Основы математической теории финансов - Куликов (1187985), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

à¨á. 24).”¨­ ­á®¢ë© á¬ëá«.4.2.3. ’¥®à¥¬ë „ã¡ ’¥®à¥¬ 4.8 ( §«®¦¥­¨¥ „ã¡ ).ãáâì X == (Xn )n=0,1, ... | (Fn )-ᮣ« ᮢ ­­ë© ¯à®æ¥áá á E|Xn | < ∞ ∀ n.’®£¤ X = M + A, £¤¥ A = (An)n=0,1, ..., â ª®©, çâ® A0 = 0 ¨An | Fn -¯à¥¤áª §ã¥¬ë© ¯à®æ¥áá, M | ¬ à⨭£ «, ¯à¨ç¥¬¤ ­­®¥ à §«®¦¥­¨¥ ¥¤¨­á⢥­­® á â®ç­®áâìî ¤® ¯.­.„®ª § ⥫ìá⢮. (i) „®ª ¦¥¬ ¥¤¨­á⢥­­®áâì.

ãáâìáãé¥áâ¢ãîâ 2 à §«¨ç­ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï, â.¥. X = A + M == A + M . ’®£¤ An − An = Mn − Mn ;E(An |Fn−1 ) − E(An |Fn−1 ) = E(Mn |Fn−1 ) − E(Mn |Fn−1 );An − An = Mn−1− Mn−1 ;An − An = M0 − M0 = 0.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤ ­­ë¥ à §«®¦¥­¨ï ᮢ¯ ¤ îâ á â®ç­®áâì ¯.­.(ii) „®ª ¦¥¬ áãé¥á⢮¢ ­¨¥. ®«®¦¨¬ An = An−1 + E(Xn −− Xn−1 |Fn−1 ), Mn = Xn − An . ‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® A |¯à¥¤áª §ã¥¬ë© ¯à®æ¥áá. Žáâ «®áì ¯à®¢¥à¨âì ¢ë¯®«­¥­¨¥á¢®©á⢠(iii) ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 4.6 ¤«ï ¯à®æ¥áá M :E(Mn |Fn−1 ) = E(Xn |Fn−1 )−An−1 −E(Xn |Fn−1 )+Xn−1 = Mn−1 ,¨á. 24.

 §«®¦¥­¨¥ „ã¡ ­ ¯à¥¤áª §ã¥¬ãî¨ ¬ à⨭£ «ì­ãî á®áâ ¢«ïî騥Š ª ¬ë 㦥 §­ ¥¬, ¥á«¨ Mn | Fn -¬ à⨭£ «, â® ¤«ï «î¡®£® n ¢¥à­®, çâ®EMn = EM0 .(4.1)‚®§­¨ª ¥â ¢®¯à®á: á®åà ­¨âáï «¨ í⮠⮦¤¥á⢮ ¯à¨ ¨§¬¥­¥­¨¨ ¯®áâ®ï­­®£® ¬®¬¥­â ­ á«ãç ©­ë© (᪠¦¥¬, ¬ મ¢áª¨©)¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨?‘«ãç ©­ ï ¢¥«¨ç¨­ τ = τ (ω), ¯à¨­¨¬ îé ï §­ 祭¨ï ­ ¬­®¦¥á⢥ {0, 1, . . . , + ∞}, ­ §ë¢ ¥âáï(®â­®á¨â¥«ì­® 䨫ìâà 樨 Fn ), ¥á«¨¤«ï «î¡®£® n 0 ¢¥à­®, çâ® {τ = n} ∈ Fn .

