Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 36
Текст из файла (страница 36)
+ " + ц,А„, 1=1, 2,, л. (7-7) Уравнения (7-7) содержат пз коэффициентов а„, выбор которых ограничивается условиями знакоопределенности формы И'. Необюдимые и достаточные условия знакоопределенности (условия Спльвестера, (197!): зп вм . "ь а а а ~(). и и «() амазз ..аз„-.() 11 -= нмвяз в„~н ю. (7-8) где верхние знаки неравенства соответствуют определенной положительности, а нижние — определенной отрицательности формы. Обычно пз произвольных постоянных — слишком большое число и для практического решения задачи бывает достаточно ограничиться меньшим числом параметров настройки.
В атом случае можно ввести более простые способы выбора произвольных коэффициентов, основывающиеся на достаточных условиях знакоопределенности, выражаемых равенствами. Так, подставляя (7-7) з (7-2), получим а и -"— =И'= ~~ (а;;+ад)Я;+ ~~ азь~(. с~=1 л=~ )ФЭ (7-9) объекта и измерительных устройств, то функции Г и И', так как ,еперь они будут зависеть не от всех координат системы (включая х и з), а лишь от их части, не будут относиться к классу знакоопределенных функций, поэтому для определения устойчивости и вообще характера движения к экстремуму потребуется рассмотрение всей совокупности уравнений. Заметим, что даже в первой группе систем (с безынерционными объектами и измерительными элементами) обеспечение условий знакоопределенности функции (7-4) не гарантирует хорошего качества регулирования по всем координатам х. Система в данном случае существенно нелинейна и при монотонном изменении у может иметь место сильно колебательное изменение координат х.
Для того чтобы наглядно уяснить это положение, представим себе гору, на которую ведет дорога, все время поднимающаяся вверх, ко извивающаяся в виде серпантина или многократно оборачивающаяся вокруг вершины спиралью. Поэтому достаточное условие монотонности приближения у к экстремуму не всегда будет достаточным условием приемлемого качества регулирования. Наиболее просто реализуемой в технических условиях формой функций ~ро очевидно, является линейная форма, рассмотрением ьоторой и ограничимся. Наиболее общей линейной формой будет ~ а, которая включает все переменные задачи: Рассмотрим следующие виды частных достаточных условий знакоопределенности: 1) (7-10) При атом И' =: ~ У. )' он (7-11) и число проиэвольно выбираемых коэффициентов бв (~~+~)а а '!— 2 (7-12) ~Ь~ -~,-=--о !.,+о Ь,+о э!ю+ .+о„!*„ Нх, .~~ = оы!ю:1 ам!, + оез6.
+ ° + он,!»„ сЫ~д — = — аы!„, — а„!,,:г а, !„, +... (-а,,!,. (7-14) Ыхв —;„- = — о~.!ю — оз,,!ю — аз„!и — . = о„„!., Функция )т при этом имеет вид и И= ~ н!„-,. , 1 1 (7-15) Верхние знаки в выражениях (7-14) и (7-15) соответствуют поиску максимума, нижние — поиску минимума. а" =- 0 а = О. н( ~ ц. (7-16) 3) Число произвольно выбираемых коэффициентов при этом равно п 4) (7-17) оп=а, а~ —— 0 ~Ь При данном выборе коэффициентов движение к экстремуму осуществляется вдоль направления градиента. 192 что составляет 1, 3, 6, 10 для п = 1, 2, 3, 4 соответственно. 2) ап) О, а~ —— — ая.
(7-13) Лу Этот способ выбора коэффициентов был предложен в (33, 34, 55]. Здесь число проиэвольно выбираемых коэффициентов также определяется формулой (7-12). Уравнения (7-7) принимают вид (если ап выбраны положительными): 7-3. Дккамкка непрерывных кдвальных екстремалькых састем, работамщкх пе методу градкента Динамика градиентных квазистационарных систем детально рассмотрена А. А. Красовским [77).
Структурная схема управления безынерционным объектом показана на рис. 7-3. Звенья с передаточными функциями И',. могут представлять инерционность фильтров и исполнительных устройств. Относительно функции у = Г (х„х„..., х ) делаем предположение, что она является (нли меняет быть в рассматриваемой области аппроксимирована) гиперповерхностью их, р р в Ь;;(х, — хр) (х; — х,*), (7-18) Рвс. 7-Ъ.
имеющей в точке уз = Г" (х,", хз, ..., х„*) экстремум типа минимума или максимума. В И97) показано, что при сечении атой гиперповерхности плоскостью у = сопз$ мы получаем гиперповерхность второго порядка, называемую квадрикой, которая в данном случае представляет собою многомерный эллипсоид, центр которого совпадает с центром координат Ьх; = х; — х,". Уравнение вида ь„— л ь„...
ь„, йм ь„— л... ь,„ (7-19) =0 ь~ ь„, ...ь„„— л называется вековым уравнением. Все корни векового уравнения, составленного для коэффициентов эллипсоида, вещественны, положительны для экстремума-минимума и отрицательны для экстремума-максимума, а нх модули обратно пропорциональны квадратам полуосей определяющего эллипсоида У; Ь,Ахкйх,=1. ьг 1 (7-20) 193 В случае функции двух переменных поверхность у = г (х„х,) будет представлять собою эллиптический параболоид в пространстве (х„хю р), сечение которого плоскостью, перпендикулярной оси у, дает эллипс, а плоскостью параллельной оси у — параболу. Уравнения движения к экстремуму (7-7) при использовании метода градиента в случае безынерционных объекта иканалов управления в соответствии с условиями (7-17) имеют вид — „,'=-+ а(7'.
