Основы ТАУ - Ч-3 Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы - Воронов [1970] (1189551), страница 52
Текст из файла (страница 52)
9-4. Таблица р-б Основные зкеперимептальные характеристики автоматической линии по обработке наружного диаметра подшипника м Средний размер йо оцевна 8еэ и (хэ) о а 98 охх ххо Дх О ай о Нанменовапне операции хэ х, хэ о Оо 139,478 0,6552 0,328 — 0,140 0,322 0,188 *о 0,0720 0,328 135,390 135,570 135,084 0,272 0,380 1 — 0,220 — 0,221 — 0,394 0,907 1 0,380 Хэ хе ха 0,1028 0,322 0,907 0,0083 0,188 0,272 — 0,140 — 0,220 — 0,221 — 0,394 хэ 134,985 0,0018 Составляем систему уравнений: 1 хе, хэ 3+ 2(хэ, ха+ 19х, х + ОРхэ, х ' Рх„х, — ЛзРх„х, +)'а+Л19х„х, +ЛоРх„х, ИЛИ: Решая зги уравнения, найдем Ла = — 0 4927' Ле = 0 6161' Лэ = 0 7740' Ло = 0 4019.
Тогда из (9-50) козффициент множественной корреляции будет равен г' — 0,4019 0,140+ 0,7740 0,220 — 0,6161 . 0,221 + 0,4927 0,394 = 0,5334. Далее по (9-52) находим: Ьо =)е — е = 0,4019 ' = 0,0011; Ьв = 0,0108; не 0,0018 Ьэ = — Лэ — е = — 0,7740 „' = — 0,01935; Ье = — 0,1069. н, 0,0018 0,0720 Заготовка (поковка) Токарная Термическая Предварительное пэлнфонание Окончательное шлнфование Значения парных кооффнцнентов корреляции рх х эб Лв + 0,380Ла + 0 272Л1 + 0 188Ло = 0 394 0 ЗЗОЛв + Ле + 0 907Л1 + 0,322Ле = 0 221' 0 272Лв+ 0 907Лэ+ Лэ+ 0 328Ло = 0 220' 0,188Ле + 0 322Лэ + 0,328Л1+ Ло = — 0 140.
Из (9-44) находим Ь =М(Х ) — 5 М(Х ) — 5 М (Х ) — 5 М (Х ) — 5 М (Х ) = = 134,985+ 0,1069. 135,084 — О,ОЮ8 135,570+ 0,0!935 135,390— — 0,0011 139,478 = 150,4277. Теперь яо (9-49) найдем среднюю дисперсию относительно поверхности регрессии: М (В(Хл) Хз Хз Хы Хв)) = — лл (Хв) (1 — Р„' „х „х )= =- 0,0018в (1 — - 0,5334з] =- 231,7896 Ю в лвм, а по (9-48) — дисперсию средней поверхности регрессии: 7Л (М (Х, ~ Х„Хз, Хы Хв» .= П (Х,) Рв =- 0,0018в 0,5334в — -- 92,1780 10 в лвль После расчетов иолеано выполнить проверку.
Подставив в формулу (9-43) вместо Х; их средние значения М (Х,) из таблицы, получилв М(ХД =- =- 134,985 мм, что совпадает с данным в таблице. По формуле (9-47) получаем В(Хв) (231 7896+ 92 1780)10 в, 323 9676.10 в мм, что практически совпадает со значением Р (Хв) = ов = 0,0018' =.= 324 10 в мм. В случае нелинейной регрессии и гетероскедастической корреляции можно применить кусочно-линейную аппроксимацию нелинейной регрессии на участках с постоянными значениями Р (У)Х).
