Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Для экстремального регулирования в этом случае могут быть использованы схемы с сннхроннымн детекторами СД (рис. 6-22), з которых поисковые сигналы 6„. подаются на синхронные 171 х; = хгр + бх„ где х,„— то полонзение 1-го регулирующего органа, которое было бы при отсутствии флуктуации, назовем его рабочим положением; б — шум в ~-м канале.
х Предположим, что бх, в равных каналах представляют собою независимые центрированные случайные функции времени, для которых справедливы соотношения: М (бх;) =0; )М(бх1)'(=б,. при )'=1 0 ) при уф1; М (бх,.бх,... бх,) = О, по крайней мере, при 1 ~ ) =~ к, ... Выходные величины синхронных детекторов будут (6-28) = ( й( )(/б*,~-~ р— 6*,6*,4-...) ш, х-29~ а где И',р (р) — линейные операторы фильтров синхронных детекторов; Й, (г) — весовые (импульсные переходные) функции. Значения функций в круглой скобке под интегралом берутся при аргументе 8 — т. Находя математическое ожидание и учитывая свойства центрированных функций (6-28), получаем их=И Фх(Р)~ бххд + ° ~ ~ йт(т)~ бхид +...~4т т Обычно члены, имеющие высший порядок малости, могут быть отброшены.
Если случайные колебания поиска стационарны, а рабочие составляющие координат постоянны, то — д( бх' = сопзФ, — = сопз1 дх лх бхх~~'ч и (0) д — б~м д "х (т) с(т. (6-30) 172 детекторы либо от внешнего генератора шумов, либо от датчиков, измеряющих естественные шумы в объекте. В последнем случае сигнал помехи пропускается через фильтры, выделяющие высокочастотные составляющие помехи, которые и подводятся к синхронным детекторам в качестве опорных сигналов.
Пусть Таким образом, математические ожидания выходных сигналов синхронных детекторов с точностью до малых высших порядков пропорциональны соответствующим частным производным. Но так как центрированные случайные составляющие выходных сигналов множительных звеньев не подавляются фильтрами полностью, то выходные сигналы также содержат в своем составе случайные помехи. В [77[ для квадратичных характеристик объекта, стационарных бх, и постоЯнных х,.а опРеделена диспеРсил (их — ит)' =- 52бх,.",т, ~ )гт (т) г(т а (6-31) и отношение сигнала к шуму —: а[ о[ бх~— А=,' =[/ (6-32) [~'Я[' ~, где через Х» обозначена интегральная квадратичная оценка им- пульсной переходной функции: 1, = ~ (с," (т) ~й. (6-33) о Из (6-32) видно, что для увеличения А целесообразно умень- шать время корреляции поисковых сигналов. Однако возможность уменьшения ограничивается инерционностью объекта.
В инерционных объектах определение частных производных, так же как и в случае регулярных поисковых воздействий, значи- тельно усложняется в связи с тем, что выходные величины син- хронных детекторов будут в общем случае содержать составляющие, пропорциональные всем частным производным. В частном случае, как показано в [77), когда степень числителя передаточной функ- ции объекта (т. е.
части системы, входом которой является пере- мещение регулирующего органа з, а выходом — результаты из- менения координат объекта х) на единицу меньше знаменателя, а в качестве поисковых сигналов используются невависимый белый шум или шум с равномерной спектральной плотностью в диапазоне частот, намного превосходящем полосу собственных частот объек- та, синхронное детектирование можно использовать в таком же виде, как и в безынерционных системах. 3-3.
Оонаеные методы попона экотремума функцнй многих переменных Различные виды поиска можно разделить [т86) на две основные группы: 1) слепой поиск; 2) поиск с анализом промежуточных результатов. При слепом поиске необходимо знать область рабочих (или допустимых) значений аргументов х, функции у = у (х,). Другой !73 информации о функции ~ почти не требуется (если не считать, что подразумевается ограниченность этой функции и наличие конечного числа экстремумов в рабочей области, расстояние между которыми больше, чем расстояние между шагами поиска). Одна из форм поиска — сканирование, т.
е. последовательный просмотр всей допустимой области значений аргументов. Сканирование может быть организовано различными регулярными способами: построчное — как в телевизорах, спиральное — как в радиолокаторах и т. д. В процессе просмотра запоминается наибольшие (или наименьшие) кз всех предыдущих значений функции и в конце цикла сканирования выбираются те значения х, которые соответствуют наибольшему из максимумов (или наименьшему из минимумов). Этот вид поиска решает задачу глобального поиска экстремума. Однако трудно представить себе промышленную или транспортную установку, для которой осуществление такого способа поиска было бы позволительным.
