Основы математической теории финансов - Куликов (1187985), страница 8
Текст из файла (страница 8)
®£¤ =γε=0∂Eμ(ε), r̄ ;∂εε=0§ 3.4. 뢮¤ë ¨ § ¬¥ç ¨ï ¯® ⥮ਨ CAPM3.4.1. ਬ¥¥¨¥ ⥮ਨ CAPM ª 宦¤¥¨îàë®ç®© ª ¯¨â «¨§ 樨 ªâ¨¢®¢áå®¤ï ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣® à §¤¥« , ¥á«¨ § ¤ ë β i , Erm , r0 , â®k i = Eri = β i (Erm − r0 ) + r0 .(3.6)楨¢ ¥¬ β i ¯® ¯à®è«ë¬ ¤ ë¬ (β i | á« ¡® ¬¥ïî騩áﯮª § ⥫ì, å à ªâ¥à¨§ãî騩 ®¡« áâì íª®®¬¨ª¨ (á¬. à¨á.20) ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â k i ). Erm | ¬ ªà®íª®®¬¨ç¥áª¨© ¯®ª § ⥫ì,ᮮ⢥âá⢥® k i ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¤®áâ â®ç® â®ç®.dd1 k1 kEri −μm cov(ri , rk ) = Erj −μm cov(rj , rk ) ∀ i, j.,σm γσm γk=1k=1Eri −1σm γdμkm cov(ri , rk ) = c.k=1à®á㬬¨à®¢ ¢ ¯® ¢á¥¬ ªâ¨¢ ¬ c ¤®«ï¬¨μim¨ ¢§ï¢ ¡¥§à¨á-ª®¢ë© ªâ¨¢, ¯®«ãç ¥¬Erm −d1 kμm cov(rm , rk ) = c;γσmk=11σ 2 (rm ) = c;γσmr0 = c;1Eri − r0 =cov(ri , rm );σm γErm −¨á.
20. ¨¯¨ç®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ®à¬ë ª ¯¨â «¨§ 樨¨ β ªâ¨¢ ª¦¥ ⥮à¨ï CAPM ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥¥ ª 宦¤¥¨î ä㤠¬¥â «ì®© á⮨¬®á⨠ªæ¨©: ¯ãáâì § ¤ ë« ¢ 3. ¥®à¨ï CAPM (Capital Asset Pricing Model)$ES1i , β i , Erm , r0 .ki$1®£¤ ES1i= 1 + ki ,S0i£¤¥§ 3.4. 뢮¤ë ¨ § ¬¥ç ¨ï ¯® ⥮ਨ CAPM(3.7) 室¨âáï ¨§ á®®â®è¥¨ï (3.6). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®¦®®¯à¥¤¥«¨âì ä㤠¬¥â «ìãî á⮨¬®áâìi-£® ªâ¨¢ .á®¢ë¥ ¢ë¢®¤ë ⥮ਨ CAPM á®áâ®ïâ ¢ á«¥¤ãî饬.1.¯â¨¬ «ìë© ¯®àâä¥«ì «î¡®£® ¨¢¥áâ®à ¨¬¥¥â ¢¨¤¢§¢¥á¨ àë®ç®£® ¯®àâ䥫ï (¢á¥ ªæ¨¨ ¡¥àãâáï á ¢¥á ¬¨, ©¤¥ë¬¨ ¯® ¨å ª ¯¨â «¨§ 樨) ¨ ¡¥§à¨áª®¢®£® ªâ¨¢ .Eri − r0 = β i (Erm − r0 )«¨§ 樨 i-£® ªâ¨¢ .2.á«ã¦¨â ¤«ï 宦¤¥¨ï ª ¯¨â -3.4.2. CAPM ¡¥§ ª®à®âª¨å ¯à®¤ ¦ á«ãç ¥ ®âáãâáâ¢¨ï ª®à®âª¨å ¯à®¤ ¦ ¬®¦¥á⢮ ¤®¯ãáâ¨-¨á.