‚ á«ãç ¥ P(τ == ∞) = 0 ¬ મ¢áª¨© ¬®¬¥­â ­ §ë¢ ¥âáï.‚ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ n ¬ë â®ç­® §­ ¥¬,¯à®¨§®è« «¨ ®áâ ­®¢ª τ ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ n ¨«¨ ­¥â ­ ®á­®¢¥ ¨­ä®à¬ 樨, ¤®áâ㯭®© ª í⮬㠬®¬¥­âã.ãáâì Xn | Fn -ᮣ« ᮢ ­­ë© ¯à®æ¥áá ¨ τ | ¬ મ¢áª¨©Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4.9.¬ મ¢áª¨¬ ¬®¬¥­â®¬­®¢ª¨à ªâ¨ç¥áª¨© á¬ëá«.¬®¬¥­â®¬ ®áâ -ƒ« ¢ 4. “á«®¢­®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ ­¨¥ ¨ ¬ à⨭£ «ë%¬®¬¥­â (®â­®á¨â¥«ì­® 䨫ìâà 樨 Fn ). Ž¡®§­ 稬Xτ (ω) =∞§ 4.2. Œ à⨭£ «ë…᫨ ª ⮬㠦¥ P(τ2 τ1 ) = 1, â®Xn (ω)I{τ =n} (ω).n=0’®£¤ Xτ | á«ãç ©­ ï ¢¥«¨ç¨­ , §­ 祭¨¥ ª®â®à®© ᮢ¯ ¤ ¥âá® §­ 祭¨¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠Xn , ®áâ ­®¢«¥­­®© ¢ ¬ મ¢áª¨© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ τ .à¨¬¥à 4.10.

ãáâì ξ1, ξ2, . . . | ­.®.à.á.¢., ¨¬¥î騥 á«¥¤ãî饥 à á¯à¥¤¥«¥­¨¥: P(ξi = 1) = P(ξi = −1) = 1/2. ®«®¦¨¬ Sn = ξ1 + . . . + ξn , Fn = σ(ξ1 , . . . , ξn ), S0 = 0, F0 = {∅, Ω}.â®â ¯à®æ¥áá ­ §ë¢ ¥âáï ᨬ¬¥âà¨ç­ë¬ á«ãç ©­ë¬ ¡«ã¦¤ ­¨¥¬ ¨ ï¥âáï ¬ à⨭£ «®¬ ®â­®á¨â¥«ì­® 䨫ìâà 樨 Fn .‡ ¬¥â¨¬, çâ® τa = inf{n 0 : Sn = a}, £¤¥ a ∈ Z, ï¥âáאַ¬¥­â®¬ ®áâ ­®¢ª¨. Ž¤­ ª® ESτ = a = 0 = ES0 , §­ ç¨â, à ¢¥­á⢮ 4.1 ­¥ ¢á¥£¤ ¬®¦­® ¯¥à¥­¥á⨠­ ¬®¬¥­â ®áâ ­®¢ª¨.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4.11. ‘ ª ¦¤®© 䨫ìâà 樥© Fn ¨ ¬®¬¥­â®¬ ®áâ ­®¢ª¨ τ ¬®¦­® á¢ï§ âì σ- «£¥¡àã Fτ á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ :Fτ = {A ∈ F : A ∩ {τ = n} ∈ Fn∀ n 0}.à ªâ¨ç¥áª¨© á¬ëá«.

Fn | ¨­ä®à¬ æ¨ï, ¤®áâ㯭 ï ª ¬®¬¥­â㠢६¥­¨ n, Fτ | ¬­®¦¥á⢮ ᮡë⨩, ® ª®â®àëå ¬ë¬®¦¥¬ ᪠§ âì, ¯à®¨§®è«¨ «¨ ®­¨ ¤® ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ τ ¨«¨­¥â.‡ ¬¥ç ­¨¥. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® á«ãç ©­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë τ, Xτ ïîâáï Fτ -¨§¬¥à¨¬ë¬¨.’¥®à¥¬ 4.12 (⥮६ „ã¡ ®¡ ®áâ ­®¢ª¥).ãáâìX = (Xn )n=0,1, ... ï¥âáï Fn -¬ à⨭£ «®¬, τ1 , τ2 | ¬®¬¥­âë ®áâ ­®¢ª¨, â ª¨¥, çâ®E|Xτi | < ∞, i = 1, 2;lim|Xn |dP = 0.n→∞ {τ >n}2E(Xτ2 |Fτ1 ) = Xτ1 ­ ¬­®¦¥á⢥ {τ2 τ1 } P-¯.­.A∩{τ2 τ1 }Xτ2 dP =A∩{τ2 τ1 }Xτ1 dP.(4.5)„«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠í⮣® ä ªâ ¤®áâ â®ç­® ãáâ ­®¢¨âì, ç⮤«ï «î¡®£®n0¢¥à­®, çâ®A∩{τ2 τ1 }∩{τ1 =n}Xτ2 dP =¨«¨, çâ® â® ¦¥ á ¬®¥:A∩{τ2 τ1 }∩{τ1 =n}Xτ1 dP,Xτ2 dP =B∩{τ2 n}B∩{τ2 n}Xn dP,(4.6)B = A ∩ {τ1 = n} ∈ Fn .

