнению с методом Гаусса — Зайделя дает заметное сокращение времени выхода в окрестность экстремума. Метод обычно рационально применять в начале, вдалеке от экстремума. На первых этапах шаги получаются крупными. При приближении к акстремуму продолжение поиска может осуществляться уже другим методом, например градиентным. 4. Статистический поиск. Возможно построить такие алгоритмы, котоРые позволяют для осуществления поиска использовать элемент случайности. Один из подобных алгоритмов описан в [1491. Пусть каким-либо образом (по некоторому алгоритму А выбора регулирующего воздействия) к регулирующим органам приложены воздействия (и„и„..., иа). Рогулирующие органы при этом начнут двигаться со скоростями, пропорциональными и,: Таблица б-1 Режимы ! Критерий У с)О соиаФ Подготовка д ) т) (у)ч — е) д( О Поиск р т1 ч+ ее) тат 2) направление изменения у неправильно.
В первом случае (поиск на интервале времени Тю рис. 6-26) величина у уменьшается, т. е. изменение происходит в том х<е направлении, как и изменение сигнала сравнения у, время поиска Т, получается длительным и величина у успевает приблизиться к экстремуму. После того как величины т) — за и у сравняются, происходит переход на режим 178 В результате этого начинает изменяться и величина у = -- 1 (х,, ..., хе). ОпРеДеление пРавильности изменениЯ У пРоводится по следующему алгоритму сравнения (алгоритм В). Чтобы избежать необходимости дифференцирования у и усиления при этом влияния высокочастотных помех, сравнивается величина у с величиной некоторого сигнала сравнения Ч, который вырабатывается генератором сигнала сравнения (ГСС) и подвергается принудительно медленным изменениям. При этом устанавливаются два режима работы системы: режим подготовки и режим поиска.
В режиме подготовки (в случае поиска минимума) величина т) медленно возрастает со скоростью т) = с ) О, при этом регулирующие органы неподвижны и при отсутствии помех в объекте, приводящих к блужданию экстремума, у остается постоянным. Предполагается, что перед этим, в предшествующем режиме, величина т) была меньше у. Когда ко мере роста т) станет равным у (илн т) + зт = у при наличии зоны нечувствительности е,), происходит переключение на режим поиска: регулирующим органам по алгоритму А сообщаются новые скорости и у начинает иаменяться. Величина сигнала сравнения т) в режиме поиска медленно убывает со скоростью т) = д ( О.
Режим поиска продолжается до тех пор, пока снова у не станет равным т) (или т) — за = — у при наличии зоны нечувствительности за). Характеристики режимов сведены в табл. 6-1. При этом могут быть два случая: 1) изменение у совершается в правильном направлении; подготовки. Во втором случае (пенок на интервале времени Т,) величина у возрастает, удаляясь от экстремума. Так как изменения у и П совершаются в противоположных направлениях, р быстро догоняет т), неудачный поиск заканчивается быстрее и снова наступает режим подготовки. и Описанный алгоритм, таким образом, состоит из двух частей: и алгоритм А выработки решения и алгоритм В оценки результатов.
Характерным для предлагаемого метода является вторая часть — алгоритм В. Для алгоритма А при этом можно предложить любую процеду- и ру — детерминированную илн случайную. Автор метода в [149] описал Рвс. 6-26. систему, где в качестве алгоритма А использовалась случайная процедура, сходная с той, которая использовалась в «усилнтеле отбора» Р. Эшби [203). Из источника возможных случайных состояний ИС (рнс. 6-27), например таблицы случайных чисел в памяти цифровой машины, с помощью генераторов случайных сигналов ГС, число которых равно числу регулирующих органов объе екта, производится каждый раз случайная выборка знасг л з „ченнй, преобразуемых в воз- действия на регулирующие а органы [и„и„..., и„).
гсс Другие методы испольгс„ зовання случайного поиска, н их исследование даны в [151, 150, 48). Исследования Рис. 6-27. показали, что потери на поиск для метода случайного поиска с возвратом в исходное полоякение после неверного шага и пересчетом оказались меньше потерь на поиск по соответствующим модификациям метода градиента, если число каналов системы больше трех. На этом основании автор рекомендует случайный поиск как основной метод для многоканальных систем. 9-4. Примеры выполнения многоканальных оптимизаторов о раолнчными методами попона Приводимые ниже краткие описания основных узлов многоканальных оптимизаторов в большинстве своем касаются лабораторных опытных образцов н приводятся с целью иллюстрации ожидаемых возможностей оптимизаторов.
1к9 Мы уже видели выше, что обычные экстремальные регуляторы экстремума функции одной переменной могут снабжаться устройствами для поочередного включения одного и того же регулятора в разные каналы управления (рис. 6-11). Однако независимые фиксированные заранее величины тактов работы каналов образуют далеко не лучший способ поиска. При этом движение данного регулирующего органа может прекратиться принудительно задолго до достижения частного экстремума по данной координате либо, наоборот, данный канал будет долгое время, пока не сработает кулачок 16, оставаться включенным восле достижения экстремума только по данной координате.
Бсе это создает излишние мпоп$5!пыг1 5 п<и~1 Рис. 6-26. потери и затягивает цикл поиска. Сделав работу переключателя каналов зависимой от знака Ьр, мы можем получить многоканальный оптимиаатор, работающий более организованно и осуществляющий поиск, например по методу Гаусса — Зайделя. Для экстремального управления безынерционными многокоординатными объектами возможно применение многоканальных систем, осуществляющих движение к экстремуму по методу градиента, использующих измерение частных производных фЯх; (например, с помощью синхронного детектирования) или я~е производных ду!й по методу, рассмотренному выше. Блок-схемы этих устройств показаны яа рис. 6-28 и 6-29. Рассмотренные выше одноканальные оптимизаторы (рис. 6-8 и 6-16) здесь просто повторяются в различных каналах.
В качестве примера системы, работающей по методу градиента, рассмотрим двухканальный автоматический оптимизатор ДАО-2 (7). Блок-схема оптимизатора показана на рис. 6-30. Относительно объектов, для которых предназначается оптимизатор, предпола- 180 гается, что они могут быть представлены в виде соединения линейных динамических звеньев Ь, и Ьг и нелинейного безынерционного звена с характеристикой у =- 1 (х„хг), имеющей в рабочей области Рвс. 6-29.
х„ха~ Х экстремум (рнс. 6-30). На входы 1, и Ц подаются соответственно управляющие воздействия и, и и,. Каналы управления считаются независимыми. и, Х~ Оптимизатор рассчи- аг тан на два варианта: У 1) вариант, при котором скорость блуждания эк- ~7 стремума достаточно ма- г игг-в г) ла в сравнении со скоростью переходных про- ид, оьг ~-.гг) цессов в Лд и Б„ 2) вариант, при котором эти две скорости соизмеримы. пт й и В первом варианте схема работает следующим образом.
Про- ид~ оо~ граммное устройство ПУ ( — а„) дает команду на изме- ги -л„1 ~гг рение показателя качества у в исходной точке Рас. 6-30. и на направление результата измерения в операционный блок ОБ1 первого канала. Дискретный фильтр Ф преобразует отфильтрованный от помех показатель качества У в число пп, пРопоРциональное У, котоРое постУ- пает в реверсивный счетчик блока ОБ1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