21. à ¨æ íä䥪⨢ëå ¯®àâ䥫¥© ¢ á«ãç ¥®âáãâáâ¢¨ï ª®à®âª¨å ¯à®¤ ¦¬ëå ¯®àâ䥫¥© ¢ë£«ï¤¨â á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:à = {μ = (μ1 , . . . , μd ) :dμi = 1, μi 0}.i=1 ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ¤®¡ ¢«¥¨¨ ¡¥§à¨áª®¢®£® ¯®àâä¥«ï ªà¨¢ ïCML (ªà¨¢ ï, ª®â®à®© «¥¦ â íää¥ªâ¨¢ë¥ ¯®àâ䥫¨) 㦥¥ ¡ã¤¥â ïâìáï ¯àאַ© «¨¨¥© (® ¡ã¤¥â ïâìáï ¢ë¯ãª-3.4.3. à ¤®ªáë ⥮ਨ CAPM1. à ¤®ªá £ ¯®¢ . áᬮâਬ à¨á. 22.
áå®¤ï ¨§ ¬ ªá¨¬¨§ 樨 ¯à¨¡ë«ì®á⨠¯à¨ § ¤ ®¬ ã஢¥ à¨áª , ¢á¥ ¨¢¥áâ®àë ¡ã¤ã⠯த ¢ âì «¥¢ë© â £¥æ¨ «ìë© ¯®àâ䥫ì. í⮬ á«ãç ¥ μm == αμt2 + (1 − α)μb , α < 0.«®© ª¨§ã äãªæ¨¥©, á¬. à¨á. 21):μk = αk μT + (1 − αk )μ0 ;μk = αk μ̄m + (1 − αk )μ0 . ª¨¬ ®¡à §®¬, àë®çë© ¯®àâä¥«ì ¬®¦¥â ¥ ¯à¨ ¤«¥¦ âì CML (â.¥. ¥ ¡ëâì íä䥪⨢ë¬), á®®â®è¥¨¥ ¨§ ⥮६ë 3.12 àãè ¥âáï, â.¥. ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮ਥ© ¢ ¯®«®¬®¡ê¥¬¥ ¥ 㤠¥âáï. ¯à ªâ¨ª¥ ¦¥ ¯ã⥬ ¢¢¥¤¥¨ï ¤®¯®«-¨â¥«ìëå ä¨ á®¢ëå ¨áâà㬥⮢ ¬®¦® áïâì ®£à ¨ç¥¨ï ª®à®âª¨¥ ¯à®¤ ¦¨.¯à¨¡ë«ì®áâ¨μk ¯à¨¬¥àã, ¥á«¨ ¤«ï 㢥«¨ç¥¨ï¥®¡å®¤¨¬ ¯à®¤ ¦ ⮫쪮 ¡¥§à¨áª®¢®£® ª-⨢ , â® ¬®¦® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï «¨¡® äìîç¥àᮬ, «¨¡® § ¥¬®¬¤¥¥£ ¢ ¡ ª¥.¨á. 22. à ¤®ªá £ ¯®¢ $2« ¢ 3. ¥®à¨ï CAPM (Capital Asset Pricing Model)¤ ª® ¯à ªâ¨ª¥ â ª ï á¨âã æ¨ï ¥¢®§¬®¦ , â ª ª ªdμia = 1 ⇒ ∃ i0 : μim0 < 0,i=1¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢á¥ ¤¥« îâ ª®à®âªãî ¯à®¤ ¦ã ªæ¨¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥¥ æ¥ ¤®«¦ ¡ëâì ®âà¨æ ⥫쮩, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â§¤à ¢®¬ã á¬ëá«ã.2.