Этот способ используется в математических приборах, в вычислительных устройствах для нахождения экстремумов и других особенностей функций. В промышленной установке глобальный поиск мог бы осуществляться на модели установки, соответствие которой оригиналу провернется и корректируется в процессе работы. Интересной формой слепого поиска является случайный поиск. Предложен ряд вариантов случайного поиска.
Один из вариантов состоит в том, что устройство поиска задает по случайному закону ряд комбинаций (х„ хм ..., х„). При каждой комбинации происходит измерение у и отбрасывание его, если оно (при поиске минимума) оказалось больше предыдущего, или же при запоминании его и стирании из памяти предыдущего значения, если оно оказалось ближе к искомому значению. После достаточно большого числа поисковых попыток поиск прекращается и последние значения у" (х~, х',", ..., х,*,) считаются оптимальными. Чрезмерно большая длительность этой процедуры привела к разработке других вариантов, в которых время поиска сокращается. Так, например, в другом варианте случайный поиск разделяется на этапы. По окончании каждого этапа происходит перераспределение вероятностей выбора различных значений з, так, чтобы те значения, для которых вероятнее меныпее значение у, выбирались чаще. Возможны также комбинации регулярных и статистических процедур (т86).
Среди видов поиска второй группы (поисков с анализом промежуточных результатов) происходит постепенное накопление информации, позволяющее ускорить процесс приближения к экстремуму. Наибольшее распространение получили следующие виды регулярных поисков этой группы. 1. М е т о д Г а у с с а — 3 а й д е л я. Устанавливается очередность изменения координат х„хм ..., х„.
Пусть она совпадает с очередностью индексов 1, 2, ..., и. Сначала шагами изменяем первую координату х,. Пусть отыскивается минимум и сделан первый пробный шаг Лх,. В конце каждого шага определяем знак приращения бу. Если Лу положительно, первый шаг сделан в кок<нем направлении, изменяем направление и движемся до тех пор, пока Ьу в конце как<доге шага остается отрицательно. Когда йу станет равным нулю (или переменит анан), прекращаем изменение х, и начинаем изменять кю сохраняя все остальные координаты постоянными. Изображение идеальной (с бесконечно малыми шагами) траектории поиска по методу Гаусса — Зайделя экстремума функции двух переменных показано на рис.
6-23, где тонкими линиями нанесены линии у =- совз$. Вид траектории существенно аависит от расположения поверхности р и начальной точки А,. Линия 1 со- аг ответствует наиболее благоприятному расположению, приход к экстремуму происходит за один цикл изменения только координаты х,.
При том же расположении осей, но ином О г расположении начальной точки В, приближение к экстремуму х происходит за несколько этапов (кривая 2). Процесс поиска существенно удлиняется. На бы- 8 строту и даже на сходимость а Х Р у поиска может оказать влияние и величина шага. При атом возможны колебания вдали от экстремума. На рис. 6-24, а движение начинается из точки А .
Первый шаг сделан, допустим, в точку А„где Ьу оказалось положительным. После этого следуют три шага снова в точку А„затем в точки А, и Аэ. В точке Аз произошла смена знака, н процесс изменения хз прекращается, начинается изменение координаты х,.
Делается шаг в точку А,. Так как в ней йр ) О, делается обратный шаг в точку Аэ и еще шаг в точку Ам В точке Аа Лр снова стало положительным, поэтому изменение х, прекращается и начинается изменение х,. Рис. 6-24, а показывает, что процесс оказался расходящимся. Во избежание этого в Н90) предложено чередовать направление первого шага в повторных циклах: если в первом цикле первый шаг по переменной был положительным, то во втором цикле он делается отрицательным и т. д. На рис.
6-24, б показан поиск в той же системе при тех же начальных условиях при соблюдении чередования направлений. Отличаясь сравнительной простотой в конструктивном воплощении, метод Гаусса— Зайделя отличается наибольшим временем поиска по сравнению с другими методами, поэтому он используется обычно в малоканальных оптимизаторах. 176 2. М е т о д г р а д и е н т а. Предположим, что на предыдущем шаге были определены все частные производные ~„, ~„з, ..., .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