ˆ¬¥¥¬Xn dP =Xn dP +Xn dP =B∩{τ2 n}B∩{τ2 =n}B∩{τ2 >n}Xn dP +E(Xn+1 |Fn )dP ==B∩{τ2 =n}B∩{τ2 >n}Xτ2 dP +Xn+1 dP = . . . ==B∩{τ2 =n}B∩{τ2 n+1}Xτ2 dP +Xm dP.=£¤¥B∩{nτ2 m}Žâáî¤ Xτ2 dP =¨ ¢ ᨫã (4.2) ¨¬¥¥¬Xτ2 dP = limB∩{τ2 n}B∩{τ2 n}Xn dP −m→∞Xm dP =B∩{τ2 n}Xn dP − limXm dP,B∩{τ2 >m}=B∩{τ2 >m}(4.3)(4.4)„®áâ â®ç­® ¯®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®£®¢¥à­®, çâ®B∩{τ2 n}’®£¤ EXτ2 = EXτ1 .„®ª § ⥫ìá⢮.A ∈ Fτ1B∩{nτ2 m}(4.2)%Xn dP −m→∞ B∩{τ >m}2B∩{τ2 >m}Xm dP =B∩{τ2 n}Xn dP,ƒ« ¢ 4.

“á«®¢­®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ ­¨¥ ¨ ¬ à⨭£ «ëçâ® ¤®ª §ë¢ ¥â ᮮ⭮襭¨¥ (4.6), ®âªã¤ á«¥¤ãîâ ᮮ⭮襭¨ï, 㪠§ ­­ë¥ ¢ ãá«®¢¨ïå ⥮६ë.%‘«¥¤á⢨¥ 4.13. …᫨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ª®­áâ ­â N ,çâ® P(τ1 N ) = P(τ2 N ) = 1, â® ¢ë¯®«­¥­ë ãá«®¢¨ï (4.2).®í⮬㠥᫨ X | ¬ à⨭£ «, â®EXτ1 = EX0 = EXτ2 = EXN .…᫨ ᥬ¥©á⢮ {Xn } à ¢­®¬¥à­® ¨­â¥£à¨à㥬® ¨ τ | ¬®¬¥­â ®áâ ­®¢ª¨, â® ãá«®¢¨ï 4.2 â ª¦¥ ¢ë¯®«­¥­ë.à¨¬¥à 4.14. ãáâì Sn | ᨬ¬¥âà¨ç­®¥ á«ãç ©­®¥ ¡«ã¦-¤ ­¨¥, ¢¢¥¤¥­­®¥ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 4.10.

ãáâì b < 0 < a ∈ Z. ’®£¤ à áᬮâਬ á«¥¤ãî騩 ¬®¬¥­â ®áâ ­®¢ª¨ τa∧b = inf{n : Sn == a ¨«¨ Sn = b}. à®¢¥à¨¬, çâ® ãá«®¢¨ï ⥮६ë 4.12 ¢ë¯®«­¥­ë ¤«ï τ1 = 0, τ2 = τa∧b :limn→∞ {τa∧b >n}E|Sτa∧b | a ∧ |b| < ∞;|Sn |dP (a ∧ |b|) lim P(τa∧b > n) n→∞ (a ∧ |b|) lim P(b < Sn < a) = 0n→∞¯® 業âà «ì­®© ¯à¥¤¥«ì­®© ⥮६¥, á«¥¤®¢ ⥫쭮,ESτa∧b = 0,®âªã¤ «¥£ª® ¯®«ãç ¥¬, çâ®P(τa < τb ) =|b|.a + |b|ƒ‹€‚€ 5’¥®à¨ï ࡨâà ¦ ‚ ¤ ­­®© £« ¢¥ à áᬮâ७® ¯®­ï⨥ ®âáãâá⢨ï ࡨâà ¦ . €à¡¨âà ¦­ ï ®¯¥à æ¨ï ­ àë­ª¥ | ᤥ«ª , ¯® १ã«ìâ â ¬ ª®â®à®© ¬ë ®¡ï§ ⥫쭮 ­¨ç¥£® ­¥ ¯®â¥à塞, ¢ ­¥ª®â®àëå á«ãç ïå ®ª ¦¥¬áï ¢ ¯«îá¥.