à ¤®ªá ¯à®¨§¢®¤ëåãáâì i-ë© ªâ¨¢ ï¥âáï ¯à®¨§¢®¤®© 楮© ¡ã¬ £®©.®£¤ μim | ª®«¨ç¥á⢮ i-£® ªâ¨¢ ¢ àë®ç®¬ ¯®àâ䥫¥. ¤ ª® ®¡é¥¥ ª®«¨ç¥á⢮ ªã¯«¥ëå ¯à®¨§¢®¤ëå æ¥ëå ¡ã¬ £à몮¬ à ¢® 0, μim = 0, § ç¨â, ¤«ï «î¡®£® ¨¢¥áâ®à k == 1, . . . , K ¢¥à®, çâ® μik = 0, ⮣¤ ¯à®¨§¢®¤ ï æ¥ ï ¡ã¬ £ ¥ ¬®¦¥â à áᬠâਢ âìáï ¢ ª ç¥á⢥ ®¤®£® ¨§ ªâ¨¢®¢¢ ⥮ਨ CAPM.3. à ¤®ªá «¨®¢áª®£®ãáâì r0 «¥¦¨â ¯à ¢¥¥ ᨬ¯â®âë ª £¨¯¥à¡®«¥, § ¤ ®©£à 䨪®¬ f (x) £à ¨æë íä䥪⨢ëå ¯®àâ䥫¥©. ®£¤ ¢í⮬ á«ãç ¥ ª á ⥫ìãî ª ¬®¦¥áâ¢ã ¯®àâ䥫¥© ¯à®¢¥á⨥«ì§ï, § ç¨â, ¥ áãé¥áâ¢ã¥â â £¥æ¨ «ì®£® ¯®àâ䥫ï (á¬.à¨á.
23).¨á. 23. ¥¢®§¬®¦®áâì áãé¥á⢮¢ ¨ï â £¥æ¨ «ì®£®¯®àâä¥«ï ¢ ¥ª®â®àëå á«ãç ïå §à¥è¥¨¥ ¤ ®£® ¯ à ¤®ªá á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬: § ¬¥â¨¬, çâ® «î¡®© ®¯â¨¬ «ìë© ¯®àâä¥«ì ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¤«ï§ 3.4. 뢮¤ë ¨ § ¬¥ç ¨ï ¯® ⥮ਨ CAPM$!«î¡®£® ¨¢¥áâ®à ¡ã¤¥â 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨î: μ1k + . . .+μdk == 0, ᮮ⢥âá⢥®, áãé¥áâ¢ã¥â i- ªâ¨¢, â ª®©, çâ® μim 0, , á«¥¤®¢ ⥫ì®, ª ¯¨â «¨§ æ¨ï i-£® ªâ¨¢ ¥¯®«®¦¨â¥«ì ,çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â áãé¥á⢮¢ ¨î ¤ ®£® ªâ¨¢ .4. à ¤®ªá àãᮢ ãáâì ®à¬ë ª ¯¨â «¨§ 樨 ªâ¨¢®¢ r1 , . . .
, rd . ãáâìâ ª¦¥ i-ï ª®¬¯ ¨ï å®ç¥â ¢ë¯ãáâ¨âì ®¢ë¥ ªæ¨¨, ® ®à¬ ª ¯¨â «¨§ 樨 ª®¬¯ ¨¨ 䨪á¨à®¢ , â.¥. ¯à¨¢«¥ç¥¨¥ ®¢ëå ¤¥¥£ § áç¥â ¢ë¯ã᪠®¢ëå ªæ¨© ¨ ª 祬㠥 ¯à¨¢¥¤¥â.¡êïᥨ¥ ¤ ®£® ¯ à ¤®ªá á«¥¤ãî饥: § áç¥â ¢ë¯ã᪠ªæ¨© ¨§¬¥ï¥âáï ª ¯¨â « ª®¬¯ ¨¨, ᮮ⢥âá⢥®¬¥ï¥âáï áâà ⥣¨ï ¯®¢¥¤¥¨ï ¨ ®à¬ ª ¯¨â «¨§ 樨.
