Основы математической теории финансов - Куликов (1187985), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

S0 = N P V (¡ã¤ã騥 ¤¨¢¨¤¥­¤ë ¯® ¤ ­­®© ªæ¨¨).ãáâì Edn = d. ’®£¤ S0 = kd . …᫨ Edn =à¨¬¥à 1.10.d .= (1 + g)n−1 d, â® S0 = k −g. „«ï íª®­®¬¨ª¨ ‘˜€ § ¯¥à¨®¤ 1926{1999 ££.[1] ¨¬¥«¨ ¬¥áâ® á«¥¤ãî騥 á।­¨¥ ¯®ª § ⥫¨:‡ ¬¥ç ­¨¥r = 3.81%, I = 3.2%, kS&P 500 = 8.17%.§ 1.4. ¥¯®áâ®ï­­ ï ¯à®æ¥­â­ ï áâ ¢ª ¢ ­¥¯à¥à뢭®¬ ¢à¥¬¥­¨Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.11. ãáâì r(t) | ­¥¯®áâ®ï­­ ï (¯« ¢ îé ï) ¡¥§à¨áª®¢ ï ­¥¯à¥à뢭® ­ ç¨á«ï¥¬ ï ¯à®æ¥­â­ ïáâ ¢ª ­ ¨­â¥à¢ «¥ [0, T ], â.¥. ­¥¯à¥à뢭® ­ ç¨á«ï¥¬ ï ¯à®-業⭠ï áâ ¢ª , ¯®¤ ª®â®àãî ¡ ­ª ¡¥§à¨áª®¢® ¤ ¥â ááã¤ã ¤à㣮¬ã ¡ ­ªã. € ¨¬¥­­®, ¯à¨ ¢«®¦¥­¨¨ áã¬¬ë ¤¥­¥£ x ­ â ª®©¡ ­ª®¢áª¨© áç¥â ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t ¢ª« ¤ç¨ª ¢ «î¡®¬ á«ãç ¥¯®«ãç ¥â á㬬ã exp(r(t)t)x.

Žâ®¡à ¦¥­¨¥ t → r(t) ­ §ë¢ ¥âáï(yield curve). Ž¡ëç­® r(t) ¢®§à áâ ¥â, ­®­¥®¡ï§ ⥫쭮 (®¡ëç­ë© ¢¨¤ ªà¨¢®© ¤®å®¤­®á⨠á¬. ­ à¨á. 8).ªà¨¢®© ¤®å®¤­®á⨎¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.12. Ž¡«¨£ æ¨ï ¡¥§ ¢ë¯« âë ¤¨¢¨¤¥­¤®¢(zero-coupon bond or pure discount bond) | íâ® ®¡ï§ ⥫ìá⢮¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ T (¤ â ¯®£ 襭¨ï, maturity) ¢ë¯« â¨âì ¥¥¢« ¤¥«ìæã á㬬㠤¥­¥£ P (­®¬¨­ «, face value).ƒ« ¢ 1.

„¨áª®­â¨à®¢ ­¨¥ ¨ ᬥ¦­ë¥ ¢®¯à®áë!4§ 1.4. ¥¯®áâ®ï­­ ï ¯à®æ¥­â­ ï áâ ¢ª ¢ ­¥¯à¥à뢭®¬ ¢à¥¬¥­¨­ëå áâ ¢®ª!5(forward curve). ‘®®â­®è¥­¨¥ ªà¨¢®© ¤®å®¤­®á⨨ ä®à¢ भ®© ªà¨¢®© ¬®¦­® 㢨¤¥âì ­ à¨á. 9 ¢ á«ãç ïå, ª®£¤ ªà¨¢ ï ¤®å®¤­®á⨠¢®§à á⠥⠨ ª®£¤ ®­ ã¡ë¢ ¥â.¨á. 8. ‘â ­¤ àâ­ë© ¢¨¤ ªà¨¢®© ¤®å®¤­®á⨇ ¬¥ç ­¨¥.ãáâìB(t)| 業 ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨à¨áª®¢®© ®¡«¨£ 樨 á® áப®¬ ¯®£ 襭¨ït0¡¥§-¨ ­®¬¨­ «®¬1.¨á. 9. ‘®®â­®è¥­¨¥ ªà¨¢®© ¤®å®¤­®á⨠¨ ä®à¢ भ®©ªà¨¢®© ¢ à §«¨ç­ëå á«ãç ï咮£¤ ¨§ "§ ª®­ ¥¤¨­®© 業ë" (¡ã¤ã騥 ¤¨áª®­â¨à®¢ ­­ë¥¯®â®ª¨ ¢ë¯« â ¯® ¡¥§à¨áª®¢®¬ã ªâ¨¢ã ¤®«¦­ë ¡ëâì à ¢­ë¥£® á⮨¬®á⨠ᥩç á) ¯®«ãç ¥¬, ç⮄¨áª®­â¨à®¢ ­­ ï ¢ë¯« â |Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.13.P e−r(t)t ,£¤¥P| à §¬¥à ¢ë¯« âë,t| ¬®¬¥­â ¢ë¯« âë.ç¨áâ 廊᪮­â¨à®¢ ­­ ï á⮨¬®áâì ª®­âà ªâ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ªŽ¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.14.