ˆá¯®«ì§ãï ¯®­ï⨥ ®âáãâá⢨ï ࡨâà ¦ , ¬®¦­® ­ ©â¨ ¨­â¥à¢ «ë á¯à ¢¥¤«¨¢ëå 業¤«ï ¯à®¨§¢®¤­ëå 業­ëå ¡ã¬ £ ­ àë­ª¥, §­ ï ⥪ã騥 æ¥­ë¡ §®¢ëå ªâ¨¢®¢ ¨ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¡ã¤ãé¨å 業, â ª¦¥ ¯®á।á⢮¬ 業 ­ ®¯æ¨®­ë ¯®«ãç¨âì á¯à ¢¥¤«¨¢ë¥ æ¥­ë ¤àã£¨å ¯à®¨§¢®¤­ëå 業­ëå ¡ã¬ £.§ 5.1. à¨¬¥àë á®®¡à ¦¥­¨ï ¡¥§ ࡨâà ¦­®áâ¨5.1.1. •¥¤¦¨àã¥¬ë¥ ¯« ⥦­ë¥ ¯®àã祭¨ïãáâì (Ω, F, P) | ¢¥à®ïâ­®áâ­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, F |¯« ⥦­®¥ ¯®àã祭¨¥ (¯« ⥦­®¥ ®¡ï§ ⥫ìá⢮ (contingentclaim)), â.¥. ª®­âà ªâ, ª®â®àë© ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ T ¯à¨­®á¨â ¢« ¤¥«ìæã á㬬㠤¥­¥£ F (ω) (F | á«ãç ©­ ï ¢¥«¨ç¨­ ­ (Ω, F, P)).dà¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® F = λi STi , £¤¥ STi | 業 i-© ªæ¨¨i=1¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ T . ’®£¤ ¯®ª ¦¥¬, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢ ï 業 d¤ ­­®£® ¯« ⥦­®£® ¯®àã祭¨ï ¡ã¤¥â à ¢­ λi S0i .i=1ãáâì x | 業 ¯« ⥦­®£® ¯®àã祭¨ï F ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ 0.dà¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® x > λi S0i .

’®£¤ à áᬮâਬ á«¥¤ãi=1îéãî áâà ⥣¨î: ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ 0 ¯®ªã¯ ¥¬ λi ¥¤¨­¨æ i-©ƒ« ¢ 5. ’¥®à¨ï ࡨâà ¦ 74 ªæ¨¨, ¯à®¤ ¥¬ ¯« ⥦­®¥ ¯®àã祭¨¥ F ¯® 業¥ x, ¢ ¬®¬¥­â¢à¥¬¥­¨ T § áç¥â ¤¥­¥£, ¯®«ã祭­ëå ®â ¯à®¤ ¦¨ ªæ¨©, à ᯫ 稢 ¥¬áï ¯® ¯« ⥦­®¬ã ¯®àã祭¨î F . à¨¡ë«ì ®â ¯à®¢¥d¤¥­­®© áâà ⥣¨¨ á®áâ ¢¨â x −λi S0i > 0, §­ ç¨â, ¢á¥ ¡ã¤ãâi=1¯ëâ âìáï ¯à¨¬¥­¨âì íâã áâà ⥣¨î, çâ® ¯à¨¢¥¤¥â ª ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¨§¬¥­¥­¨ï¬ 業.dλi S0i .

