Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Теперь можно найти оценки условных вероятностей р (у ~ х) появления у при данном х и р (х~у) появления х при данном у. 272 54,2 51,4 54,6 54,8 55,0 55,2 55,4 55,6 РЫ 542 54.4 54,5 54,8 550 552 554 556 Оценки вероятностей соинсстнсгс ноиилснни и н у 0,05 0,01 0,06 0,02 0,06 0,04 0,07 0,09 0,02 0,06 0,03 0,16 0,18 0,19 0,19 0,13 0,07 0,05 1,00 Для этого воспользуемся известными формуламн теории вероят- ностей: р (у ~ х) = (9-27) Значения этих оценок вероятностей приведены в табл. 9-2 и 9-3. Так как плотность вероятности р (гт) есть вероятность того, что данная величина х пэ одится в интервале между х, и х, + 41х, Табл1тэа 9-2 Оценка условных веронтностсб у относительно х Середина внтеввала в Середина интервала х 42,1 ! 42,2 ! 42,3 ! 42,4 42,5 ) 42,6 ! 42,7 1 42,8 ) Г р Мх) О,ЗЗЗ' О,667 ( 0,25 0,186,' 0,186 0,3182 0,062~ 0,111~ 0,210' 0,474 0,158' 0,384) 0,857) 0,143 0,400 0,600 0,462~ 55,2 55,4 55,6 Таблица Р-У Оценки условных веронтностей х относительно у Середина интервала в Середина интервала х 42,1 ~ 42,2 ( 42,3 ~ И,4 42,5 42,7 42,8 42,6 54,2 ~1 0,3 '0 23 0,25 0,5 0,25 0,19 О,'31 О,'23 0,46 0,23 0,05 0,09 0,18 0,41 0,19 0,4 О,З 0,27 0,08 0,27 /0,31 0,37 0,25 0,13 0,75 1,0 (1,'0 1,0 1,О ~ 1,О ~ 1,О 1,О 1,0 то мы принимаем найденные р (х/у) и р (у !х) за оценки плотностей вероятностей Р (х / у) и Р (у !х) соответственно для значений х и у, соответствующих середине рассматриваемого интервала.
За полные статистические характеристики объекта часто принимают условные плотности вероятности Р (у ~ х). Эти характеристики изображаются понерхностями. Максимумы кривых 273 54 2 54,4 54,6 54,8 55,0 42,4 54,6 54,8 55,0 55,2 55,4 55,6 Зр (4р) 0,111~ 0,222, 0,222~ 0,333 0,158! 0,316' 0,316 ~ 0,368 ) 0,154 1,0 1,0 0,999 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Р (у', х), построенных в функции х, определяют наиболее вероятные значения у, которые можно получить при заданном х. Графическое иэображение полученной статической вероятностной характеристики одномерного объекта можно изобразить в виде семейства кривых Р (у ~х) для разных аначений х или в виде поверхности в пространстве координат (х, у, Р (у~х)) (рис. 9-13).
В более сложных случаях многомерных объектов графическая интерпретация опыта, изображенная на рис. 9-12, и характеристик (рис. 9-13) становится затруднительной в связи с повышением размерности пространства. При повышении размерности требуется уже значительно больший экспериментальный материал и более трудоемкая статистическая его обработка, для выполнения которой прибегают к цифровым вычислительным машинам. ПракР~ у,~х> тически описанный метод используется для одно-и двумерных законов. В случае более сложных объектов обычно используются более наглядные и удобные, но и более бедные моментные характеристики случайных величин. Довольно часто можно ограничиться первыми двумя моментными характеристиками: условным математическим ожиданием, которое является аналогом статиче- 9 скоп характеристики, связыРвс.
9-13. вающей между собою ожидаемые средние значения случайных координат объекта, и дисперсией, характеризующей рассеяние, разброс опытных данных от усредненной характеристики. Условное математическое ожидание случайной переменной У (для одномерного объекта) относительно случайной входной переменной Х может быть выражено через величину Х с помощью уравнения регрессии: М (У ! Х) = а (х), (9-28) где а (х) есть некоторая функция х, которая связывает среднее значение величины У относительно Х при каждом данном значении х случайной величины Х.
Условная дисперсия выходной переменной У относительно входной также может быть выражена через каждое заданное значение х посредством скедастического уравнения .0 ( У ~ Х) = () (х). (9-29) Наиболее простым является случай линейной регрессии: М(У ~ Х) =а+ Ьх. (9-30) 274 В этом случае [148) оказывается, что постоянная а и коэффициент регрессии Ь выражаются через математические ожидания М (У), М (Х), коэффициент корреляции р„„величин у и х и среднеквадратические отклонения о„и о„следующим образом: а=М(У) — р„,оиМ(Х); сз кх (9-Зг) поэтому М(У~Х)=М(У[+ррх "(Х вЂ” М(Х[) [9-32) Условная дисперсия Р (У ~ Х), по определению дисперсии равная й(У~Х[= ~ [у — М(У)Х[[эР(у~х)ду, (9-33) [[+ ( [ ~ И [у — М (У ~ Х[]' Р „(у, х) ду ох+ + ~ [М(У~Х[ — М(У)[эР„(,,)а . (9-34) При гомоскедастической корреляции, т. е. при постоянной )9 (У ~ Х[, дисперсия условной средней )У (М [У ~ ХЦ в ряде практических случаев может быть принята постоянной.