(i)NPV =Nn=1e−r(tn )tn Ptn ,£¤¥âà ªâã ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨‚ ¤¨áªà¥â­®¬ á«ãç ¥Ptn| à §¬¥à ¢ë¯« âë ¯® ª®­-0Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.15.à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ®ter(t)t = e’®£¤ tr̂(t)­ §ë¢ ¥âáïward interest rate).¡à ¦¥­¨¥t → r̂(t)0r(u)du1. ’®£¤ ¨§B(t, T ) = e−r(t,T )(T −t) ,¬¨­ «®¬ä®à¢ भ®© ¯à®æ¥­â­®© áâ ¢ª®©­ §ë¢ ¥âáïr̂(t) = r(t) +tr (t).Žâ®-ä®à¢ भ®© ªà¨¢®© ¯à®æ¥­â-| 業 ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥-T¨ ­®-"§ ª®­ ¥¤¨­®© 業ë" ¯®«ãç ¥¬, çâ®r(t, T ) | ­¥¯®áâ®ï­­ ï ¡¥§à¨áª®¢ ï ­¥¯à¥à뢭® ­ ç¨á«ï¥¬ ï ¯à®æ¥­â­ ï áâ ¢ª ­ ¨­â¥à¢ «¥ [t, T ] ¢ ­¥¯à¥à뢭®¬ ¢à¥¬¥­¨.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.17.

à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ®uer(t,u)(u−t) = e’®£¤ tr(t,s)ds∀ u ∈ [0, T ].r̂(t, s) ­ §ë¢ ¥âáï ä®à¢ भ®© ¯à®æ¥­â­®© áâ ¢ª®©(for-∂r(t, T )ward rate). Žç¥¢¨¤­®, çâ® r̂(t, T ) = r(t, T ) +∂T (T − t).Œ£­®¢¥­­ ï ¯à®æ¥­â­ ï áâ ¢ª «ï¥âáï ª ªt(for-B(t, T )£¤¥à¨ ¢«®¦¥­¨¨ á㬬ëx¢ ¬®¬¥­â­ ¡¥§à¨áª®¢ë© ¡ ­ª®¢áª¨© áç¥â á ¯« ¢ î饩 ¯à®æ¥­â­®©áâ ¢ª®© ­ ¯¥à¨®¤≈(instantaneous rate) ®¯à¥¤¥-r̂(t, t).à ªâ¨ç¥áª¨© á¬ëá«:∀ t ∈ [0, T ].Žç¥¢¨¤­®, ç⮏ãáâì¡¥§à¨áª®¢®© ®¡«¨£ 樨 á® áப®¬ ¯®£ 襭¨ï‚ á«ãç ¥ ­¥¯à¥à뢭® ­ ç¨á«ï¥¬®© ¢ë¯« âëe−r(t)t Pt dt, £¤¥ Pt | ᪮à®áâì ¢ë¯« âë ¤¨¢¨¤¥­¤®¢(â.¥.

¢ë¯« 稢 ¥âáï á㬬 Pt t § ¯à®¬¥¦ã⮪ ¢à¥¬¥­¨ [t, t ++ t]).NPV =¬¥­¨tn .ç¨áâ 廊᪮­â¨à®¢ ­­ ïá⮨¬®áâì ª®­âà ªâ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª∞(ii)Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.16.B(t) = e−r(t)t .[t, t + δt]¯®«ã稬 á㬬ãer(t,t+δt)δt x ≈x ­ ¡¥§à¨á-er(t,t)δt x. ‘®®â¢¥âá⢥­­® ¯à¨ ¢«®¦¥­¨¨ á㬬몮¢ë© ¡ ­ª®¢áª¨© áç¥â á ¯« ¢ î饩 ¯à®æ¥­â­®© áâ ¢ª®© ¨ ¯®-!$ƒ« ¢ 1.