’®£¤ à áᬮâਬ á«¥¤ãîà¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® x <i=1éãî áâà ⥣¨î: ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ 0 ª®à®âª® ¯à®¤ ¥¬ λi ¥¤¨­¨æ i-© ªæ¨¨, ¯®ªã¯ ¥¬ ¯« ⥦­®¥ ¯®àã祭¨¥ F ¯® 業¥ x, ¢¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ T § áç¥â ¤¥­¥£, ¯®«ã祭­ëå ®â ¯à¥¤ê¥­¨ï¯« ⥦­®£® ¯®àã祭¨ï F , ¯®ªã¯ ¥¬ ªæ¨¨ ¨ ¢®§¢à é ¥¬ ¨å¢« ¤¥«ìæã. à¨¡ë«ì ®â ¯à®¢¥¤¥­­®© áâà ⥣¨¨ á®áâ ¢¨â −x +d+λi S0i > 0, §­ ç¨â, ¢á¥ ¡ã¤ã⠯ਬ¥­ïâì íâã áâà ⥣¨î,i=1çâ® ¯à¨¢¥¤¥â ª ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¨§¬¥­¥­¨ï¬ 業.ãáâì F | ¯« ⥦­®¥ ¯®àã祭¨¥ddF λi STi . ’®£¤ (á¯à ¢¥¤«¨¢ ï 業 ) x λi S0i .‘«¥¤á⢨¥ 5.1.i=15.1.2.

„¢ãåâ®ç¥ç­ ï ¬®¤¥«ì¨i=1‚ ª ç¥á⢥ ¥é¥ ®¤­®£® ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ ¤¢ãåâ®ç¥ç­ãî ¬®¤¥«ì, ¨¬¥­­®: ¯ãáâì Ω = {a, b}, P({a}) = p,P({b}) = q = 1 − p, S0 ∈ R, r = 0, S1 :Ω → R, S1 (b) < S0 < S1 (a), F = f (S1 )(á¬. à¨á. 25).¨á. 25. „¢ãåâ®ç¥ç­ ­ ­á®¢ë© á¬ëá«. St | 業 ª¬®¤¥«ì樨 ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t.ãáâì x | ª ¯¨â « ¨­¢¥áâ®à ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ 0. „ «¥¥,¯ãáâì ¨­¢¥áâ®à ¯®ªã¯ ¥â H ªæ¨©, ®áâ «ì­ë¥ ¤¥­ì£¨ ª« ¤¥â¢ ¡ ­ª.

’®£¤ ¥£® ª ¯¨â « ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ 1 ¡ã¤¥â á®áâ ¢«ïâìx + H(S1 − S0 ).  áᬮâਬ á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨© ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì-§ 5.2. ’¥®à¨ï ࡨâà ¦ ¢ ®¤­®è £®¢®© ¬®¤¥«¨­ëå (x, H):%#x + H(S1 (a) − S0 ) = F (a),(5.1)x + H(S1 (b) − S0 ) = F (b).‡ ¬¥â¨¬, çâ®, â ª ª ª S1 (b) = S1 (a), ¤ ­­ ï á¨á⥬ ¨¬¥¥â¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥ (x∗ , H∗ ), ¨áå®¤ï ¨§ ¨¤¥© ⥮ਨ ࡨâà ¦ , ¢ë᪠§ ­­ëå ¢ ¯®¤à §¤¥«¥ 5.1.1, ¯®«ãç ¥¬, çâ® x∗ |á¯à ¢¥¤«¨¢ ï 業 ¯« ⥦­®£® ¯®àã祭¨ï F .‘ãé¥áâ¢ã¥â¢¥à®ïâ­®áâ­®¥S0 ∈ (S1 (b), S1 (a)),â®∃!¬¥à S (b) − Sà¥è¥­¨¥Q­ á¨á⥬ë(Ω, F)(5.1):S − S (a)1001, Q({b}) = S (b)).= S0 (Q({a}) = S (b)− S1 (a)− S1 (a)11¥á«¨EQ S1 =â ª ï, ç⮌¥à Q­ §ë¢ ¥âáï ¬ à⨭£ «ì­®© ¬¥à®©, ¨ ¤«ï «î¡®£® ¯« ⥦­®£®¯®àã祭¨ïF¨¬¥¥¬x∗ = EQ (x∗ + H∗ (S1 − S0 )),çâ® ¢¨¤­® ¨§¢¨¤ à¥è¥­¨ï á¨á⥬ë (5.1).§ 5.2.