Проверку близости к линейности производят путем сопоставления определенного из опыта дисперсионпого соотноо„'. шения т)р'„и расчитанного по формуле т)зр„= Ь" —;.. Прн значительном расхождении производится кусочно-линейная аштроксимация. Если кривая регрессии разбита на р прнмолинейных участков н на каждом участке отрезок ломаной линии, аппроксимирующей линию регрессии, определяется уравнением М(У,)Хд)=а1+Ь„...х„)=4, 2, ..., р, (9-54) а вероятность попадании Х на 1-й участок равна )4'(Л,), то р р Р(У)=~ь„-рнР(Х,)И (Х,)+ ч:М(РР,)Х,1)И (Х,)+ 1=1 1=! р + ~'Р(М~У,1) И'(Х,).
(9-55) При точном задании уравнений линии регрессии М (У ~ Х) = сс (х) скедастической линии Р (У) Х) =)) (х) 2йО и плотности вероятности Р (х) входной переменной Х, величины М [У] и Р [У] могут быть вычислены по уравнениям: М (У] = ~ «х (х) Р (т) ««х; ! (9-56) ~уг)= 1ь*(с ~«(*в~(*)а*-.Ц 1 (*)р(*)~~. ] 9-9.
Статистические метады идентификации динамических характеристик ебьектсв Для определения динамических характеристик статистическими методами используются методы теории случайных функций. При атом полные вероятностные характеристики, многомерные плотности вероятности практически не используются из-за чрезвычайно болыного объема вычислений, Для идентификации линейных объектов (т. о. объектов с линейной регрессией выходной переменной относительно входной н гомоскедастической корреляцией) наибольшее распространение получили корреляционные, а для нелинейных объектов — дисперсионпые методы. Корреляционпые методы основываются на использовании корреляционных функций, которые в случае линейных объектов, достаточно хорошо характеризуют тесноту связи мен«ду значениями переменных в различные моменты времени.
Рассмотрим одномерный объект, на вход которого действует случайная функция Х («), а выход характеризуется случайной функцией У («). Авто- и взаимно-корреляционные функции вырая«аются следующим образом: со с: ««,.(«„ «з) = [ ~ [х («,) — т («,)] [х («,) — ш„ («,)] Х ОЭ вЂ” . к Р,„.[х («,) х («,) «, «з] Их («,) «гх («,); В„„ («„ «,) = ~ ~ [у («,) — ш, («,)][я («,) — т. («,)] Х ~С Рыл [т' («з)~ У (««) «и «з] ««т' («з) ««У (««)' Если из опыта определены корреляционные функции входного и выходного процессов, то мы прелтде всего можем с их помощью приближенно определить детерминированные динамические характеристики объекта!99, 216).
Так, если на вход объекта подать гармонический сигнал х («) =- )9 з1п е««, а па выходе его образуется гармонический сигнал, на который палов«ен стационарный шум п (г), математическое ожидание которого М [я (г)] =- О, у («) = В з1п (о««+ 8) + п («), 291 то нетрудно убедиться в справедливости равенств; т Лак (О) =11ш т ~х(1) У(1) с(Е= 2 ВВсозО,' 1Г 1 тт Л,„(0) =1!ш т- ~х(1) г(1) сй= ~ ВВз(пО, „т а ! (9-58) где г (1) = Э соз ю(, а Л „(О) и Л,„(0) представляют собой зна- чения взаимно корреляционных функций для одного и того же момента времени (1, = 1,).
Отсюда определяются амплитуда А и фаза О частной характеристики объекта А = ~, У Л'„,(О)+Л'„(О); О = агс(д — а —" Л „(О) )1 тх (О) (9-59) (9-60) которые будут тем точнее, чем больше время интегрирования. Важно при атом производить вычисления для значений 1) (, где (а — время, по истечении которого собственные движения системы практически прекращаются. Схема для определения характеристик Л показана на рис. 9-15. На схеме 1 — генератор синусоидальных и косинусоидальных сигналов, 2 — объект, 8 — аналоговое вычислительное устройство, вычисляющее оценки Л „и Л,„по формулам (9-60).