¤ ª®, ¥á«¨ ®à¬ ª ¯¨â «¨§ 樨 ¥ ¬¥ï¥âáï, â® ¯ à ¤®ªá ®áâ ¥âáï. ®£¤ ª®¬¯ ¨ï ¥¡®«ìè ï ¯® áà ¢¥¨î á ®¡« áâìîíª®®¬¨ª¨, â® íä䥪⠮⠢ë¯ã᪠ªæ¨© ¬®¦¥â ¡ëâì ¤®á⨣ãâ. «ï ¡®«ìè¨å ¦¥ ª®¬¯ ¨© ¤ ë¥ ¤¥©áâ¢¨ï ¬®£ãâ ¥¤ âì १ã«ìâ â .§ 4.1. á«®¢®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ ¨¥A1 . . . An = Ω, Ai ∩ Aj = ∅ ∀ i = j .E(ξ|G)(ω) =nEξIAii=1 4á«®¢®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ ¨¥¨ ¬ à⨣ «ë ï £« ¢ ¯®á¢ïé¥ â¥®à¨¨ ãá«®¢ëå ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å®¦¨¤ ¨© ¨ ¬ à⨣ «®¢ ¨ ®á®¢ ¤¢ãå⮬¨ª¥ . . ¨à異 "¥à®ïâ®áâì" [9]. ãáâì (Ω, F, P) | ¢¥à®ïâ®á⮥ ¯à®áâà á⢮.
ä¨ á®¢®© â®çª¨ §à¥¨ï Ω | ¬®¦¥á⢮ ¢á¥¢®§¬®¦ëå ¨á室®¢, F | σ- «£¥¡à ᮡë⨩, ®â®á¨â¥«ì® ª®â®àëå ¬ë ¬®¦¥¬ ᪠§ âì, ¯à®¨§®è«¨ ®¨ ¨«¨ ¥â, â.¥. á ä¨ á®¢®© â®çª¨ §à¥¨ï σ- «£¥¡à F | ¨ä®à¬ æ¨ï, ¤®áâã¯ ï ¢à¥§ã«ìâ ⥠á«ãç ©®£® íªá¯¥à¨¬¥â , P | ¢¥à®ïâ®áâ ï ¬¥à .§ 4.1. á«®¢®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ ¨¥ãáâì σ- «£¥¡à G ⊆ F .¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.1. ãáâì ξ | á«ãç © ï ¢¥«¨ç¨ , ξ ∈∈ L1 (P) ¨«¨ ξ 0.
®£¤ ãá«®¢®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ ¨¥ξ ®â®á¨â¥«ì® G | íâ® á«ãç © ï ¢¥«¨ç¨ η , 㤮¢«¥â¢®àïîé ï á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢠¬:1) η − G -¨§¬¥à¨¬ ï á«ãç © ï ¢¥«¨ç¨ ;2) ∀ A ∈ G ¢ë¯®«¥®, çâ® EξIA = EηIA.¡®§ 票¥: E(ξ|G).® ⥮६¥ ¤® {¨ª®¤¨¬ [26] ãá«®¢®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ ¨¥ ¢ í⮬ á«ãç ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨á⢥® á â®ç®áâìî ¤® ¯®ç⨠¢¥à®¥ (¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¢á¥ à ¢¥á⢠áç¨â îâáï ¢ë¯®«¥ë¬¨ ¯®ç⨠¢¥à®¥)ਬ¥à 4.2. ãáâì G = σ({A1, . . . , An}), £¤¥P(Ai )$#®£¤ I(ω ∈ Ai ).