Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Н. Петровым И24 — 126]. Если в системе с конечными коэффициентами усиления во всех звеньях реализованы условия инвариантности для координаты хз по воздействию )з и координата х, совершенно не изменяется при изменениях возмущения, то очевидно, что размыкание связей, по которым зта координата воздействует на другие координаты, не долясно изменить состояния системы '. Решения уравнений системы при этом (разумеется, при нулевых начальных условиях и отсутствии других воздействий, кроме рассматриваемого), не должны измениться при размыкании всех связей, по которым координата х, воздействует на систему. Разомкнем эти связи.
Тогда, поскольку решение уравнений для системы не должно измениться, инвариантность для данной координаты хз по отношению к воздействию у,. должна сохраниться и для разомкнутой системы. Но это означает, что в разомкнутой системе должно существовать не менее двух параллельных каналов для прохождения воздействия в той части системы, которая располоясена между точками приложенин воздействия и измерения координаты.
' И. Н. Вознесенский исиользовал зто утверждение в качестве опровержения возмовзиостя построить инвариантную систему регулирования но отклонению: если зз ==: О, то регулятор по отклонению бездействует и яе нужен, так как его можно изъять, не изменив состояния сиотемм, 243 В самом деле, в одном канале, представляэощем собою последовательную цепочку звеньев, при приложении воздействия на входе движение всех элементов цепочки неизбежно, и устранить его можно с помощью второго параллельного канала, передаточная функция которого равна передаточной функции первого ! канала, взятой с обратным ! ш„эч! а!э знаком.
Этот необходимый (но ! ! не всегда достаточный) струк! ! !б! турный признак реализуемости условий инвариантности получил название принципа двухканальностн. В системах с прямым измерением возмущения цепь измерения и образует втощ', а!я (!Ъ рой канал, благодаря которому ннвариантность становится доД ! стижимой. ! С помощью различного рода ! — — внутренних связей в системе ! — можно образовать второй канал для прохождения воздействия ~; ! ! и реализовать условия инвазз~ им иЪ риантности, хотя прн этом явного измерения 1, и нет; этот ! ! б второй канал можно трактовать ! как канал косвенного измерения воздействия и отнести сиРвс. 8-7.
стему также к классу комбинированных систем. В качестве примера рассмотрим систему, описываемую уравнениями в терминах преобразования Лапласа! Хэ — и!мХэ — в,зХз — юдуй!; — иЬ~Хь+ Хе иээХз = югу~а! ~ — шюХ~ — юзэХе+ Хз = и~згРз. (8-68) 244 Структурную схему атой системы можно изобрааить так, как показано на рис. 8-7 [1131. Пусть Хг — изображение регулируемой координаты, а первое из уравнений есть уравнение объекта. Хэ и Хэ рассматриваем как два регулирующих воздействия. Инвариантность системы для координаты Х, по возмущению Р, недостижима, так как существует лишь один канал для передачи воздействия от Р, к Х„ что легко видеть непосредственно на схеме рис.
8-7 (этот канал (8-69) И'„= О и при г'3 = г'3 = 0 имеем (8-70) где определитель Л и его алгебраические дополнения соответ- ственно равны Л И 11 Ш21И 21 Ш31 31 И 11 = 1 — Ш2ЗШ32, И 21 = Ш12 + Ш13Ш22 И 31 = Ш13 ~ ШмШЮ, И и = шм+ шззшз» И м = 1 шззшз» И 32 = шзз+ шззшм И 13 Ш31+ Ш21Ш321 И 23 Ш32+ Ш12н31 И 33 ~ Ш12Ш21' (8-71) Разомкнем связи, по которым координата Х1 воздействует на остальные элементы системы, т. е.
положим шз, = ш„= О. Прн этом И'1, — — И~13 = О, Л =- И'„. Определитель Л при выполнении условий инварнантности тождественно обращается в нуль и система (8-68) становится особой. Ее формальные решения неопределенны и отличаются от (8-70), что также указывает на нереализуемость условий инвариантности. Если бы мы все же попытались, не выполняя проверки, расшифровать условие (8-69), то получили бы И 11 = 1 Ш23Ш32 = 0~ 1 Ш. =- —.
23 МЗЗ (8-73) Такого рода равенства реаливуемы или в безынерционных системах или в системах с передаточными функциями, у которых степень числителя равна степени знаменателя; они получались при пренебрежении малыми параметрами звеньев. Для таких передаточных функций, казалось бы, условие (8-73) можно реализовать. Но при этом получается для замкнутой цепочки, состоящей из звеньев шззшзз "'Зз Ш з= = СО. 1 — и>321323 Здесь малыми параметрами уже пренебрегать нельзя, поскольку при таком пренебрежении мы получаем физически не реализуемое показан пунктиром).
В этом же можно убедиться и рассмотрев решения уравнений для замкнутой и разомкнутой систем. В замкнутой системе при выполнении условия инвариантности где К„и Є— полиномы. Тогда выражение (8-71) для Л приводится к виду: Вгв)222 213 '32 () 23 )32 ~23)~32) КВВ) 31029 (~12))13~~32 + К13' 222К32) )22 )ВВ )ВЗ )23 )32 ~ ~Е"32( ~22~ +~ ~ Ьз) (8.74) ~)гз )21)) 23)923~933 .ВЗ\ Полипом, стоящий в числителе (8-74), является характеристическим полиномом.