’¥®à¨ï ࡨâà ¦ ¢ ®¤­®è £®¢®© ¬®¤¥«¨ áᬮâਬ ⥮à¨î ࡨâà ¦ ¢ ®¤­®è £®¢®© ¬®¤¥«¨, â.¥.¬®¤¥«¨ á 2-¬ï ¬®¬¥­â ¬¨ ¢à¥¬¥­¨:0| ᥣ®¤­ï, ª®£¤ ¬ë¬®¦¥¬ ¯à®¢®¤¨âì ª ª¨¥-«¨¡® ®¯¥à 樨, ¨¬ë 㧭 ¥¬ ¨å १ã«ìâ â.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.2.1| § ¢âà , ª®£¤ Ž¤­®è £®¢ ï ¬®¤¥«ì|­ ¡®à(Ω, F, P, S01 , . . . , S0d , S11 , . . . , S1d ), £¤¥ (Ω, F, P) | ¢¥à®ïâ­®áâdd­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, S0 ∈ R , S1 : Ω → R | á«ãç ©­ë© ¢¥ªâ®à.i”¨­ ­á®¢ë© á¬ëá«.

Sn | 業 i-£® ªâ¨¢ ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ n. ãáâì r ∈ R+ | ¡¥§à¨áª®¢ ï ¯à®æ¥­â­ ï áâ ¢ª , â.¥.¯à¨ ¢«®¦¥­¨¨ áã¬¬ë ¤¥­¥£ x ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ 0 ­ ¡¥§à¨áª®¢ë© ¡ ­ª®¢áª¨© áç¥â ¬ë ¯®«ã稬 ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ 1 á㬬㤥­¥£ (1 + r)x.‚¢¥¤¥¬¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¥®¯à¥¤¥«¥­¨ï,­¥®¡å®¤¨¬ë¥¤«ïà áᬮâ७¨ï ⥮ਨ ࡨâà ¦ ¢ ®¤­®è £®¢®© ¬®¤¥«¨.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.3. „¨áª®­â¨à®¢ ­­ ï 業 Sni| íâ®= (1 + r)n .Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.4. ‘âà ⥣¨ï| íâ® ¢¥ªâ®à„¨áª®­â¨à®¢ ­­ ï ¯à¨¡ë«ì áâà ⥣¨¨:di=1S̄ni =H ∈ Rd .H i (S̄1i − S̄0i ).ƒ« ¢ 5.

’¥®à¨ï ࡨâà ¦ %$”¨­ ­á®¢ë© á¬ëá«. ãáâì ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ 0 ¬ë ¯®ªã¯ ¥¬ H i ¥¤¨­¨æ i-£® ªâ¨¢ . ’®£¤ ¤«ï í⮣® ¬ë ¤®«¦­ëdd¢§ïâì ¢ ¡ ­ª¥ á㬬㠤¥­¥£ H iS0i = H iS̄0i . ®«ãç ¥¬ ¢i=1i=1¬®¬¥­â 1 ®â ¯à®¤ ¦¨ ¯®àâä¥«ï ªæ¨© á㬬㠤¥­¥£ H iS1ii=1¨, ¤¨áª®­â¨àãï ª ¬®¬¥­â㠢६¥­¨ 0, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîéã᪮­â¨à®¢ ­­ãî ¯à¨¡ë«ì ®â ¯à®¢¥¤¥­¨ï ¤ ­­®© áâà ⥣¨¨:dH i (S̄1i − S̄0i ).di=1Ž¡®§­ 祭¨¥. A = { H i(S̄1i − S̄0i ) : H ∈ Rd} | ¬­®¦¥á⢮i=1¢á¥¢®§¬®¦­ëå ¯à¨¡ë«¥©.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.5.

Œ®¤¥«ìd(Ω, F, P, S01 ,...,S0d , S11 ,...,S1d )㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ®âáãâá⢨ï ࡨâà ¦ (no-arbitragecondition (N A)), ¥á«¨ A ∩ L0+ = {0}, £¤¥ L0+ = {X −− á«ãç ©­ ï ¢¥«¨ç¨­ ­ {Ω, F, P} : P(X 0) = 1}, â.¥.X ∈ A : X 0 P − ¯.­. ¨ P(X > 0) > 0,â.¥. ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© áâà ⥣¨¨, çâ® ®­ ¢á¥£¤ ¯à¨­®á¨â­¥®âà¨æ ⥫ì­ë© ¤®å®¤, ¢ ª ª¨å-â® á«ãç ïå | ¯®«®¦¨â¥«ì­ë© ¤®å®¤.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.6. ª¢¨¢ «¥­â­®© ¬ à⨭£ «ì­®© ¬¥à®©­ §ë¢ ¥âáï ¬¥à Q ∼ P â ª ï, çâ® EQX = 0 ∀ X ∈ A. Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ M ¬­®¦¥á⢮ ¬ à⨭£ «ì­ëå ¬¥à.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.7. ãáâì Q | ¬¥à ­ B(Rd).