â¥à¯à¥â æ¨ï á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ãá«®¢®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥®¦¨¤ ¨¥ | á।¥¥ ¯® à §¡¨¥¨î¨ á®¢ë© á¬ëá«.¯®¤à §ã¬¥¢ ¥â¤®áâ㯮© ¨§á।¥¥Ai .á«®¢®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ ¨¥§ 票¥®â®á¨â¥«ì®¨ä®à¬ 樨,σ - «£¥¡àë G . ¬¥â¨¬, çâ® ãá«®¢®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ ¨¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢠¬.ξ = c ∈ R ⇒ E(ξ|G) = c.2) ξ η ⇒ E(ξ|G) E(η|G).3) |E(ξ|G)| E(|ξ||G).4) ᫨ G = {∅, Ω}, â® E(ξ|G) = Eξ .5) E(ξ|F) = ξ .6) E(aξ + bη|G) = aE(ξ|G) + bE(η|G)∀ a, b ∈ R.7) E(E(ξ|G)) = Eξ .8) ᫨ G1 ⊆ G2 , â® ¢ë¯®«¥® "⥫¥áª®¯¨ç¥áª®¥" ᢮©á⢮:1)E(E(ξ|G1 )|G2 ) = E(E(ξ|G2 )|G1 ) = E(ξ|G1 ).ξ ¥§ ¢¨á¨¬ á G , â® E(ξ|G) = Eξ .10) ᫨ η−G -¨§¬¥à¨¬ ï á«ãç © ï ¢¥«¨ç¨ , â® E(ξη|G) == ηE(ξ|G).11) ᫨ g(x) | ¢ë¯ãª« ï ª¨§ã ¡®à¥«¥¢áª ï äãªæ¨ï ¨E(|g(ξ)|) < ∞, â®9) ᫨g(E(ξ|G)) E(g(ξ)|G).¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠®ç¥¢¨¤ë, ¤®ª § ⥫ìá⢮ ®áâ «ìë嬮¦® ¯®á¬®âà¥âì ¢ [9].ਬ¥à 4.3.®«®¦¨¬ç ©®© ¢¥«¨ç¨®©η.Gη|®£¤ ¥á«¨σ - «£¥¡à , ¯®à®¦¤¥ ï á«ãξ, η | .®.à.á.¢., â®E(ξ|Gξ+η ) ≡ E(ξ|ξ + η) = E(η|ξ + η) =ξ+η.2$$« ¢ 4.
á«®¢®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ ¨¥ ¨ ¬ à⨣ «ë§ 4.2. à⨣ «ë§ 4.2. à⨣ «ë(iii) ãáâì| ¡à®ã®¢áª®¥ ¤¢¨¦¥¨¥.®£¤ Btï¥âáï¬ à⨣ «®¬ ®â®á¨â¥«ì® ᢮¥© ¥áâ¥á⢥®© 䨫ìâà -4.2.1. ¯à¥¤¥«¥¨¥ áᬮâਬ (Ω, F, P) | ¢¥à®ïâ®á⮥ ¯à®áâà á⢮.¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.4. ¨«ìâà æ¨ï | ¢®§à áâ î騩 ¯®â®ªσ - «£¥¡à (Ft )t∈[0,T ] , â.¥. ∀ s t ∈ [0, T ] ¢¥à®, çâ® Fs ⊆ Ft ⊆ F .¨ á®¢ë© á¬ëá«. Ft | ®¡ê¥¬ ¨ä®à¬ 樨, ¤®áâã¯ë©ª ¬®¬¥â㠢६¥¨ t, ª®â®àë© ã¢¥«¨ç¨¢ ¥âáï á® ¢à¥¬¥¥¬.ਬ¥à 4.5.