Первое слагаемое в нем имеет наивысшую степень (так как в него входят множителями все полиномы 1),,), но пРи выполнении Условий инваРиантности РВВРВ — КВВК32 = О зто слагаемое обращается в нуль и характеристический полипом вырождается в полипом низшей степени. При этом произвольные малые изменения коэффициентов при старших членах, которые могут иметь место при нарушении условий инвариантности, можно всегда выбрать так, что знаки отбрасываемых старших членов будут противоположны знакам остальных, т.
е. система станет неустойчивой. Это и указывает на то, что система негрубая. Проверим выполнимость условий инвариантности для координаты ХВ по возмущению гз. Это возмущение действует на ХВ по )[вУм каналам: игы, шз„иг„и шзы иггз (на РисУнке зти каналы показаны прерывистой линией) и в соответствии с принципом двухканальности инвариантность реализуема.
Проверим зто утверждение, рассмотрев решения уравнений замкнутой и разомкнутой систем при выполнении условия инвариантности 21 12 ~ КВВЗШ92 (8-75) и при г'В =. гЗ = О имеем ~ 12 и231)~ 31 1 шзЗш32 ~~31 (ВВВВга'23 + лггз) — 1 — — к22322231 изгкг13 (1 ш23шз2) =- (1 Ви2322232) (1 — и Взигзг)~ И'ЗВ~В~~~УРВ (1 — Вигзигзг) (1 — ВВЗВмЗ,) Х,— И'м" ВР ВВВУР 2 (1 — мВЗмзг) (1 ™23игзг) 1 — 23233232 ' Х— И ВВиз ВВВВВВВВКВ (1 ИВВЗВ31) (1 932$9333) 1 — 39233232 (8-76) При размыкании связей от координаты Х, имеем шгг =- пгзг = О, но эти значения не входят в выражения для Хг и Х, следо- звено с бесконечным коэффициентом передачи в структуре, не допускающей беспредельного увеличения коэффициента.
Нетрудно убедиться, что система при выполнении условий инвариантности оказывается негрубой. Обозначим кп В) . — „,'=- (,(х„..., х„, г', и); 1 х,(0)=-х,", [=1, 2, ..., п) (8-77) задан функционал от ее решения « (<) = Ф [х (т), г). (8-78) В частности, во многих практических задачах теории оптимального управления функционал выражается интегралом У = ) У. (х, и) с<(.
о Введением дополнительной переменной х„ удовлетворяющей уравненшо — „— '=Г(х, и), 2Я7 вательно, размыкание связей от Х, не изменяет состояния системы и инвариантность возможна. Реализация равенства (8-77), требующая равенства по величине и противоположности по знаку передаточных функций в двух параллельных каналах, также достижима. В [126) доказывается следующее общее положение: если [-я координата воздействует только на первый элемент (объект), а возмущение приложено к [-му элементу, то инвариантность нереализуема.
Если я<е при этом [-я координата действует более чем на один элемент, то условие ипвариантности реализуемо. Разумеется, реализуемость условий инвариантности еще не означает работоспособности инвариантной системы: необходимо также выполнить проверку выполнения условий устойчивости. В тех случаях, когда невозможно точное выполнение условий инвариантпости, можно при определенных условиях добиться, чтобы зти условия выполнялись приближенно, например, чтобы разность )7,э[)зз — КзэКзз в примере на стр. 246 была бы не равна нулю, а представляла бы собою полипом, все коэффициенты которого не превышают некоторой малой величины е.
В атом случае говорят о том, что система инвариантна с точностью до е. Теория таких систем была дана в [95, 107, 178). В системах, инвариантных с точностью до е, происходит вырождение уравнения при отбрасывании малых параметров, поэтому в таких системах нужно соблюдать условия, при которых система остается устойчивой при сколь угодно малом е. Структуры реализуемых инвариантных с точностью до е систем, как показано в [112[, — это структуры, допускающие сколь угодно большое увеличение коэффициента усиления, детально рассматриваемые в [111[.
Определение условий инвариантности можно выполнить также на основе вариационного подхода [159[. Пусть для системы уравнений минимизация этого функционала сводится к минимизации одной дополнительной координаты х». Поставим более общую задачу, нз которой задача минимизации одной координаты вытекает как частный случай, а именно: рассмотрим функционал вида к у(г) = ~ч~ с«х!(!), 1=0 где с! — постоянные, а в число х, входят и дополнительные координаты, производные от которых равны подынтегральным функциям исходных функционалов.
Систему назовем инвариантной, если значения функционала У (г) не зависят от внешнего воздействия и (г). В «слабо инвариантной» системе независимость от и (!) имеет место в определенный момент времени» = Т, в «сильно инвариантной» вЂ” при любых г, принадлежащих некоторому отреаку (О, Т). Это более общее понятие инвариантности, чем данное выше. В частности, если Х (г) = х„(!), то мы получаем обычную проблему инвариант- ности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