В этих случаях корреляция между величинами У и Х называется гомоскедастической корреляцией. Так, разброс в размерах обрабатываемой партии деталей может считаться одинаковым, не зависящим от порядкового номера детали, если на протяжении всего процесса обработки технологические условия остаются яеизменными. Если же с возрастанием Х происходит ощутимый износ режущего инструмента, то В(У ~ Х[ будет возрастать при возрастании Х. В случаях, когда гт (У ~ Х[ непостоянна, т. е. зависит от Х, корреляция между величинами У и Х называется гетероскедастической.
Общая дисперсия на выходе системы складывается из двух составляющих: дисперсии, характеризующей рассеивание выходной переменной У относительно линии регрессии М (У ~ Х) (т. е. относительно математического ожидания условной дисперсии), и средней дисперсии самой линии регрессии относительно математического ожидания выходной переменной: характеризует ту часть общего рассеивания на выходе, которая обусловлена влиянием входной переменной Х. Ояа равна Р (М [У ( Х]] = М ((а+ Ьх — М (У))'] = = М ([а+ Ьх — (а+ ЬМ (Х])]'] = М ИЬ(х — М (Х])]'] = = Ь'М (х — М (Х])з[ = Ь'Р (Х].
(9-35) получим Р (М [У ~ Х]] =Р ()'[1)~- и. учитывая (!)-34), М (Р Р ~ Х]] = Р (У] (1 - ц„:.). (9-38) (9-39) Для случая линейной регрессии дисперсионное отношение легко выражается через модуль коэффициента корреляции. Учитывая (9-37) и (9-35), имеем М [М [У ~ Х] — М [У]) 2 М [[(а + Ьх) — (а + М [Х])2) В [У) Р [У] — =Ьз =Ь' "-= ' (9-40) П [У) В [У) = ч„. = [ р„.!. (9-41) Тогда для линейной регрессии Р(М [У[Х]]=Р(У]р,-,„; М(Р[У[Х]]=-Р(У](1-р;.).
] (9-42) Рассмотрим теперь процесс, представляющий собою такую последовательность операций, что выходная переменная каждой предыдущей является входной для одной последующей, т. е. операции представляют собой разомкнутую цепочку последовательно включенных авеньев, для каждого из которых заданы Тогда из (9-34) Р (У[ = ЬзР (Х]+ М (Р [У [Х]]. (9-36) Если случайные величины не коррелированы, то р„, = О, Ь = О и общая дисперсия Р (У] = М (Р [У ~ Х]] полностью определяется погрешностями, вносимыми самим объектом, и не зависит от погрешностей входной переменной Х. ]э противоположном случае, когда корреляция полная и р „= 1, М (Р[У ~ Х) = = О и Р (У]:== Ь'Р (Х), т. е. дисперсия выхода полностью определяется дисперсией входа.
Для практических расчетов оказываются удобными выражения дисперсии среднего и средней дисперсии через дисперсии переменных Х и У и коэффициент корреляции. Воспользовавшись понятием дисперсионного отношения о(м[~ [ХО (9-37) В [У) условные дисперсии Р [Х;, 'Х;,[ (446) (рис. 9-14). В случае линейной регрессии М[Х„[Хо..и Х„о, ..., Хо[=Ь„+Ь -1х„о+ "+ЬоХо (9-43) где Ь„=М[Х„[ — Ь„,М [Хо о[ — ...— ЬоМ(Хо[ (9-44) Коэффициенты Ь могут быть определены по значениям коэффициентов рассеяния Р [Х,[ и коэффициентов парной корреля- оЯХ, 9 ИР,) ход„,~ э(х, 9 Ь~х.) Рис. 9-14. ции р„, между входом и выходом по всем операциям из сиоо о-о стемы уравнении: Ь,,Р(Х„,[+6 „соч(Х „Хо,)4 ... Ь 6, соч (Хо „Х,) = сич (Хо „Хо); Ьо, соч (Х о Х,) Р Ь,Р ,'Х,[+ ... ... + Ьо соч (Хо „Хо) =- соч (Хо о, Хо); (9-45) Ьо, соч (Х„Хо,) р Ьо, соч (Х,, Хо о[+ ...
... + Ь,Р [Х,[ = соч (Х,, Х„), Р(М[Х„[Хв ы ..., ХоЦ=Р(Х„)р„'„[„„,, (9-48) М (Р [Х„[ Х„„..., Хо[[ = Р (Х„[ ($ — р„*„) [„„, . (9-49) где соч (Хо Х,) = М [[х, — М (х,[] [х, — М [Х,[([ = р, „о,ор (9-46) Общая дисперсия выходной величины цепочки операций аналогично (9-34) может быть представлена как сумма среднего условной дисперсии относительно поверхности регрессии М [Р (Х„ ~Х„ „..., Х,
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