ãáâì ξ1 , ξ2 | .®.à.á.¢., ¨¬¥î騥 á«¥¤ãî饥 à á¯à¥¤¥«¥¨¥: P(ξ1 = 1) = p, P(ξ1 = 0) = 1 − p. ®¦®áª § âì, çâ® í⮠१ã«ìâ âë ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯®¤¡à áë¢ ¨© ¥á¨¬¬¥âà¨ç®© ¬®¥âë. ãáâì F1 = σ(ξ1 ), F2 = σ(ξ1 , ξ2 ). ®£¤ E(ξ1 + ξ2 |F1 ) = ξ1 + p, â.¥. â ª¨¬ ¡ã¤¥â á।¥¥ ª®«¨ç¥á⢮"ãᯥ客" ¯à¨ ¤¢ãå ¯®¤¡à áë¢ ¨ïå ¬®¥âë, ¥á«¨ ¬ ¤®áâ㯥 १ã«ìâ â ¯¥à¢®£® ¯®¤¡à áë¢ ¨ï. ª¦¥ § ¬¥â¨¬, çâ®F1 , F2 ®¡à §ãîâ 䨫ìâà æ¨î.¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.6. à®æ¥áá M = (Mt )t∈[0,T ] §ë¢ ¥âáï¬ à⨣ «®¬, ¥á«¨ ¢ë¯®«¥ë á«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠:(i) M − (Ft )-ᮣ« ᮢ ë© ¯à®æ¥áá, â.¥.
∀ t ∈ [0, T ] ¢¥à®, çâ®Mt − Ft -¨§¬¥à¨¬ ï á«ãç © ï ¢¥«¨ç¨ .(ii) E|Mt | < ∞ ∀ t.(iii) E(Mt |Fs ) = Ms ∀ 0 s t T .â¥à¯à¥â æ¨ï. à⨣ « | â ª®© ¯à®æ¥áá, § 票¥ª®â®à®£® ¢ ª ¦¤ë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ¨§¢¥áâ® ®â®á¨â¥«ì® ¨ä®à¬ 樨, ¤®áâ㯮© ª í⮬㠬®¬¥âã, ¨ â ª®©, çâ® íâ® § 票¥ à ¢® á।¥¬ã ¡ã¤ãé¨å § 票© ®â®á¨â¥«ì® ¨ä®à¬ 樨, ¤®áâ㯮© ⥪ã騩 ¬®¬¥â. ¬¥ç ¨ï.
(i) ᫨ ¢ ¯. (iii) ®¯à¥¤¥«¥¨ï 4.6 § ¬¥¨âì§ ª = (), â® íâ® ¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«¥¨¥ á㡬 à⨣ « (á㯥ଠà⨣ « ).(ii) ᨫã ᢮©á⢠ãá«®¢®£® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ®¦¨¤ ¨ï¨¬¥¥¬ á«¥¤ãî騩 ä ªâ: ¥á«¨ M | Ft -¬ à⨣ «, â®∀ s, t ∈ [0, T ] ¢¥à®, çâ® EMt = EMs , â ª¦¥ ¥á«¨ g |¢ë¯ãª« ï ª¨§ã ¡®à¥«¥¢áª ï äãªæ¨ï, â® g(Mt ) | Ft á㡬 à⨣ «.Bt$%樨FtB = σ(Bs ; s t).«ï í⮣® ¤®áâ â®ç® ¯à®¢¥à¨âì᢮©á⢮ (iii) ®¯à¥¤¥«¥¨ï 4.6:E(Bt |Fs ) = E(Bs + Bt − Bs |Fs ) == E(Bt − Bs |Fs ) + Bs = E(Bt − Bs ) + Bs = Bs . «®£¨ç® ¬®¦® ¯®ª § âì, çâ® ¯à®æ¥ááNt − λt,£¤¥Nt| ¯ã áá®®¢áª¨© ¯à®æ¥áá, ï¥âáï ¬ à⨣ «®¬ ®â®á¨â¥«ì® ¥áâ¥á⢥®© 䨫ìâà æ¨¨FtN .4.2.2.