„¨áª®­â¨à®¢ ­¨¥ ¨ ᬥ¦­ë¥ ¢®¯à®áëáâ®ï­­ë¬ ¯¥à¥¢«®¦¥­¨¥¬ íâ¨å ¤¥­¥£ ­ ª®à®âª¨¥¯à®¬¥¦ã⪨¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ T ¬ë ¯®«ã稬á㬬㠤¥­¥£ e‡ ¬¥ç ­¨¥.à¨¬¥à 1.18.T0er(T )TT0r(t,t)dtx.= e. Ž¡ëç­® ¡®«ìè¥.(i) ãáâì § ¤ ­ ªà¨¢ ï ¤®å®¤­®áâ¨r(t). ãáâì ¯® ¡¥§à¨áª®¢®© ®¡«¨£ 樨 á ¢ë¯« ⮩ ¤¨¢¨¤¥­¤®¢(coupon bond) ¨ ­®¬¨­ «®¬ 1 á ¤ ⮩ ¯®£ 襭¨ï N ¢ë¯« 稢 ¥âáï ¤¨¢¨¤¥­¤ d ¢ ¬®¬¥­âë ¢à¥¬¥­¨ 1, .

. . , N . ’®£¤ 業 ¤ ­­®© ®¡«¨£ 樨 à ¢­ r(t,t)dtS = de−r(1)1 + de−r(2)2 + . . . + (1 + d)e−r(N )N .(ii) ãáâì ¯® ¡¥§à¨áª®¢®© ®¡«¨£ 樨 ¢ë¯« 稢 ¥âáï ¤¨¢¨¤¥­¤á® ᪮à®áâìî d. ’®£¤ 業 ¤ ­­®© ®¡«¨£ 樨S=dT0e−r(t)t dt + e−r(T )T .(iii) ãáâì § ¤ ­ ªà¨¢ ï ¤®å®¤­®á⨠r(t). ãáâì d(t), t ∈ [0, T ]| â ª®© ­¥¯à¥à뢭® ­ ç¨á«ï¥¬ë© ¤¨¢¨¤¥­¤, ¯à¨ ª®â®à®¬ 業 ®¡«¨£ 樨 á® áப®¬ ¯®£ 襭¨ï t ¨ ­®¬¨­ «®¬ 1à ¢­ 1. ãáâì r(t) | ¢®§à áâ îé ï äã­ªæ¨ï. ’®£¤ tr(t)−r(u)ue0−r(t)tdu + e= 1 − e−r(t)t + e−r(t)tte−r(t)u du + e−r(t)t = t= 1 = d(t)e−r(u)u du + e−r(t)t , r(t)00 á«¥¤®¢ ⥫쭮, d(t) r(t).

Œ®¦­® ¯®ª § âì, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ d(t) | â ª¦¥ ¢®§à áâ îé ï äã­ªæ¨ï. €­ «®£¨ç­® ¥á«¨r(t) | ã¡ë¢ îé ï äã­ªæ¨ï, â® d(t) r(t).ƒ‹€‚€ 2 宦¤¥­¨¥ 業 ­¥ª®â®àëå ªâ¨¢®¢„ ­­ ï £« ¢ ¯®á¢ï饭 ¢®¯à®áã ­ 宦¤¥­¨ï á¯à ¢¥¤«¨¢ëå 業, âਢ¨ «ì­ëå ¨­â¥à¢ «®¢ á¯à ¢¥¤«¨¢ëå 業 ¤«ï ¯à®¨§¢®¤­ëå 業­ëå ¡ã¬ £ ¨§ á®®¡à ¦¥­¨© §¤à ¢®£® á¬ëá« .§ 2.1. ”®à¢ à¤ë, äìîç¥àáë áᬮâਬ ä®à¢ à¤­ë© ª®­âà ªâ ­ ¯®áâ ¢ªã 1 ¥¤¨­¨æë ªâ¨¢ ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t ¯® 業¥ K (¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¯®¤ ­­®¬ã ªâ¨¢ã ­¥ ¢ë¯« 稢 îâáï ¤¨¢¨¤¥­¤ë ¨ ­¥â § âà â ­ åà ­¥­¨¥). ’®£¤ à áᬮâਬ á«¥¤ãî騥 áâà ⥣¨¨.‘âà ⥣¨ï 1.

