Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Нужно проверить несколько положений, заклк>чающихся в этом предположении. Прежде всего проверим, существует ли функция координат системы, выражающая сформулированный критерий оптимальности, имеющая в рабочей области наименьшее значение. Выразим удельный расход У горючего на километр пути следующим образом: (6-4) откуда (6-5) Мы видим, что У не определяется однозначно управлением о, а зависит также от иаменений нагрузки й, и от ускорения экипажа х. При этом ускорение х не является независимой координатой. Его изменение зависит не только от текущего аначения д, но и от того, как д изменяется во времени. Строго говоря, точно решить задачу о минимизации расхода горючего в динамике мы могли бы методами оптимального управления, рассмотренными в прошлых главах, а именно: найти управление д (Г), минимизирующее функционал М Е= (д()а ~в (6-6) при граничных условиях х (0) = х„х (Т) = хк, заданном возмущении Й, и при ограничении типа неголономной свяаи, выражаемом уравнением (6-3).
Однако даже в рассматриваемом случае, который относится к простейшим, решение оптимальной задачи 148 где () — абсолютный расход горючего; д = Ы()/с(г — удельный расход горючего в единицу времени. Приняв гипотезу о том, что за критерий оптимальности можно принять величину У, мы получаем возможность решить задачу, не прибегая к сложным математическим операциям, на основе лишь измерения текущих значений д (расходомером) и х (спидометром) и деления первого на второе. Пусть в данной задаче имеется только один регулирующий орган, управляющий поступлением горючего в двигатель, и перемещение этого органа пропорционально д, будем поэтому рассматривать в качестве управляющего воздействия величину д. Выразим У через о. Из (6-3) следует что г.г— *=~ =л Уо — Й,— тх ау 2,4 ф Д4 22 2О (В БВ З,Б 15 БС ' а5 Ц5 Рвс. 6-1. 15 йЕ ББ Бп 15 2О априори внаем, что в динамике на траектории движения ускорение х будет пренебрежимо мало.
Полагая х = О, из (6-3) получим (6-7) УБ ьо Нетрудно видеть, что У, определяемое уравнением (6-7), имеет минимум в точке д» = 2к„причем 7' = ун1о —— 2йо)'йо. (6-8) При изменении нагрузки Йо точка экстремума смещается. На рис. 6-1, а показаны кривые У = — 7' (д) при значениях й = 1 и й, = 0,6; 0,8; 1,0 и 1,2.
На рис. 6-1, б даны кривые У = ~р (х). Кривые удельного расхода горючего, сходные с приведенными кривыми, характерны для ряда управляемых подвижных объектов. На рис. 6-2 показаны кривые вависимости расхода д горючего на километр пути в функции скорости полета и для различных полетных весов 6 для одного из типов самолетов [57). Полет на дальние расстояния с наивыгоднейшей (крейсерской) скоростью, при которой удельный расход горючего на единицу пути минимален, 14Э сталкивается с серьезными аналитическими трудностями, связанными с необходимостью решать систему нелинейных уравнений, и с практическими трудностями реализации довольно сложной схемы оптимизатора. Для упрощения подобных задач часто првнимакот, что нарушениями оптимальности в динамическом режиме можно пренебречь и достаточно осуществлять оптимальное управление лишь в статике. Это можно сделать, если мы знаем заранее, что динамические режимы, вызванные, например, изменениями нагрузки, редки и на большей части траектории движения происходит установившееся движение.
Эта же гипотеза может быть принята, если мы имеет очевидный технико-экономический эффект. Так как с уменьшением веса самолета наивыгоднейшая скорость уменьшается, то при дальних полетах, когда вес горючего может достигать половины полетного веса, поддержание экстремума удельного расхода топлива становится необходимым. Первые упоминания в технической литературе об экстремальных регуляторах содержатся в статье Леблана 1922 г., где описан регулятор для колебательного о= 4ооохг контура для электропоезда (на оооо повышенной частоте), по суще- ству, действующий как экстре- мю агро мальный регулятор [245], и в 65 1926 г.
в книге Штейна [261] высказывалась идея регулироЯ4 вания топки парового котла с обеспечением минимума потерь оззо ~оо ~,о . о гоо . о„„, в дымовои тРУбе за счет из- менения избытка воздуха. В Рис. 6-2. 1940 г. Ю. С. Хлебцевичем была предложена схема электрического регулятора экономичности для поддержания максимума к. п. д. [192). В 1943 г. В. В. Казакевич предложил ряд схем экстремальных регуляторов; в последующие годы сделал теоретический анализ переходных процессов, вывел критерий устойчивости процессов оптимизации и провел соответствующие экспериментальные исследования [56, 57).
Несколько позднее появилась работа А. П. Юркевича об оптимизации скорости вращения авиационного двигателя [201]. Широкую известность принцип экстремального регулирования приобретает в 50-х годах, после опубликования главы об экстремальном регулировании в книге Цян Сюэ-сеня в 1954 г. [263], книги и серии статей Дрейпера н Ли [219) и других американских авторов. Первые обзоры и разработки вопроса в отечественной литературе публикуются с 1957 г. [121, 116).