’®£¤ ­®á¨â¥«¥¬ ¬¥àë Q ­ §ë¢ ¥âáïsupp Q = {x ∈ Rd : ∀ ε > 0 Q(Bε (x)) > 0},â.¥. ¬­®¦¥á⢮ "§­ 稬ëå" â®ç¥ª ¬¥àë Q.Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§C = conv supp LawP S̄1§ 5.2. ’¥®à¨ï ࡨâà ¦ ¢ ®¤­®è £®¢®© ¬®¤¥«¨%%¢ë¯ãª«ãî § ¬ª­ãâãî ®¡®«®çªã à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢¥ªâ®à S̄1 .®«®¦¨¬ C 0 = ri C | ®â­®á¨â¥«ì­ ï ¢­ãâ७­®áâì ¬­®¦¥á⢠C ¢ ®â­®á¨â¥«ì­®© ⮯®«®£¨¨ ­ ¨¬¥­ì襣® «¨­¥©­®£® ä䨭­®£® ¯à®áâà ­á⢠, ᮤ¥à¦ 饣® C .ãáâì S1 ¯à¨­¨¬ ¥â á ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬¨ ¢¥à®ïâ­®áâﬨ 2 §­ 祭¨ï a, b ∈ R2 . ’®£¤ C 0 = (a, b) | ¨­â¥à¢ « ¢ R2 .®á«¥ ¢¢¥¤¥­¨ï ¤ ­­ëå ®¯à¥¤¥«¥­¨© áä®à¬ã«¨à㥬 ®á­®¢­ãî ⥮६ã ⥮ਨ ࡨâà ¦ , ª®â®à ï á¢ï¦¥â íª®­®¬¨ç¥áª®¥, ¢¥à®ïâ­®áâ­®¥ ¨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ®¡ ࡨâà ¦¥ ¢ ®¤­®è £®¢®© ¬®¤¥«¨.à¨¬¥à 5.8.’¥®à¥¬ 5.9 (”ã­¤ ¬¥­â «ì­ ï ⥮६ ⥮ਨ ࡨâà ¦ I (”’’€ I (FTAP I))).

„«ï ¬®¤¥«¨á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë:(Ω, F, P, S0 , S1 )a) N A;b) S 0 ∈ C 0 ;c) M = ∅.„®ª § ⥫ìá⢮.S0 ∈/C 0,⮣¤ ∃ H ∈a)→b) „®ª ¦¥¬ ®â ¯à®â¨¢­®£®. ãáâì(á¬. à¨á. 26):RdH, S̄1 − S̄0 0 P-¯.­. ¨ P(H, S̄1 − S̄0 > 0) > 0.b) → c)  áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮E = {EQ S̄1 : Q ∼ P, EQ |S̄1 | < ∞}.’®£¤ E | ¢ë¯ãª«®¥ ¬­®¦¥á⢮ ¨ ∀ x ∈ supp Law S̄1 ¨ ∀ ε >> 0 áãé¥áâ¢ã¥â y ∈ E : |y − x| < ε.

„«ï í⮣® ¤®áâ â®ç­® ¢§¢¥á¨âì 2 ¬¥àë á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ : Q1 = 1constP, Q2 = P(·| |S1 −+ |S |1− x| < ε). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, E ⊇ C 0 .c)→a) ‚®§ì¬¥¬ Q ∈ M. ’®£¤ ∀ X ∈ A ¨¬¥¥¬, çâ® EQ X == 0. ‡­ ç¨â, X ∈ A : X 0 Q-¯.­. ¨ Q(X > 0) > 0, á«¥¤®¢ ⥫쭮, â ª ª ª Q ∼ P, â® X ∈ A : X 0 P-¯.­. ¨P(X > 0) > 0.. …᫨ S11 , . .

Характеристики

Список файлов книги