®ªã¯ ¥¬ ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ 0 ª®­âà ªâ ¯®æ¥­¥ C , ª« ¤¥¬ á㬬ã Ke−r(t)t ¢ ¡ ­ª ¨ ®¡¬¥­¨¢ ¥¬ ¯®«ã祭­ãî ¢ ¬®¬¥­â t ¨§ ¡ ­ª á㬬㠭 ªâ¨¢.‘âà ⥣¨ï 2. ®ªã¯ ¥¬ ªâ¨¢ ¢ ¬®¬¥­â 0 ¯® 業¥ S0 .’®£¤ ¢ ¬®¬¥­â t ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡« ¤ âì ⥬ ¦¥ ªâ¨¢®¬.® "§ ª®­ã ¥¤¨­®© 業ë" (¥á«¨ ¢ १ã«ìâ ⥠®¡¥¨å áâà ⥣¨© ¬ë ¯®«ã稫¨ ®¤¨­ ª®¢ë© ¤®å®¤, â® ¨ § âà âë ­ ¨å ¯à®¢¥¤¥­¨¥ ¤®«¦­ë ¡ëâì ®¤¨­ ª®¢ë¬¨) ¯®«ãç ¥¬, çâ®C + Ke−r(t)t = S0 ,業 ä®à¢ भ®£® ª®­âà ªâ C = S0 − Ke−r(t)t.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.1. F = er(t)tS0 ­ §ë¢ ¥âáï ä®à¢ भ®©æ¥­®© ªâ¨¢ (forward asset price).‡ ¬¥ç ­¨ï. (i) ”®à¢ भ ï 業 ¢ë¡¨à ¥âáï â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® C = 0, â.¥.

§ ª«î祭¨¥ ä®à¢ भ®£® ª®­âà ªâ ­¨ç¥£® ­¥ á⮨«® ¥£® áâ®à®­ ¬.(ii) …᫨ ¯® ¡ §®¢®¬ã ªâ¨¢ã ¢ë¯« 稢 îâáï ¤¨¢¨¤¥­¤ë á ¤¨áª®­â¨à®¢ ­­®© á㬬®© ¢ë¯« â I ¨ ¤¨áª®­â¨à®¢ ­­ë¥ § -!&ƒ« ¢ 2.  宦¤¥­¨¥ 業 ­¥ª®â®àëå ªâ¨¢®¢âà âë ­ åà ­¥­¨¥ ªâ¨¢ (cost of carry) á®áâ ¢«ïîâ c, â®C = S0 − I + c − Ke−r(t)t .§ 2.1. ”®à¢ à¤ë, äìîç¥àáë!9­ §ë¢ ¥âáï ä®à¢ à¤­ë¬ ®¡¬¥­­ë¬ ªãàᮬ (forward currencyexchange rate) (¥£® 業®®¡à §®¢ ­¨¥ «¥£ª® ¢¨¤¥âì ¨§ à¨á. 10).‘®®â¢¥âá⢥­­® ¥á«¨ ¤¨¢¨¤¥­¤ ­ ç¨á«ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭® á®áª®à®áâìî q ¨ ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ ¤ ­­ë© ªâ¨¢, â®C = S0 e−qt + c − Ke−r(t)t .(iii) ”®à¢ à¤­ë© ª®­âà ªâ | íâ® ­¥ ¯à ¢®, ®¡ï§ ­­®áâì.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¥£® ­¥«ì§ï ¢ë¡à®á¨âì ¢ ª®à§¨­ã, ¨ ®­ ¯®¤¢¥à¦¥­ à뭮筮¬ã à¨áªã (á¢ï§ ­­®¬ã á ¨§¬¥­¥­¨¥¬ æ¥­ë¡ §®¢®£® ªâ¨¢ ) ¨ ªà¥¤¨â­®¬ã à¨áªã (á¢ï§ ­­®¬ã á ¯®â¥­æ¨ «ì­ë¬ ¡ ­ªà®âá⢮¬ ¤à㣮© áâ®à®­ë ᤥ«ª¨ ¨ ®âª §®¬®â ¨á¯®«­¥­¨ï ®¡ï§ ⥫ìáâ¢).’¥¯¥àì à áᬮâਬ ä®à¢ à¤­ë© ª®­âà ªâ ­ ¢ «îâã, â.¥.ª®­âà ªâ ­ ¯®áâ ¢ªã 1 ¥¤¨­¨æë ¨­®áâà ­­®© ¢ «îâë ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ T ¯® 業¥ K .