+$,), (7-21) где воздействие $, (см. рис. 7-3) может включать в себя поисковые воздействия и шумы. В случае линейных инерционных каналов (7-22) где (т' — передаточная функция канала. (Мы будем считать, что передаточные функции во всех каналах одинаковы.) Из (7-18) следует, что (7-23) р'=! в ~ Н~з ч~ ~ ~~х1 '+ — — — ~ о"Лх =Ц~ — —. а Ш ~~~ М 7 а (7-24) Запишем уравнение в виде отношения определителей: Ак~ — — — ' — — — ~~ А~ ~ — ' — з., Л Ь,~~ ~ (,-+- а ~/" (7-25) где Ь вЂ” определитель системы, равный ь, ь,„ ь„—— Р Р ы -+- йм (7-26) ь„„—— Р Л; — определитель присоединенной матрицы, получаемый из Ь путем замены 1-го столбца столбцом из правых частей уравнения (7-24); Л,.; — алгебраическое дополнение элемента 1-го столбца и у-й строки определителя Л.
Корни характеристического уравнения системы (7-24), как это видно из (7-26), с точностью до множителя г/а совпадают с корнями векового уравнения (7-19). В случае экстремума-макси- 194 при наличии переменных во времени воздействий точка акстре- мума также будет изменяться (чдрейфовать»), поэтому после подстановки (7-23) в уравнения (7-21) и (7-22) получим для безы- нерционного канала мума корни векового уравнения отрицательны, в (7-25) берется верхний знак, такой же, как в вековом уравнении, следовательно, корни !Л также отрицательны. В случае экстремума-минимума корни (7-19) положительны, но в (7-25) берется нижний анак, противоположный знаку при Л в вековом уравнении. Отсюда следует, что все корни характеристического уравнения замкнутой безынерционной идеальной системы непрерывного экстремального регулирования, работающей по методу градиента, вещественны и отрицательны.
Степень устойчивости ~ Л зв!и— !а~ Сйьах (7-27) где С,„— длина наибольшей полуоси определяющего эллипс оида. Это дает возможность либо оценить время регулирования Тр (3 —: 4) с-, (а ~ (7-28) (7-29) где (7-30) Р и! ' ' ' ии ту(р) Так как (7-30) получается из (7-19) заменой Л на р/И~(р), то все корни характеристического уравнения Ь = 0 получаются из соотношения Р! 1 И (Р,)=-+-С;. (7-31) где С! — полуоси определяющего эллипсоида. Так как коэффициент их усиления И~ (О) отрицателен в случае регулирования на минимум и положителен в случае регулирования на максимум, то соотношение (7-31) можно привести к виду ~" — ',— ', +1=0.
(7-32) Отсюда следует, что для устойчивости градиентной идеальной непрерывной системы с безынерционным объектом и одинаковыми 19б либо выбрать а по заданному времени регулирования (оно должно быть примерно на порядок больше периода шумов). В случае инерционных каналов с одинаковыми передаточными функциями И' из (7-25) и (7-26), заменяя а на И~, получим у — у» = Ь1тйх,'+ Ь, Ах,'. Будем считать, что положение экстремума неизменно. Тогда д/ д? да»1 г ' дахз — = 2Ьмйхм =2Ьззйхз. Выбираем коэффициенты а в соответствии с (7-14). Тогда, так как функция имеет минимум у» = О, то Ых~ — =- — ам~хт = — 2амдггйхб д? Нхз — = — аз,? х, = — 2а, Ь ?ххм д? Выбирая (7-33) амЬм — — аззЬ»з = а, получим Я а„= —, ь а ..— ) за= д„.
(7-34) 1йй каналами необходимо и достаточно, чтобы были устойчивы п изолированных каналов, представляющих замкнутую цепочку, состоящие каждая из данного канала, интегрирующего звена и 1 безынерционного звена с коэффициентом усиления —,(рис. 7-4). При инерционном объекте задача усложняется. В результате синхронного детектирования на выходе каждого нз детекторов появляется величина, линейно вависящая не только от ?„, данного детектора, но и от остальных частных производных. Это равносильно появлению перекрестных связей в системе.
Получается система многосвязного регулирования. Для таких систем метод градиента становится уже обычно недостаточно эффективным. Метод градиента представляется вполне естественным, когда определяющий эллипсоид представляет собою шар. Если же полуоси эллипсоида имеют разные ? с; Р длины, то постоянные времени движения по разным осям получаются также разРяс. 7-4. личными, пропорциональными квадратами полуосей.
Получается несоответствие: чем больше полуось, тем медленнее происходит иаменение координаты по этой оси. Рассмотрим некоторые другие способы выбора коэффициентов. Пусть В тех случаях, когда воздействия по частным производным выбираются прямо пропорциональными квадратам соответствующих полуосей определяющего эллипсоида, при функции ~ вида У= ~, ЬпЛхд, (7-35) д=д Нетрудно видеть, что в данном случае движение осуществляется по линии пересечения поверхности у = = 7 (хд, ..., х„) с плоскостью, проходящей через ось у и начальную точку уэ = / (хдо, "' ххэ) (рис 7-5) В более общем случае, когда определяющий эллипсоид повернут относительно осей, задача об автономном Рве.
7-5. регулировании с равными постоянными времени также может быть решена путем введения воздействий по всем частным производным в каждом из каналов. Пусть д д 1 дд у — — Ь,х,+ Ь, хдх + — Ь,х,, (7-37) причем Ь,Ь, — Ь,', ) 0 и, следовательно, при у = сопэС получаем эллипс. Функция у имеет минимум в начале координат. Выбираем для движения регулирующих органов уравнения: ахд — =а,Д„,+а„~;, Ых~ — = адд/„+ а„7„,. (7-38) Находим ду дх Ьдхд + ьд тд дхд ад ~.,= —,=Ь„*,+Ь,*,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