Вычислительное устройство включает в себя умножители М, операционные усилители У и котенциометры, с помощью которых устанавливаются их постоянные времени. Значения Л (О) равны установившимся значениям выходных напряжений. 282 Здесь для вычисления корреляционных функций использовано их определение через среднее по времени, а не среднее по множеству, фигурирующее в (9-57). Как иавестно, среднее по времени и множеству совпадают для зргодических процессов, в частности для стационарных. Поатому если объект и шум и (1) стационарны, то при воздействии типа гармонических функций, мы получаем стационарные зргодические процессы.
Однако так как предельный переход для случайных процессов при Т вЂ” со в формулах (9-58) неосуществим, то величины Л„„и Л,„заменяются их оценками: Описанный способ может быть уточнен, если применить так называемый метод нулевой фазы (98). Однако при этом для измерения требуются значительное время и специальные гармонические сигналы. Если дан линейный объект, на который действует п!ум п (1), причем записать этот шум невозможно и статистические характе- Рис. 9-15. рнстики шума неизвестны, то по записям процессов при нормальной эксплуатации объекта оказывается возможным определить функцию веса (реакцию на импульсную функцию) объекта к„(~). Если х (1) и и (1) коррелированы между собой, то для определения )с„(1) необходимо иметь запись трех функций: входных х (1) (коррелирозавной с и (1)), з (1) (коррелированной с х (1)) и выходной у (1) (рис.
9-16) !225). Тогда Рвс. 9-16 Имеем интегральное уравнение, в котором функции В предполагаются известными. Решая это уравнение, найдем й„(т). Если заранее известно, что х (1) и п (1) некоррелированы, то достаточно ааписать лишь функции з н у и решить уравнение )9„,Я=с)й (т)Л„(1 — т) Ы . о (9-62) 283 Л„, (1) = ) й„(т) Л„, (1 — т) о!т. (9-61) о ! ! и ! ! ! ,О [М [У (с„,,) ~ Х «,), ..., Х «))! = =в[ р„„))л;.р„..., с„„); М[В[У«„„),Х(с,), ..., Х«)))= =)9 [У«„, )! [1 — Л'„~(г„..., г„„)[, (9-65) Во всех этих выражениях учитывается связь У (гсы) в момент 1„, со всеми значениями Х (Г,) в предшествующие моменты времени 1ы 1„..., 1,с В весьма важном частном случае, когда плотность вероятности функций Х и У и их совместная плотность вероятности нормальны, их математические ожидания т, «) и т„(1) и дисперсии Р„(Г) и В„(с) будут постоянными, а корреля цйонные функции будут фунйциями разности 1„„— Ю, =- т.
При этом условное математическое ожидание У «„,д) по-прененему определяется уравнением (9-64), а безусловное математическое ожидание М[У«„„)) =а(г„,, — гп ..., г... — 1„)+ + 'У', А, (㄄— 1„..., 1 ., — г„) М (Х (с,) ! =- (=1 а =а(т)+т„«) ~;А,(т).
(9-66) $ ! Решить уравнения (9-61) и (9-62) можно, например, методом последовательных приближений [98, 99!. Нулевое приближение к„, (1) выбирается произвольно, а последующие приближения определяются по формуле гт й„,(с=й„„(~) — [$~„(ж — )й„()ш — а„„а)~, а63) о коэффициент а выбирается из условия я('Й „„, где )~ наибольшее собственное число ядра (корреляционной функции В„). В большинстве случаев можно положить а = г(м Корреляционный метод может быть также применен для нахождения условного математического ожидания случайной функции М (У «)) и его дисперсии 0 (М [У «))! [148!. В каждый момент времени 1„, выходная случайная функция У «) определяется значениями Х (г,.) в предшествующие моменты 1о 1 = — 1, 2,..., п. Условное математическое ожидание выражается уравнением регрессии М[У(г„„) ~ Х„Х„..., Х„) = 7~ =а((„~м ..., („ы) [-~" А,(1п ~з, ..., ~„„)х(/,.), (9-64) ~=! где А, — коэффициенты множественной регрессии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