ãáâì t | ⥪ã騩 ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨. ’®£¤ à áᬮâਬ á«¥¤ãî騥 áâà ⥣¨¨.‘âà ⥣¨ï 1. ®ªã¯ ¥¬ ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t ª®­âà ªâ ¯®æ¥­¥ Ct , ª« ¤¥¬ á㬬ã Ke−r(t,T )(T −t) ¢ ¡ ­ª, § ª®â®àãî ¬ë¯®«ãç ¥¬ 1 ¥¤¨­¨æã ¨­®áâà ­­®© ¢ «îâë ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ T(r(t, T ) | ªà¨¢ ï ¤®å®¤­®á⨠¢ "¤®¬ è­¥©" ¢ «îâ¥).‘âà ⥣¨ï 2. ¥à¥¬ á㬬㠤¥­¥£ St e−r(t,T )(T −t) ¢ ¬®¬¥­â t(St | ⥪ã騩 ®¡¬¥­­ë© ªãàá) ¨ ®¡¬¥­¨¢ ¥¬ ¥¥ ­ e−r(t,T )(T −t)¥¤¨­¨æ ¨­®áâà ­­®© ¢ «îâë, ª« ¤¥¬ ¥¥ ¢ ¨­®áâà ­­ë© ¡ ­ª ¨¯®«ãç ¥¬ 1 ¥¤¨­¨æã ¨­®áâà ­­®© ¢ «îâë ¢ ¬®¬¥­â T (r(t, T )| ªà¨¢ ï ¤®å®¤­®á⨠¢ ¨­®áâà ­­®© ¢ «îâ¥).® "§ ª®­ã ¥¤¨­®© 業ë", â ª ª ª ¢ १ã«ìâ ⥠®¡¥¨å áâà ⥣¨© ¬ë ¯®«ã稫¨ ®¤¨­ ª®¢ë© ¤®å®¤, â® ¨ § âà âë ­ ¨å ¯à®¢¥¤¥­¨¥ ¤®«¦­ë ¡ëâì ®¤¨­ ª®¢ë¬¨.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮,Ct + Ke−r(t,T )(T −t) = St e−r(t,T )(T −t) ,Ct = St e−r(t,T )(T −t) − Ke−r(t,T )(T −t) .Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.2. ‘®®â¢¥âá⢥­­®F (t, T ) = Ster(t,T )(T −t)er(t,T )(T −t)¨á. 10. –¥­®®¡à §®¢ ­¨¥ ä®à¢ भ®£® ¢ «îâ­®£® ªãàá  ¯®¬­¨¬, çâ® äìîç¥àáë ­ «®£¨ç­ë ä®à¢ ठ¬, ­® âॡãîâ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®© ¬ ন, â ª ª ª ªà¥¤¨â­ë© à¨áª ¡¥à¥â­ á¥¡ï ¡¨à¦ , ᮮ⢥âá⢥­­®, ¨å 業®®¡à §®¢ ­¨¥ ¯à®¨á室¨â á ãç¥â®¬ í⮩ ¬ ন.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®á­®¢­ë¬¨ ®â«¨ç¨ï¬¨ äìîç¥àᮢ ®â ä®à¢ म¢ ïîâáï á«¥¤ãî騥.1. ”®à¢ à¤ë § ª«îç îâáï over-the-counter ¬¥¦¤ã 2 áâ®à®­ ¬¨, äìîç¥àáë § ª«îç îâáï ç¥à¥§ ¡¨à¦ã.2.

”ìîç¥àáë ïîâáï áâ ­¤ à⨧®¢ ­­ë¬¨ ª®­âà ªâ ¬¨¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ä®à¢ म¢.3. ”ìîç¥àá­ë¥ ª®­âà ªâë ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ä®à¢ भëå ¯¥à¥®æ¥­¨¢ îâáï ª ¦¤ë© ¤¥­ì.4. ”ìîç¥àá­ë¥ ª®­âà ªâë ç áâ® § ªàë¢ îâ ¤® ¤ âë ¨á¯®«­¥­¨ï, ä®à¢ à¤­ë¥ ¯à¥¤¯®« £ îâ 䨧¨ç¥áªãî ¯®áâ ¢ªã.5. ® äìîç¥àá ¬ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ®âáãâáâ¢ã¥â ªà¥¤¨â­ë©à¨áª, ¥£® ¡¥à¥â ­ á¥¡ï ¡¨à¦ ¢§ ¬¥­ ­ ¬ à¦ã, ª®â®àãî âॡã¥â ®â ãç áâ­¨ª®¢ ª®­âà ªâ ¤«ï ­ «¨ç¨ï ­ ¡¨à¦¥¢®¬ áç¥â¥,ä®à¢ à¤ë ¦¥ ᨫ쭮 ¯®¤¢¥à¦¥­ë ªà¥¤¨â­®¬ã à¨áªã.ƒ« ¢ 2.  宦¤¥­¨¥ 業 ­¥ª®â®àëå ªâ¨¢®¢"§ 2.2. ‘¢®¯ë áᬮâਬ ᢮¯ ­ ¨­®áâà ­­ãî ¢ «îâã, â.¥.

Характеристики

Список файлов книги