6-2. Основные схемы систем энстремальнега регулирования сдисй величины Пусть л — координата объекта; у =- / (л) — показатель экстремума; з — координата регулирующего органа. Рассмотрим сначала управление безынерционным линейным объектом, для которого можно принять г = х. Необходимыми и достаточными условиями нахождения в точке экстремума (минимума) будут ~~=0, (6-9) о", )О. (6-10) 166 Допустим сначала, что в рабочей области изменения х существует три (рис. 6-3) экстремума типа минимума у „у„, и у„,.
Каждый из этих экстремумов называется локальным экстремумом. Наименьший из минимумов (на рис. 6-3 это у„,) или наибольший из максимумов называется глобальным экстремумом. Все существующие системы экстремального регулирования строятся так, что они оказываются в состоянии привести систему лишь в тот локальный экстремум, в окрестности которого они начинают действовать.
Окрестностью локального экстремума при этом называют ту область изменения координаты, в которой внак производной по одну сторону экстремума остается неизменным. Так, окрестностью ло- 0 Ф хз х, хз Рис. 6-3. Рис. 6-4. кального минимума называют ту область изменения х, в которой остаются справедливыми неравенства: ,'— у<6, х<х,", д~) 6,),;. (6-$$) 161 где через х,' обоаначена та величина х, которая соответствует локальному минимуму уи ь Так, окрестность минимума у„, на рис, 6-3 ограничена интервалом [х„х,) (на рисунке заштрихован). Если в системе существует несколько локальных экстремумов, то единственный известный на сегодня путь приведения системы к глобальному экстремуму состоит в предварительном прощупывании всей рабочей области, нахождении окрестности глобального экстремума, приведении системы экстремального регулирования в одну из точек атой окрестности и затем включении в действие устройства поиска экстремума.
При всех дальнейших рассмотрениях мы будем считать, что в рассматриваемой области существует единственный экстремум, или что если экстремумов несколько, то мы уже находимся в окрестности глобального экстремума, и не выходим из нее в процессе работы системы. Рассмотрим рис. 6-4. При принятых условиях, нетрудно видеть, что зная ~, = д~/дх, мы имеем возможность принять решение о том, в какую сторону следует изменять х, чтобы приблизиться к экстремуму. Так, в случае регулирования на минимум, если ~„отрицательна, то т надо увеличивать, если положительна— уменьшать.
Эти условия можно записать следующим образом: — *) 0 если ~„(0; —,(О если ~,)0. (6-12) Очевидно, что в случае поиска максимума, будем иметь — „(О если ~„(0; — *, )0 если ~„)0. (6-тЗ) Эти неравенства показывают, что если мы априори знаем, что находимся в окрестности искомого экстремума, то знание анака с о Ф с 0 Р ИЭ Рис.
6-5. 152 частной производной ~, достаточно, чтобы определить направление требуемого изменения координаты объекта, обеспечивающего приближение к требуемому экстремуму. Используя знак у„, можем построить релейную систему экстремального регулирования, используя знак и величину ~„, можно построить непрерывную систему экстремального регулирования. Системы с прямым использованием сигнала по частной производной.
Если бы мы имели хорошо действующий измерительный элемент для мгновенного измерения ~„ то структурная схема системы экстремального регулирования выглядела бы так, как показано на рис. 6-5. На рис. 6-5, а изображена схема непрерывной системы. Производная („ выходной величины у объекта 0 определяется измерительным элементом ИЭ. Значение э, подается на усилитель с коэффициентом усиления Й, управляющий сервомотором переменной скорости (интегрирующим звеном). На рис. 6-5, б сервомотором постоянной скорости С управляет реле Р, реагирующее на знак Э'„.
К сожалению, намерение /„ оказывается трудной задачей,и такого рода схемы пока еще не удается реализовать. Измерить /„ в статике невозможно, так как по самому определению производной для ее измерения необходимо менять аргумент и функцию. На рис. 6-6 показана схема, осуществляющая измерение Ау/»й и Ах/й и деление их друг на друга. В результате деления получаем /„= ду/дх. Если в качестве исполнительного органа используется интегрирующий элемент, то дх/Й вЂ” его входная величина, поэтому специального органа для измерения»)х/»й в схеме ке нужно. Трудности в реализации схемы состоят в следующем.
Во-первых, сигнал на входе управляющего устройства получается путем дифференцирования, при этом же возрастает влияние высокочастотных помех, и если схема подвержена действию таких помех, то реалиаация схемы сильно затрудняется. Далее, дифференцирующие элементы, как показано в части 1, имеют неизбежную динамическую погрешность, и измерение /, становится неточным. Серьезные затруднения возникают при измерении ма- У »х лых значений /„.
Поэтому, » ~ ~~/ у чтобы исключить такую область, приходится искусственно вводить зону нечувст- г ° вительности. Системы с синхронным ,Ф' детектором. В практике для непосредственного измерения Рвс. 6-6. в ряде случаев используется модуляция системы посредством вспомогательного гармонического сигнала [1, 75).
На рис. 6-7 показан реаультат воздействия на объект синусоидального сигнала малой амплитуды в разных точках экстремальной характеристики. В точках А, и А„ расположенных слева от экстремума, выходной сигнал будет иметь ту же частоту, что и входной, фааа же его будет противоположной фазе входного сигнала. Если считать, что амплитуда а входного сигнала настолько мала, что кривая р = / (х) в интервале х -+- а близка к прямой, то амплитуда основной гармоники выходного сигнала будет пропорциональна крутизне характеристики, т. е. пропорциональна /,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