®£®è £®¢ ï ¬®¤¥«ì ªæ¨©¯¨è¥¬ ¬®£®è £®¢ãî ¬®¤¥«ì ¤¨ ¬¨ª¨ æ¥ ¥áª®«ìª¨å ªæ¨©, ¨á¯®«ì§ã¥¬ãî ¢ ¤ «ì¥©è¥¬.®£®è £®¢ ï ¬®¤¥«ì¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.7.| ¡®à (Ω, F ,(Fn )n=0, ..., N , P, (Sn )n=0, ..., N ), £¤¥ S = (Sn1 , . . . , Snd )n=0, ..., N |(Fn )-ᮣ« ᮢ ë© ¬®£®¬¥àë© ¯à®æ¥áá.Sni | æ¥ i-© ªæ¨¨ ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨n, Fn | ¨ä®à¬ æ¨ï, ¤®áâã¯ ï ª ¬®¬¥â㠢६¥¨ n.ãáâì r | ¡¥§à¨áª®¢ ï ¯à®æ¥â ï áâ ¢ª . ਠ¯à¨¬¥¥¨¨ ¥ª®â®à®© áâà ⥣¨¨ ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ n − 1 (¯®¤ áâà â¥-¨ á®¢ë© á¬ëá«.£¨¥© ¬ë ¯®¨¬ ¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìãî ¯¥à¥¡ « á¨à®¢ªã ¯®àâä¥«ï ¢ ª ¦¤ë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨) ¨¬¥¥¬ ª ¯¨â «¯®«®¦¨¬, çâ® å®â¨¬ ¢« ¤¥âì¦ã⪥(n − 1, n].HniXn−1 .।- ªâ¨¢ ¬¨ i-£® ⨯ ¯à®¬¥-®£¤ ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨nª ¯¨â « áâà ⥣¨¨¡ã¤¥â ¢ë£«ï¤¥âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:Xn =dHni Sni + (1 + r)(Xn−1 −i=1XnXn−1=+n(1 + r)(1 + r)n−1dHnii=1diHni Sn−1),i=1iSn−1−,(1 + r)n (1 + r)n−1Sniâ.¥.X̄n = X̄n−1 +di=1iHni (S̄ni − S̄n−1),$&« ¢ 4.
á«®¢®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ ¨¥ ¨ ¬ à⨣ «ë£¤¥ X̄n | ¤¨áª®â¨à®¢ ë© ª ¯¨â « ¯®àâ䥫ï, S̄ni | ¤¨áª®â¨à®¢ ï æ¥ i-£® ªâ¨¢ ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ n. ¬¥ç ¨ï. (i) ¬¥â¨¬, çâ® ¯à®æ¥áá H = (Hn1 , . . . ,Hnd )n=1, ..., N ¤®«¦¥ ïâìáï Fn -¯à¥¤áª §ã¥¬ë¬ ¯à®æ¥áᮬ,â.¥. Hni | Fn−1 -¨§¬¥à¨¬ ï á«ãç © ï ¢¥«¨ç¨ .(ii) ®£¤ ¯à®æ¥áá ª ¯¨â « Xn ¨ ¤¨áª®â¨à®¢ ë© ¯à®æ¥á᪠¯¨â « X̄n | Fn -ᮣ« ᮢ ë¥ ¯à®æ¥ááë (¥á«¨ X0 ∈ R).(iii) ᫨ ¤¨áª®â¨à®¢ ë© ¯à®æ¥áá ª ¯¨â « ï¥âáï ¨â¥£à¨à㥬ë¬, ¯à®æ¥ááë Sni | Fn -¬ à⨣ « ¬¨, â® ¢ ᨫã᢮©á⢠ãá«®¢ëå ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å ®¦¨¤ ¨© ¤¨áª®â¨à®¢ ë© ¯à®æ¥áá æ¥ë X̄n ¥áâì Fn -¬ à⨣ «.§ 4.2. à⨣ «ë$9®âªã¤ á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ ¨¥ à §«®¦¥¨ï ã¡ .ãáâì Sn | ¯à®æ¥áá æ¥ë. ®£¤ Sn == An + Mn , £¤¥ An | ¯à¥¤áª §ã¥¬®¥ "¯à®£®§¨à㥬®¥" ¥á¨«ì® ¬¥ïî饥áï á।¥¥ § 票¥, Mn | áâ®å áâ¨ç¥áª ï á«ãç © ï á®áâ ¢«ïîé ï (á¬.